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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【华师大版】
专题26.3 实践与探索七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ）
A． B． C． D．
2．家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据．根据函数关系和数据，可推断出下列是此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度的为（ ）
A．32度 B．41度 C．58度 D．75度
3．如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（ ）
A． B． C． D．
4．飞机着陆后滑行的距离（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（ ）
A． B． C． D．
7．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
A． B． C． D．
8．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若，，则有一种围法
B．若，，则有一种围法
C．若，，则有两种围法
D．若，，则有一种围法
9．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ）
A．小球落地点与点O的水平距离为
B．当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为
C．小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势
D．小球与斜坡的距离的最大值为
10．将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ．
12．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则的取值范围是 ．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
14．如图，边长为8的正方形的中心在直角坐标系的原点O，轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系如图②所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为，若米，米，米，则的长是 米．
16．如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，若水面下降时，则水面的宽度为 ．
17．竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为．若小球在发射后第与第时的高度相等，当 时，小球达到最高．
18．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平均每天可售出20件，经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售这种名牌衬衫要想平均每天赢利1200元，为扩大销售量，增加盈利，尽可能减少库存，每件衬衫应降价多少元？
20．如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米．
(1)请用含x的代数式表示的长；
(2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长；
(3)求小型农场的最大面积．
21．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．
(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
22．如图是身高为的小明在距篮筐处跳起投篮的路线示意图，篮球运行轨迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方的A处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，最终投入篮筐所在的B内．以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式；
(2)当小明按照如图方式投篮出手时，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到，则小刚与小明的距离在什么范围内才能在空中截住篮球？
(3)当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同．若他想投中篮筐，则应该向前走多远？ (投篮时，球从下方穿过篮筐无效)
23．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似的看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．
(1)的值为___________；
(2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
24．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”．
(1)分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标；
(2)若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式；
(3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值．
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专题26.3 实践与探索七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A的横坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴点C的纵坐标为，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
故选：D．
2．家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据．根据函数关系和数据，可推断出下列是此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度的为（ ）
A．32度 B．41度 C．58度 D．75度
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得．
【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
∴抛物线对称轴在36和54之间，约为，
∴旋钮的旋转角度x在和之间，约为时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：B．
3．如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键．
【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，
长方体的体积为，
根据题意得：
，
所以该纸筒的最大容积为，
故选：B．
4．飞机着陆后滑行的距离（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的实际问题，运用二次函数求最值是解决本题的关键．
飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即求函数取得最大值时的的值．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
，
当时，函数有最大值，即飞机着陆后滑行20秒能停下来．
故选：A．
5．如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键．设，，则，，于是四边形的周长，根据二次函数性质求解．
【详解】解：令，则，
解得，，
抛物线与轴的交点为，，
设，则，，
令四边形的周长为，则，
，
时，取最大值，为6．
故选：D．
6．某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的应用，令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解，求出点的坐标是解此题的关键．
【详解】解：在中，令，则，
解得：，（不符合题，舍去），
∴，
∴，
故选：D．
7．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：令函数解析式中，，
得到，
解得，（舍去），
即铅球推出的距离是，
故选：C．
8．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若，，则有一种围法
B．若，，则有一种围法
C．若，，则有两种围法
D．若，，则有一种围法
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，设矩形的宽为米，则长为米，，，得到，再逐项计算分析即可得解．
【详解】解：如图，设矩形的宽为米，则长为米，
根据题意得，，
∴，
A、当，时，，，即，
解得：，，均不符合题意，故A选项错误；
B、当，时，，，即，
解得：（不符合题意，舍去），，故有一种围法，故B选项正确；
C、当，时，，，即，
解得：，，均符合题意，故C选项正确；
D、当，时，，，即，
解得：，则有一种围法，故D选项正确；
故选：A．
