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第26章 二次函数单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：二次函数
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是二次函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．1或
3．巴黎奥运会上，一个运动员踢足球．若球的飞行高度与水平距离之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
5．将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．y=
6．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
9．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如果抛物线有最低点，那么的取值范围是 ．
12．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点， ，则使成立的的取值范围是 ．
13．写出一个经过点，开口向下的抛物线解析式为 ．
14．方程的两个根分别为，当m 时，有最小值．
15．已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3
y … 5 0 0
关于x的一元二次方程的解是 ．
16．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为 ．
18．如图，在梯形中，，，，，，P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过P作交所在直线于E．若点P在线段上运动时，点E总在线段上，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知二次函数．
(1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；
(3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
20．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求：
(1)求a和k．
(2)求点B坐标．
(3)的面积．
21．已知函数是关于的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)判断点是否在该二次函数图象上．
22．已知函数．
(1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
(2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
23．如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米，请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究，下面是探究过程，请补充完整：
下面是探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表：
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.8
在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题；
①桥墩露出水面的高度为______米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为______米．（精确到0.1米）
24．已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为
(1)求二次函数的表达式；
(2)将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为．
①当时，求点P的坐标；
②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值．
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第26章 二次函数单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：二次函数
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的概念，根据二次函数的一般形式逐项判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、，当时不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．已知是二次函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．1或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
3．巴黎奥运会上，一个运动员踢足球．若球的飞行高度与水平距离之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题求二次函数最大（小）值，就是要把二次函数写成顶点式，可以看出最大（小）值．
把函数表达式化为二次函数顶点式，开口向下，即可求出足球在飞行过程中的最大高度．
【详解】解：∵，抛物线开口向下，
当时，y有最大值为8．
则足球在飞行过程中的最大高度为．
故选：B．
4．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体代入法求代数式的值．依据抛物线与轴的一个交点坐标求出，整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，
∴，
∴，
故．
故选：D．
5．将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．y=
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．利用函数图象的平移规律即可求解．
【详解】将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是．
故选：B．
6．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把解析式设为顶点式，即，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，据此可得答案．
【详解】解：设此抛物线解析式为，
∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴，
∴此抛物线解析式为，
故选：B．
7．已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查利用二次函数增减性比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，得到关于对称的对称点为，再由二次函数，开口向下确定，当时，随的增大而减小，即可得到答案，
【详解】解：二次函数（为常数，且）的对称轴为，
点的对称点为．
，
抛物线开口向下．
当时，随的增大而减小．
，
．
故选：B．
8．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象及性质，掌握系数对函数图象的影响是解题的关键．
根据函数图象分别确定系数的正负，同一字母在同一图象中取值不能相异，据此判定即可．
【详解】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意；
C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意；
故选：B．
9．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象和性质；根据二次函数与一次函数在A、B处的函数值相等，得出，求出，然后把代入，可得出，然后根据乘法法则得出或，最后解不等式组即可．
【详解】解：把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，；
把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，；
∴，解得
把代入，得，
由函数图象知：抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，
故选：A．
10．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，一元二次方程与二次函数的联系，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图象可知，时，，可判断①结论；根据抛物线的顶点坐标确定对称轴为直线，可判断②结论；根据抛物线顶点坐标，可判断③结论；根据抛物线与直线的交点个数，可判断④结论．
【详解】解：由图象可知，时，，
则，①结论正确；
抛物线的顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，②结论正确；
顶点坐标为，
,
，
，③结论正确；
顶点坐标为，
抛物线与直线有一个交点，
抛物线开口向下，
抛物线与直线有两个交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，④结论正确；
即正确结论的个数是4，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如果抛物线有最低点，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围．
【详解】解：∵抛物线有最低点，
∴，
解得．
故答案为：．
12．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点， ，则使成立的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．
根据抛物线与直线的交点坐标，结合图像即可解答．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象在一次函数图象下方，
即由图像可知，
故答案为：．
13．写出一个经过点，开口向下的抛物线解析式为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与各系数之间的关系和相关概念，熟练掌握二次函数的图象与各系数之间的关系和相关概念是解题的关键．
根据题意得，，即可求解．
【详解】解：∵该抛物线经过点，开口向下，
∴，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
14．方程的两个根分别为，当m 时，有最小值．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及二次函数的性质，根据根与系数的关系即可得出，，将利用完全平方公式变形为，整体代入，，得到，整理后利用配方法变形为，再利用判别式求出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：方程的两个根分别为，
，，
∵，
∴，
令，
∵方程有两个根，
∴，即，
解得：，
∵，
∴时，y随m的增大而增大，
∴当时，有最小值．
故答案为：．
15．已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3
y … 5 0 0
关于x的一元二次方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可．
【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
由表格信息可得：当时，，
∴点关于对称轴的对称点为点，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
16．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题．
根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为，由此得到顶点坐标为，所以设抛物线的解析式为，而抛物线还经过，由此可确定抛物线的解析式．
【详解】解：喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为，
顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
而抛物线还经过，
，
，
抛物线的解析式为：，
故答案为：．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据抛物线经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而写出点B的坐标．
【详解】解：抛物线的解析式为，
该抛物线的对称轴为直线，点的坐标为．
．
四边形是菱形，
，．
抛物线经过点，
．
．
，，，
．
．
点在轴正半轴上，
点的坐标为．
故答案为：．
18．如图，在梯形中，，，，，，P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过P作交所在直线于E．若点P在线段上运动时，点E总在线段上，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质、求线段的取值范围、二次函数的应用，灵活运用所学知识是关键．
设，，则， ，可得；由相似三角形的对应对应边成比例求得可得，求出y最大值为，因为且即可得到答案．
【详解】解：∵，
设，，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，整理得，
∴，
∴当时，y取最大值，最大值为，
∵当时，解得，故的最大值为；
又∵，
∴；
故答案为.
