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专题突破七：待定系数法求二次函数解析式（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．求m的值及这个二次函数的关系式．
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出抛物线的图象；
(3)点是抛物线上一点，若，结合图象，直接写出的取值范围 ．
3．如图，已知抛物线经过点．
(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
4．如图，已知二次函数的图象经过点，．求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
5．二次函数的经过点、．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点，也在函数的图象上，求、的值．
6．已知抛物线经过点
(1)求的值；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
7．已知抛物线．
(1)若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式；
(2)求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）．
8．已知抛物线
(1)该抛物线的顶点坐标是______
(2)若该抛物线经过点，求抛物线的解析式．
(3)若抛物线在时，有最大值5，求a的值．
9．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为．且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当取何值时，抛物线有最大值，并求出这个最大值；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
10．已知二次函数的图象顶点，且经过点．求这个二次函数的解析式．
11．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与轴两交点间的距离为，求抛物的解析式．
12．根据下列条件分别求二次函数的解析式：
(1)已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值4．
(2)已知二次函数的图象的对称轴是直线，与坐标轴交于点，．
13．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．
(1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式．
(2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．
14．已知抛物线与x轴交于，B，与y轴交于，直线l的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线l与抛物线只有一个公共点P，试求的面积．
15．如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)当时，求的最大值与最小值的差．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和．
(1)求此二次函数的表达式；并写出其对称轴与顶点坐标；
(2)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
17．已知二次函数的图象经过顶点，且过．
(1)求出此二次函数的解析式和与轴的交点坐标；
(2)请在坐标系内画出这个函数的图象，若经过点且与轴平行的直线与的图象有公共点，求的取值范围．
18．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求x的取值范围；
(3)当直线与抛物线有2个公共点时，求m的取值范围．
19．已知二次函数的图象经过点，且当时，有最大值．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)判断点是否在抛物线上，并说明理由．
20．已知二次函数的图象过点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)若和都是该二次函数图象上的点，且，求的最小值．
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专题突破七：待定系数法求二次函数解析式（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．求m的值及这个二次函数的关系式．
【答案】，
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，先把点坐标代入可求出，由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式，然后把点坐标代入求出即可．
【详解】解：把代入得，
解得；
∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以二次函数解析式为．
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出抛物线的图象；
(3)点是抛物线上一点，若，结合图象，直接写出的取值范围 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，画出二次函数图象，二次函数的图象等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）首先列表，然后描出点，再连线即可画出图象；
（3）数形结合，根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：将，代入
得：，
解得：，
∴解析式为：；
（2）解：列表：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 0 0 ……
描出点，再连线可得，图象如图所示：
（3）解：由函数图象得，
当或时，．
3．如图，已知抛物线经过点．
(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键．
（1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标；
（2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围．
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当时，，当时，，
∴当时，y的取值范围是．
4．如图，已知二次函数的图象经过点，．求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
【答案】，
【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标．掌握利用待定系数法求函数解析式和二次函数一般式改顶点式是解题关键．将，代入即可求出，从而得出二次函数的表达式，再变为顶点式，即得出图象的顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数图象经过点，，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为，
∴该二次函数图象的顶点坐标为．
5．二次函数的经过点、．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点，也在函数的图象上，求、的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）将C与D坐标代入二次函数解析式即可求出m与n的值．
【详解】（1）将点、代入得：
，
解得：，
则二次函数解析式为；
（2）将，代入二次函数解析式得：，
将，代入二次函数解析式得：，即．
6．已知抛物线经过点
(1)求的值；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式；
（1）通过待定系数法求解；
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】（1）解：将代入得
，
解得：
（2）由（1）可得解析式为，
∴顶点坐标为
7．已知抛物线．
(1)若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式；
(2)求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
(1)依据题意，由点在抛物线上，代入求出m即可得解；
(2)依据题意，由抛物线为，进而可以得解．
【详解】（1）解∶由题意，点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解∶依据题意，抛物线为，
该抛物线的顶点为．
8．已知抛物线
(1)该抛物线的顶点坐标是______
(2)若该抛物线经过点，求抛物线的解析式．
(3)若抛物线在时，有最大值5，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据顶点式解析式可确定抛物线的顶点坐标；
（2）将代入求出的值即可；
（3）分和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：；
（2）解：将代入得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（3）解：当时，抛物线开口向上，
∴当时，有最大值，
∴，
解得，；
当时，抛物线开口向下，
当时，有最大值，
∴，
解得，（舍去），
综上所述，．
9．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为．且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当取何值时，抛物线有最大值，并求出这个最大值；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)时，抛物线有最大值0
(3) 或
【分析】本题考查了求二次函数解析，根据图象的交点坐标求不等式的解集，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）根据抛物线的顶点坐标，得出时，抛物线有最大值0；
（3）观察函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：当 时，，
解得，则，