9．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ）
A．小球落地点与点O的水平距离为
B．当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为
C．小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势
D．小球与斜坡的距离的最大值为
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，令，解得，，即可判断A；把代入得，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一点的坐标为，作轴交直线于，则，表示出，结合二次函数的性质即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：令，解得，，
∴小球落地点与点O的水平距离为，故A正确，不符合题意；
把代入得，
解得：，，
∴当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为或，故B错误，符合题意；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势，故C正确，不符合题意；
设抛物线上一点的坐标为，
作轴交直线于，则，
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴小球与斜坡的距离的最大值为，故D正确，不符合题意；
故选：B．
10．将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动，
如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值，
将代入得，，
解得，（不合，舍去），
∴的最小值是；
如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，
将代入得， ，
解得，（不合，舍去），
∴的最小值是；
综上，，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题．
根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为，由此得到顶点坐标为，所以设抛物线的解析式为，而抛物线还经过，由此可确定抛物线的解析式．
【详解】解：喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为，
顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
而抛物线还经过，
，
，
抛物线的解析式为：，
故答案为：．
12．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，二次函数与不等式，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．以所在直线为轴，以地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出解析式，再利用求解即可．
【详解】解：如图建立直角坐标系：
由题意可知，，，最高点的纵坐标为，
点的横坐标为，
，
设抛物线的解析式为，
把代入，
解得：，
抛物线的解析式是，
当时，，
解得：，，
的取值范围是．
故答案为：．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
【答案】40
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据无人机停下时，最大，根据顶点的横坐标公式进行求解即可．
【详解】解：由题意，当秒时，无人机停下来，
故答案为：40．
14．如图，边长为8的正方形的中心在直角坐标系的原点O，轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与特殊的四边形综合，轴对称的性质．明确阴影部分面积的表示是解题的关键．
由题意知，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线关于轴对称，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线关于轴对称，
∴，
故答案为：．
15．如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系如图②所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为，若米，米，米，则的长是 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用待定系数法求出抛物线解析式．
本题根据最高点B点的坐标，设出抛物线的顶点式解析式后代入C点坐标，求出解析式，最后令即可求出．
【详解】解：设该抛物线的解析式为，
∵在该抛物线上，
∴
∴，
∴，
当时，，
∴的长是．
故答案为： ．
16．如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，若水面下降时，则水面的宽度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意确定抛物线的解析式成为解题的关键．
先求出函数的表达式为，设水面下降1米到D的位置，则D坐标为，然后代入函数解析式求得x，最后根据二次函数的对称性即可解答．
【详解】解：从图象看，函数定点坐标C为，点B的坐标为，
则函数的表达式为：，
把点B坐标代入上式得：，解得：，
∴则函数的表达式为：，
设水面下降1米到D的位置，则D坐标为，
把D点坐标代入函数表达式得：，解得：，
∴；
∴由二次函数的对称性可得：水面的宽度为．
故答案为：．
17．竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为．若小球在发射后第与第时的高度相等，当 时，小球达到最高．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．根据题中已知条件求出函数的对称轴，即可得出答案．
【详解】解：由题意小球在发射后第与第时的高度相等，
∴函数的对称轴，
∵，
∴在时，小球的高度最高．
故答案为：．
18．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米．
【答案】40
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值．
【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
，，
设内侧抛物线的解析式为，
将代入，
得：，
解得： ，
内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
（米），
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平均每天可售出20件，经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售这种名牌衬衫要想平均每天赢利1200元，为扩大销售量，增加盈利，尽可能减少库存，每件衬衫应降价多少元？
【答案】每件衬衫应降价20元
【分析】该题主要考查一元二次方程的应用，打折销售问题，理解题意，列出方程求解是解题关键．
设每件衬衫应降价元，根据题意列出方程求解即可；
【详解】解：设每件衬衫应降价元，
则依题意，得：，
整理，得，
解得：，
根据题意要尽快减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
所以每件衬衫应降价20元．
20．如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米．
(1)请用含x的代数式表示的长；
(2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长；
(3)求小型农场的最大面积．
【答案】(1)
(2)的长为米
(3)12平方米
【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键.
（1）根据题意结合图形即可求解；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答.
【详解】（1）∵点在线段上，
米，
（2）解：∵点在线段上，
，即，
；
∵的面积为平方米，
∴，
解得（舍去），，
∴的长为米；
（3）解：设小型农场的面积为，
则，
∵
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，最大，最大为12平方米．
21．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．
(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
【答案】(1)
(2)米
(3)
【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可；
对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案；
对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围．
【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是．
设抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点O，
∴将代入得，，解得，
∴；
（2）解： 由题意可得米，
将代入，
解得，
∴6根钢柱总长
(米)；
（3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为．
∴抛物线解析式为.
