中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破六：二次函数的实际应用（20道）
【应用题】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是，当水位线在位置时，A到B的水面宽为，求水面离桥顶的高度 ．
4．如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．按图中方式建立平面直角坐标系，则水面上升2米后水面宽度为 米．
5．鹰眼技术助力厦门世界杯亚洲区预选赛，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
5 10 15 20 25
3 4.5 5 4.5 3
(1)求关于的函数解析式；
(2)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
6．
安全驾驶：合理车距的保持艺术
背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动．
素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为．
问题解决
任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示）
任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米
任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
7．如图，我校要建一个长方形菜园，菜园的一面利用学校边墙(墙长)，其他三面用木制材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇宽的进出口(不需材料)，共用木制材料．
(1)若面积为，菜园的长和宽分别是多少米？
(2)菜园的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
8．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米．
(1)若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
(2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
9．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以秒的速度沿方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿方向向终点B运动，过点P、Q分别作边的垂线段、，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（），四边形P的面积为．
(1)t为何值时，为等边三角形？
(2)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
10．如图，在 ABC中，∠B=90°，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为．
(1)当时，求出的面积；
(2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由；
(3)设四边形的面积为，求出的最小值．
11．如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．
(1)求出该抛物线的函数表达式；
(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明．
12．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)根据题意，填空：
①顶点C 的坐标为 ；
②点B 的坐标为
(2)求抛物线的解析式．
(3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？
13．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调元（为的正整数），设一天订住的房间数为．
(1)直接写出与的函数关系式：________，自变量的取值范围是________．
(2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？
(3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？
14．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
(1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围．
(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？
(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值．
15．某初中生进行投篮，篮球从处腾空并飞向无篮网的篮筐，篮球（看成一点）的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米．
(1)求抛物线解析式；
(2)已知篮筐的中心坐标为，请判断本次进球是否为空心球；
(3)求篮球的初始高度（的长）．
空心球 球在入筐时完全不与其他任何东西接触，包括篮板，被称为“最完美的进球方式”．
16．一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；
(2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？
17．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．
(1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由；
(3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）
18．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．
(1)求雕塑高．
(2)求落水点之间的距离．
(3)若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明．
19．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，于是他建立了平面直角坐标系（如图2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为，且一排能容纳5张高为，宽为的椅子．设其抛物线型支架的形状值为，请求出a的最小值．
20．2024年9月16日，全国青少年轮滑联赛在北戴河开赛．其中项目之一是“轮滑速降”，依靠路面的倾斜给予动力，人体自由下落，感受风驰电掣般的运动．如图是某轮滑速降比赛场地的横截面示意图，线段表示出发台，表示助滑坡，点表示起跳点，线段表示着陆坡，点表示此轮滑速降的落地点．以水平地面为轴，过点作轴的垂线为轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点到水平地面的距离为30米，到轴的距离是10米，米，米．
注：①K点是轮滑速降中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是37.5米，即米．
②距离分（跳跃距离）．
③跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离．
(1)求点的坐标；
(2)某运动员从点滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似的看成一条抛物线，其函数表达式为．
①若该运动员第一跳的距离分S是60分，求此时该抛物线的表达式；
②某运动员在第二次起跳中，发现第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为，求该运动员此跳的距离分S．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破六：二次函数的实际应用（20道）
【应用题】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式．
【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是，
另一边长是，
与的函数关系式为：．
选项、、都不正确，选项正确．
故选：．
2．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质．
【详解】解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，
则，
∵商品售价不得超过进货价格的2倍，
∴，
∵当时，利润率随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
故选：C．
3．如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是，当水位线在位置时，A到B的水面宽为，求水面离桥顶的高度 ．
【答案】/9米
【分析】本题考查二次函数的应用，设，把代入求出函数表达式，再把代入即可求出水面离桥顶的高度．
【详解】解：桥拱是抛物线，顶点为原点，
∴设，
把代入得：，
解得，
，
∵A到B的水面宽为，
∴点B的横坐标，
把代入得，，
水面离桥顶的高度为，
故答案为：．
4．如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．按图中方式建立平面直角坐标系，则水面上升2米后水面宽度为 米．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据建立的坐标系设出函数表达式，利用待定系数法求出函数解析式，求出水面上升2米后抛物线与水面相交的两个交点的横坐标，即可得到答案．
【详解】解：设抛物线为，
由题意可得，点在抛物线上，
则，
解得，
∴抛物线为，
当时，，
解得，
∴当水面上升2米后水面宽度为，
故答案为：．
5．鹰眼技术助力厦门世界杯亚洲区预选赛，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
5 10 15 20 25
3 4.5 5 4.5 3
(1)求关于的函数解析式；
(2)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】(1)
(2)这次守门员能防守成功．