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知二次函数．
(1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图；
(3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得；
（2）列表、描点、连线即可画图；
（3）根据增减性解答即可．
【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：列表：
描点画图，得：
（3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线，
则当随的增大而减小时，的取值范围为．
20．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求：
(1)求a和k．
(2)求点B坐标．
(3)的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)3
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标．
（1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式；
（2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可；
（3）求出点的坐标，利用求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象过点，
，解得，
一次函数表达式为，
过点，
，解得，
二次函数表达式为；
（2）解：由一次函数与二次函数联立可得，
解得或
∵，
∴；
（3）解：在中，令，得，
，
∴，
∴．
21．已知函数是关于的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)判断点是否在该二次函数图象上．
【答案】(1)
(2)不在
【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义得到，然后解之即可得到满足条件的m的值；
（2）将代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：函数解析式为：，
当时，，
点不在该二次函数图象上.
22．已知函数．
(1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
(2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
【答案】(1)，，原点到直线的距离是
(2)当且时，这个函数是二次函数
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点．
（1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离；
（2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可．
【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得，
解得：或，
又∵，即．
∴当时，这个函数是一次函数．
此时，函数，
将点代入得：；
令，则，
令，则，
故函数与坐标轴的交点为和，
两交点的距离为，
故原点到直线的距离．
（2）解：根据二次函数的定义，得，
解得且．
∴当且时，这个函数是二次函数．
23．如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米，请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究，下面是探究过程，请补充完整：
下面是探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表：
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.8
在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数；
(2)在平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题；
①桥墩露出水面的高度为______米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为______米．（精确到0.1米）
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)0.88；0.7
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
（1）根据函数的定义即可解答；
（2）描点，连线，画出图象即可；
（3）①观察图象即可得出结论；
②求出抛物线的解析式，令解方程求得的值即可得答案．
【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在和这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数；
故答案为：，；
（2）解：描点，连线，画出图象如图：
（3）解：①观察图象结合表知，桥墩露出水面的高度为0.88米；
故答案为：0.88；
②设根据图象，设二次函数的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
二次函数的解析式为，
令得：，
解得（舍去）或，
则处距桥墩的距离至少为0.7米，
故答案为：0.7．
24．已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为
(1)求二次函数的表达式；
(2)将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
【答案】(1)
(2)m的值为
(3)的值为：或
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求顶点出平移后的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，时，时，建立方程解题即可．
【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为
∴二次函数的解析式为，
∴；
（2）解：将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后的坐标为：，
则，
解得，
∴m的值为；
（3）解：∵的对称轴为直线：，
当时，
∴函数最大值为：，
函数最小值为，
∴，即，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴；
当时，
∴函数最大值为：，
函数最小值为，
∴，不符合题意；
当时，
∴函数最大值为：，
函数最小值为，
∴，即，
解得：，（不符合题意，舍去）；
综上：的值为：或．
25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为．
①当时，求点P的坐标；
②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】(1)
(2)①；②，S有最大值6；③满足条件的t的值为或或．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）设，将点代入即可求解；
（2）①由，则，求出，再由即可求解；
②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可．
【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，
∵抛物线与x轴的另一交点为，
设所求抛物线的函数表达式为，
把点代入，得，
解得，
∴所求抛物线的函数表达式为，即；
（2）解：①，则，
∴，，
当时，，
解得：或（与A重合，舍去），
当时，，
故；
②∵，，
∴
，
，
∵，
∴当时，S有最大值6；
③∵，
分三种情况讨论：
当时，，
解得或（舍）；
当时，过点C作交于M，则M为的中点，如图1，
∴，
解得或（舍）；
当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述：满足条件的t的值为或或．
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