∵抛物线经过点，
∴，
解得．
当时，．
∵抛物线与钢柱有交点，
∴．
将代入， 可得，，
∴，
∴．
【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键．
22．如图是身高为的小明在距篮筐处跳起投篮的路线示意图，篮球运行轨迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方的A处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，最终投入篮筐所在的B内．以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式；
(2)当小明按照如图方式投篮出手时，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到，则小刚与小明的距离在什么范围内才能在空中截住篮球？
(3)当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同．若他想投中篮筐，则应该向前走多远？ (投篮时，球从下方穿过篮筐无效)
【答案】(1)
(2)小明投篮出手时，小刚与小明的距离在以内才能在空中截住篮球
(3)若小明想投中篮筐，则应该向前走
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，设抛物线的函数表达式为，可得抛物线为，代入，求出后即可得解；
（2）令，求得，，据此求解即可；
（3）依据题意，设球出手时，小明跳离地面的高度为，则球出手时，球的高度为，代入抛物线，从而可得，故球出手时，小明跳离地面的高度是，再结合当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，可得小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为，再令时，，求出后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线的函数表达式为，
，
抛物线为，
由于抛物线过，
．
．
抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得，，
此时小明与篮筐的距离为，
，
小明投篮出手时，小刚与小明的距离在以内才能在空中截住篮球；
（3）解：设球出手时，小明跳离地面的高度为，则球出手时，球的高度为．
抛物线 过点A，
．
．
球出手时，小明跳离地面的高度是．
当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，
小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为．
，
当时，，
解得，，
小明与篮筐的距离为或时，可以投中篮筐，
他应该向前走或（不符合题意，舍去），
若小明想投中篮筐，则应该向前走．
23．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似的看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．
(1)的值为___________；
(2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
【答案】(1)1
(2)米
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用
（1）把点代入即可；
（2）先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，
故答案为：1；
（2）解：设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
抛物线的解析式为，
即，
坡地经过点，
的解析式为，
如解图，
设抛物线上一点，过点作轴交于点，
则，的长为，
，
函数图象开口向下，有最大值，最大值为，
水柱与坡面之间的最大铅直高度为米．
24．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”．
(1)分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标；
(2)若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式；
(3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值．
【答案】(1)函数的图象上不存在“琦点”；函数的图象上存在“琦点”为和；
(2)；
(3)或2或．
【分析】（1）根据 “琦点”的定义分析计算即可；
（2）首先确定抛物线的对称轴，根据“琦点”的概念得到，进而可得，，结合，可解得或6，然后分情况确定点坐标，利用待定求解即可；
（3）首先确定抛物线旋转后的抛物线解析式，再根据“琦点”的定义解得图像上两个“琦点”的坐标，然后分图像上只有一个“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，分别求解即可．
【详解】（1）因为当时，无解，
∴的图像不存在“琦点”，
当时，
整理得，
解得或1
∴的图像存在“琦点”为和．
（2）由题可知抛物线的对称轴为，
∵抛物线有两个“琦点”为点，
∴根据“琦点”的概念得，，
∴，
∵过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合），
∴点A和点C关于对称轴对称，
∴点C的横坐标为3，
∴，
，
，即，
解得或6．
①当时，
，解得．
②当时，
，解得（不合题意，舍去）．
综上，抛物线解析式为；
（3）抛物线绕点旋转后的图象记为
∴开口大小不变，方向向反，对称轴不变为y轴
∴的二次项系数为1
∴设的表达式为，顶点坐标为
∵抛物线的顶点和关于对称
∴，解得
∴的解析式为，
由，得或
∴图像上有两个“琦点”和
①图像上只有一个“琦点”，即与只有一个交点，
，
解得．
②图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，则，
解得得．
③图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，则，
解得．
综上，或2或．
【点睛】本题主要考查了新定义问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、解一元二次方程等知识，正确理解新定义“琦点”是解题关键．
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