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式．
（1）根据表格可知，抛物线顶点为，用待定系数法可得；
（2）结合（1），求出，即可知这次守门员能防守成功．
【详解】（1）解：根据表格可知，抛物线顶点为，
设关于的函数解析式为，
把代入得：，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）解：这次守门员能防守成功，理由如下：
在中，令得：，
，
这次守门员能防守成功．
6．
安全驾驶：合理车距的保持艺术
背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动．
素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为．
问题解决
任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示）
任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米
任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
【答案】任务一：；任务二：；任务三：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
【分析】任务一：根据列式表示即可；
任务二：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解；
任务三：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：任务一：由题意得，，
故答案为：；
任务二：当时，；
任务三：把代入得，，
解得（不合，舍去），，
答：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
7．如图，我校要建一个长方形菜园，菜园的一面利用学校边墙(墙长)，其他三面用木制材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇宽的进出口(不需材料)，共用木制材料．
(1)若面积为，菜园的长和宽分别是多少米？
(2)菜园的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
【答案】(1)若面积为，菜园的长为，宽为
(2)当时，菜园有最大面积，最大面积为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键．
（1）设这个菜园一边长为，则另一边长为，根据菜园面积为列方程求解即可；
（2）设菜园的面积为，列出y关于x的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】（1）解：设这个菜园一边长为，则另一边长为．
依题意，得，
解得（舍去），．
当时，．
答：若面积为，菜园的长为，宽为；
（2）解：设菜园的面积为，
依题意，菜园的面积为，
∵，
∴当时，菜园有最大面积，最大面积为．
8．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米．
(1)若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
(2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
【答案】(1)
(2)当为米时，鸡舍的面积为90平方米．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
（1）设米，则米，根据矩形面积公式求出表达式，再结合墙长与门宽求出x的取值范围即可；
（2）结合（1）所得表达式，列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
则，
，，
，
即S关于x的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知，，
则，
解得：，（舍），
即当为米时，鸡舍的面积为90平方米．
9．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以秒的速度沿方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿方向向终点B运动，过点P、Q分别作边的垂线段、，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（），四边形P的面积为．
(1)t为何值时，为等边三角形？
(2)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题是运动型综合题，涉及到勾股定理、等边三角形的判定，解一元二次方程．
（1）由题意得：，则，当 时，即： ，解得： 即可求解；
（2）由题意得：在和中， 按照即可求解．
【详解】（1）由题意得： ，则，
当时， 即： ，解得：，
即：当时，为等边三角形；
（2）解：过点C 作于点D，
则，
∴，
∴，
由题意得：，
在和中， ，
，
，
解得：(舍去负值)，
故．
10．如图，在 ABC中，∠B=90°，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为．
(1)当时，求出的面积；
(2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由；
(3)设四边形的面积为，求出的最小值．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)108
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并根据题意正确列出解析式是解题的关键．
（1）根据题意得到，，利用面积公式计算即可；
（2）根据题意得到，，推出，
然后由得到关于的一元二次方程，根据值即可得到答案；
（3）根据题意得到，然后由和确定的取值范围，即可得到的最小值．
【详解】（1）解：当时，，
（2）解：由题意得：，
与四边形的面积相等，即
，即，
此方程无解
不存在与四边形的面积相等的时刻
（3）解：由题意可得：
其中：
．
当时，有最小值为108．
11．如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．
(1)求出该抛物线的函数表达式；
(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明．
【答案】(1)；
(2)不能，理由见解析；
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．
（1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是；
（2）根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论．
【详解】（1）解：∵，．
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过，
∴，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为， 即.
（2）当时，，
故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆．
12．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．
(1)根据题意，填空：
①顶点C 的坐标为 ；
②点B 的坐标为
(2)求抛物线的解析式．
(3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？
【答案】(1)①；②；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键．
（1）求出、、的长即可解决问题．
（2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解；
（3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
∴，，
故答案为：和；
（2）解：由（1）知，，，
设抛物线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，，
，
∴，
解得：，，
(小时)，
∴需小时禁止船只通行．
13．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调元（为的正整数），设一天订住的房间数为．
(1)直接写出与的函数关系式：________，自变量的取值范围是________．
(2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？
(3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)；
(2)240元
(3)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元
【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握配方法求二次函数的最值是解答此题的关键，不考虑自变量x的范围是易错点．
（1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式；
（2）根据题意，宾馆一天的利润每个房间的利润订住的房间数，列出方程，解方程即可；
（3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围．
【详解】（1）解：依题，得，
每个房间每天的房价不得高于300元，
；
（2）解：根据题意得：
整理，得，
解得：，（舍去），
（元），
答：房价应该为240元；
（3）解：设宾馆一天的利润为元，
，
，，
∴当时，w取得最大值，此时（元），
房价为（元），
答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元．
14．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
(1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围．
(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？
(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值．
【答案】(1)
(2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元．
