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专题突破五：二次函数存在性问题（20道）
【压轴题】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直线，D为上方抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求当面积最大值时直线的解析式；
(3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．
(1)填空，点D的坐标为________，抛物线的解析式为___________；
(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P、使是以为斜边的直角三角形 若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值．
4．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由．
5．综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
(3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
6．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若存在，请说明理由．
8．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．已知：如图，在矩形中，，，对角线交于点O．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长，交于点E，过点Q作，交于点F．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
(1)当t为何值时，是等腰三角形？
(2)设五边形的面积为S（），试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
10．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
11．综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标；
(3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标；
(3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值；
(4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标；
(3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；
(2)设点P的横坐标为t（），
① 当t为何值时，线段的长最大；
② 连接，证明：为直角三角形；
(3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标；
(3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作交y轴于点E．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作轴于点F，当时，求的长；
(3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标．
(3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求a，b的值；
(2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标；
(3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由；
20．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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专题突破五：二次函数存在性问题（20道）
【压轴题】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直线，D为上方抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可；
根据抛物线的解析式求得点，点，则，过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，则四边形是矩形， 有，，结合题意得，即可证明，则，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则， ， ，进一步求得，，，求得和，列出等式求解即可．
【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线，
，
解得：，
所以，抛物线的解析式为：；
（2）解：存在点，使得，理由如下：
∵抛物线的解析式为：，令，得，令，得，，
∴点，点，
∴，
如图：过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则，则， ，
∵点D是上方抛物线上的一个动点，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得，(不合题意，舍去)
，
∴点D的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质和一次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和矩形的性质．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求当面积最大值时直线的解析式；
(3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（3）由可证是等腰直角三角形，分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，得到，利用，即可解答；同理，当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，得到，利用，即可解答．
【详解】（1）解：抛物线，
对称轴为，
抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，
，，则，解得，
，，
将代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由得：，
设直线：，将，代入得，
解得，
直线：，
在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；
当在轴之间时，如图所示：
，，
，
，，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
当在轴右边时，过作轴，如图所示：
，，
，
，对称轴为，，
抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；
，
当时，面积有最大值，为；
此时，
此时，，
设直线的解析式为：，则，
解得：，
此时，直线的解析式为：；
（3）解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
分两种情况：点在上方；点在下方；
当点在上方时，如图所示，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，即，
解得：或（舍去），
当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理得：
，
，即，
，
解得：（舍去）或（舍去），
综上，．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与角度问题、解直角三角形，解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键．
3．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．
(1)填空，点D的坐标为________，抛物线的解析式为___________；
(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P、使是以为斜边的直角三角形 若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值．
【答案】(1)，
(2)存在点，或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用．
（1）由对称轴为直线，点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为，即可得顶点；
（2）设，可得，，，根据是以为斜边的直角三角形，有，即可解得或；
（3）由抛物线对称轴为直线，分三种情况：①当，即时，随的增大而减小，可得，②当，即时，时最小值为，这种情况不存在最小值为；③当时，随的增大而增大，有，分别解方程可得答案．
【详解】（1）解： 对称轴为直线，点的坐标为，
，
将，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：，；
（2）解：存在点，使是以为斜边的直角三角形，理由如下：
设，
在中，令得，
，
，
，，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
解得或，
或；
（3）解：由抛物线对称轴为直线，分三种情况：
①当，即时，随的增大而减小，
时，取得最小值，
，
解得（舍去）或，
此时；
②当，即时，时最小值为，
这种情况不存在最小值为；
③当时，随的增大而增大，
时，取最小值，
，
解得（舍去）或，
此时
综上所述，或．
4．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点时，的面积取得最大值，最大值为4；
(3)或或．
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键．
（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式；
（2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解；
（3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论．
【详解】（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或．
5．综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
(3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可；
（3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．
6．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或．
【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解： 直线过点，
，
，
，
，
二次函数解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．
顶点坐标为，
对称轴为直线，
过点作于点，
在中，．
①当时，设，
在中，
解之得
；
②当时，根据等腰三角形三线合一得：，
，
；
③当时，，
，．
综上所述：点的坐标为或或或．
7．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为
(3)存在，点D的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；
（2）连接，过点D作于点E，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可；