当时，，
则，
设抛物线解析式为 ，
把代入得 ，
解得：，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，，
∴当时，抛物线有最大值0；
（3）解：根据函数图象可知： 或时，一次函数图象在二次函数图象上方，
∴不等式的解集是 或．
10．已知二次函数的图象顶点，且经过点．求这个二次函数的解析式．
【答案】抛物线解析式为．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，由二次函数的图象顶点，则设抛物线解析式为，把代入求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象顶点，
∴设抛物线解析式为，
∵经过点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为．
11．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与轴两交点间的距离为，求抛物的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）根据关于的一元二次方程判别式的符号进行证明；
（2）设，为抛物线与轴交点的横坐标，根据题意知，为方程的两个不等实数解，则，，，根据题意得出，进一步求出的值即可．
【详解】（1）证明：∵已知关于的一元二次方程，
又∵
，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设，为抛物线与轴交点的横坐标，
∵抛物线与轴两交点间的距离为，
∴，
∴，为方程的两个不等实数解，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
当时，抛物线的解析式为，
当时，抛物线的解析式为，
综上所述，抛物线的解析式为或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，根的判别式，根与系数的关系等知识点，正解理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
12．根据下列条件分别求二次函数的解析式：
(1)已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值4．
(2)已知二次函数的图象的对称轴是直线，与坐标轴交于点，．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据条件正确设出函数的解析式形式是解题的关键．
（1）由二次函数当时，函数有最大值4，得到顶点坐标为，设出二次函数的顶点式，将代入求出a的值，即可求出二次函数的解析式．
（2）已知抛物线的对称轴，可以设出函数的解析式为，把点，代入函数解析式即可求得函数解析式．
【详解】（1）解：由二次函数当时，函数有最大值4，得到顶点坐标为，
设二次函数解析式为（），
将点代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为．
（2）解：由二次函数对称轴为，设函数的解析式是，
∵二次函数与坐标轴交于点，．
∴，
解得：．
则函数的解析式是．
13．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．
(1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式．
(2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论．
【详解】（1）∵函数图象经过点和，
∴，
解得 ，
∴；
（2）∵，
∴顶点，
∵图象的顶点在函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．已知抛物线与x轴交于，B，与y轴交于，直线l的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线l与抛物线只有一个公共点P，试求的面积．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，抛物线与直线的交点，根的判别式，是解题的关键．
（1）把点，代入抛物线解析式，构造方程组求解即可；
（2）由抛物线与直线l：只有一个公共点P，可得，即，得到，解得，从而得到直线l的解析式，进而求得点P的坐标为，根据面积公式即可解答．
【详解】（1）∵抛物线过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）∵抛物线与直线l：只有一个公共点P，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为，方程为，
解得，，
则，
∴，
∵时，，或（舍去），
∴，
∴，
∴．
15．如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)当时，求的最大值与最小值的差．
【答案】(1)
(2)的最大值与最小值的差为9．
【分析】本题考查了求抛物线的解析式与最大值最小值的问题，解题关键是掌握抛物线的图像与性质．
（1）将P点代入求出a即可；
（2）先将抛物线解析式化成顶点式确定抛物线的增减性，再求最大值与最小值，即可求解．
【详解】（1）解：将代入解析式得：，
∴，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：∵，其中，
∴图像开口向下，当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小；
当时，的最大值，的最小值，
∴的最大值与最小值的差为9．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和．
(1)求此二次函数的表达式；并写出其对称轴与顶点坐标；
(2)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)表达式为，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，熟练选择适当方法求解二次函数解析式，并掌握二次函数相应的图象性质是解题的关键．
（1）把和代入即可求解解析式，再化为顶点式可得顶点和对称轴；
（2）利用抛物线的对称性得到点关于直线的对称点的坐标为，然后利用函数图象写出函数值大于对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和，
，
解得：，
抛物线的表达式为：，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
顶点坐标为，
综上，表达式为，对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：补全图形，如图：
点关于直线的对称点的坐标为，
结合图形可得，当时，的取值范围是或．
17．已知二次函数的图象经过顶点，且过．
(1)求出此二次函数的解析式和与轴的交点坐标；
(2)请在坐标系内画出这个函数的图象，若经过点且与轴平行的直线与的图象有公共点，求的取值范围．
【答案】(1)二次函数的解析式为，与轴的交点坐标为，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由题意得出二次函数的对称轴为直线，再利用待定系数法即可得出二次函数解析式，令，求解即可得出与轴的交点坐标；
（2）利用描点法画出函数图象，再结合函数图象即可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过顶点，且过，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
令，则，
解得：，，
∴与轴的交点坐标为，；
（2）解：画出函数图象如图：
，
∵若经过点且与轴平行的直线与的图象有公共点，
∴由函数图象可得，．
18．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求x的取值范围；
(3)当直线与抛物线有2个公共点时，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据对称轴和点利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）根据对称性求出，而抛物线开口向上，故等价于抛物线在轴上方对应的交点横坐标的取值范围；
（3）联立直线和抛物线的表达式得到关于的一元二次方程，转化为，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴对称轴，
∴．
将点代入抛物线，得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设，
∵对称轴为直线，且经过点
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴当时，或；
（3）解：当直线与抛物线有2个公共点时，
联立直线和抛物线的表达式得：，
整理得：，
则，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式的关系，抛物线与一次函数图象的交点问题，根的判别式等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．已知二次函数的图象经过点，且当时，有最大值．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)判断点是否在抛物线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点不在该抛物线上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，待定系数法即可求解；
（2）将代入二次函数的解析式，求出y值，即可判断出点是否在抛物线的图象上．
【详解】（1）解：由题意得顶点为，
设，
把代入，得，
解得．
该二次函数的表达式为．
（2）解：不在，理由如下：
把代入，
得，
点不在该抛物线上．
20．已知二次函数的图象过点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)若和都是该二次函数图象上的点，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象上点的坐标特征得出，由可知，即可求得，利用二次函数的性质即可求得最小值．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，
，
，
二次函数的表达式为；
（2）解：和都是二次函数图象上的点，
，
.
，
，
，
的最小值是．
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