(3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元
【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点，
（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可；
解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
【详解】（1）根据题意，得，
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得．
，又对称轴直线，且，
当时，有最大值，最大值为2640，
将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元；
（3）依题意可得剩余利润为元．
捐款后每天剩余利润等于2200元，
，即，
解得或（舍去），
为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元．
15．某初中生进行投篮，篮球从处腾空并飞向无篮网的篮筐，篮球（看成一点）的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米．
(1)求抛物线解析式；
(2)已知篮筐的中心坐标为，请判断本次进球是否为空心球；
(3)求篮球的初始高度（的长）．
空心球 球在入筐时完全不与其他任何东西接触，包括篮板，被称为“最完美的进球方式”．
【答案】(1)
(2)本次进球为空心球
(3)
【分析】此题主要考查了二次函数的应用；
（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标是，进而根据顶点坐标公式求得，，即可求解；
（2）将代入解析式，得出的值，与篮筐的中心坐标为比较，即可求解；
（3）将代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米．
∴抛物线的顶点坐标是
∴，
解得：，，
∴抛物线解析式为：；
（2）当时，代入抛物线解析式为
∵篮筐的中心坐标为，
∴本次进球为空心球；
（3）当时，，
∴篮球的初始高度为．
16．一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；
(2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？
【答案】(1)，此次射门在不受干扰的情况下能进球，证明见解析
(2)小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点坐标设出解析式是解题的关键．
（1）由题意可知抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，代入求出值可得抛物线解析式，把代入求出值与比较即可得答案；
（2）把代入抛物线解析式，求出的值，再求出与球门的距离即可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为，
∴设抛物线为．
∵抛物线过，
∴，
解得：，
∴抛物线表达式为，
当时，，
∵，
∴此次射门在不受干扰的情况下能进球．
（2）∵抛物线解析式为，
∴当时，，
解得：或，
∵小明需要站在抛物线对称轴右侧防守，
∴，
，
答：小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门．
17．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．
(1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由；
(3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）
【答案】(1)；
(2)能达点处，理由见解析；
(3)．
【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解；
（）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解；
（）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解；
本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，将点代入得，
，
解得，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为；
（2）解：能达点处，理由如下：
由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，
令，可得，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过，
∴水流能到达点处；
（3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到，
∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为，
∵水流未达到最高点且恰好到达点处，
∴过点，且对称轴，
∴，
将点代入得，，
解得或（不合，舍去），
∴，
故答案为：．
18．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．
(1)求雕塑高．
(2)求落水点之间的距离．
(3)若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】(1)
(2)
(3)顶部是会碰到水柱，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
（1）求雕塑高，直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；
（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，点在图象上．
当时，
．
（2）解：由题意得，点在图象上．
令，得．
解得：（不合题意，舍去）．
，
（3）解：当时，，
∴顶部是会碰到水柱．
19．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，于是他建立了平面直角坐标系（如图2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为，且一排能容纳5张高为，宽为的椅子．设其抛物线型支架的形状值为，请求出a的最小值．
【答案】【建立模型】；【运用模型】最多可摆放的椅子数量为6张；【分析计算】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
[建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答．
[运用模型]在[建立模型]的基础上，令，求出，，得出（张)，即可作答．
[分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答．
【详解】解：【建立模型】∵A款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，
∴，B，
设抛物线函数关系式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴；
【运用模型】解：∵，且椅子高度，宽度，
∴，
解得，，
；
（张)，
∵椅子数量为正整数，
∴最多可摆放的椅子数量为6张；
【分析计算】依题意，设抛物线函数关系式为，
∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子
∴即刚好经过点点，
∴
∴经过点
即当时，即
解得．
∴的最小值为．
20．2024年9月16日，全国青少年轮滑联赛在北戴河开赛．其中项目之一是“轮滑速降”，依靠路面的倾斜给予动力，人体自由下落，感受风驰电掣般的运动．如图是某轮滑速降比赛场地的横截面示意图，线段表示出发台，表示助滑坡，点表示起跳点，线段表示着陆坡，点表示此轮滑速降的落地点．以水平地面为轴，过点作轴的垂线为轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点到水平地面的距离为30米，到轴的距离是10米，米，米．
注：①K点是轮滑速降中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是37.5米，即米．
②距离分（跳跃距离）．
③跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离．
(1)求点的坐标；
(2)某运动员从点滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似的看成一条抛物线，其函数表达式为．
①若该运动员第一跳的距离分S是60分，求此时该抛物线的表达式；
②某运动员在第二次起跳中，发现第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为，求该运动员此跳的距离分S．
【答案】(1)点K的坐标为
(2)①；②该运动员此跳的距离分S为
【分析】（1）过点C作轴于点M，过点K作于点H，勾股定理求出米，然后证明出，得到，代数求出米，米，进而求解即可；
（2）①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为，然后根据距离分的定义求得跳跃距离，点E与点K重合，即点E的坐标为，然后运用待定系数法即可解答；
②待定系数法求出的解析式为，设新的着陆点为Q，然后联立求出点Q的坐标为，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于点M，过点K作于点H，
∵到水平地面的距离为30米，到轴的距离是10米，
∴米，米
∴米
∵
∴米
∴
∴
∴
∴米，米
∴米，米
∴点K的坐标为；
（2）解：①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为
∵该运动员第一跳的距离分是60分，
∴，即．
∴点E与点K重合，即点E的坐标为，点C的坐标为
由题意可得：，
解得：
∴；
②：由题意可得：点，
设的解析式为：，
则有：，解得：，
∴的解析式为：，
设新的着陆点为Q，
联立
解得：或（与点C重合舍去）
∴点Q的坐标为，
勾股得：跳跃距离为，
∴第二次的距离分为S=．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的应用、相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握运用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