（3）分两种情况进行分析：当D在上方时，当D在下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线的性质及二次函数的性质求解即可
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
，
解得：，
所以，抛物线的解析式为：；
（2）解：如图：连接，过点D作于点E，
设，
，
∵点D是上方抛物线上的一个动点，
，
，
令，则，
，
．
，
．
，
设，
，
∴，
∴当时，面积取得最大值，
此时，
的坐标为；
（3）解：存在点，使得，理由如下：
当D在上方时，如图：
∵，
∴，
令中，，
即，
解得：或，
∴；
当D在下方时，设交x轴于K，如图：
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴
设直线的解析式为，将点，代入得：
，解得，
∴，
联立，
解得：或，
∴
∴点D的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键．
8．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，面积最大值为
(3)存在，或或或
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键．
（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式；
（2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解；
（3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论．
【详解】（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
（3）解：，，，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
③以、为对角线，，
，
，
；
综上所述：或或或．
9．已知：如图，在矩形中，，，对角线交于点O．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长，交于点E，过点Q作，交于点F．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
(1)当t为何值时，是等腰三角形？
(2)设五边形的面积为S（），试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当t为或5时，是等腰三角形
(2)S与t的函数关系式为
(3)存在，t的值为3或
【分析】（1）由题意知，当是等腰三角形时，分，两种情况求解作答即可；
（2）如图2，过点O作于点H，证明，可求，证明，则，，证明，则相似比为，可求，则，根据，求解作答即可；
（3）由题意得，，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，，，
由勾股定理得，，
∴，
由题意知，当是等腰三角形时，分，两种情况求解；
①当，如图1，过P作于点M，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，；
②当时，，
∴当t为或5时，是等腰三角形；
（2）解：如图2，过点O作于点H，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，相似比为，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
解得，或，
∴存在，t的值为3或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用是解题的关键．
10．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)存在，点M的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则，，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，则，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分两种情况讨论，进行求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入函数解析式得：
，解得：，
∴；
（2）解：∵当时，解得，，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
设，则，，
，，，
∴，，
∴，
∴当时，的最大值为；
（3）解：∴，，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设的解析式为：，，，
，
解得：，
∴，
联立，
解得，，
∴；
取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：，
，
设的解析式为：，
则：，
解得：，
∴，
联立，
解得，，
∴；
综上，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
11．综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标；
(3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点E的横坐标为或1
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据题意，证明，然后即可求解；
（3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：把和代入可得．
解得．
∴抛物线的解析式为：；
（2）直线中，令可得，解，得，
∴．
直线中，令，可得．
①分别过E，F向y轴作垂线，垂足为G，H，根据题意，可得，如图：
∵轴，轴，
∴和为直角三角形．
在和中，，
∴．
∴．
设，则，
∴，．
从而，．
∴．解，得（舍去）或．
②如图：同理可得．
解，得（舍去）或．
∴点E的横坐标为或1；
（3）在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或．
理由：∵点M是的中点，，．
∴．
∵点N在抛物线上，轴．
∴．
∴．
在（2）中，当四边形为平行四边形时，
∵，，，，
∴．
解，得（舍去）或．
∴，．
分两种情况：
①如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为．
②如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为．
在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或．
【点睛】本题是一道二次函数综合题目，主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
12．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标；
(3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值；
(4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)
(4)存在，或
【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案；
（3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案；
（4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到．
【详解】（1）把代入，得，
∴．
把代入得：，
∴，
将、代入得：，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）设与y 轴交于点E，如图，
当时，，
解得，
∴点A的坐标是，
∴
∵，，
∴，
∴
∴
设直线的解析式为，把，代入得，
解得
∴直线的解析式为，
联立得到，解得，，
∴点D的坐标是；
（3）作轴于点K，交于点F，如图，
设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为；
（4），
∴．
又∵、，
∴，．
∴，
∴．
∵，
∴．，
∴．
又∵，
∴．
∴当N的坐标为时，．
如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴，即，解得：．
∴，
∴．
综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似．
【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键．
13．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标；
(3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)存在，．
【分析】（1）用待定系数法解题；
（2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可；
（3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
把点，，代入抛物线中得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图中，连接，，
∵，，，
，
∴，
∴直线的解析式为，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
把点的坐标代入，
得到，，解得或，
∴或．
（3）如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接，
设，则，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是直线，
作点关于直线是对称点，连接交直线于，
连接，此时的值最小，
最小值．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
14．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；
(2)设点P的横坐标为t（），
① 当t为何值时，线段的长最大；
② 连接，证明：为直角三角形；
(3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为
(2)①当时，线段的长最大值为，②证明见详解
(3)或
【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可；
（2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案；② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定；
（3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线所对应的函数关系式，
经配方，得，则抛物线的顶点为．
（2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为．
设直线的函数关系式为，
则，解得，
直线的函数关系式为．
设，则．
∴，
∵，且，
∴ 当时，线段的长最大值为．
② 证明：∵，，
则，，，
∵，
∴为直角三角形；
（3）解：存在．
由（2）知是直角三角形，且，，．
(Ⅰ) 如图3.2，若，则，
即，
整理，得，解得，（舍去）．
∴．
(Ⅱ) 如图3.3，若，
则，
即，
整理，得，解得，（舍去）．
∴ ．
故符合条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质．
15．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)点的坐标为
(3)存在，满足条件的点的坐标为或或或
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点，
设直线，将、代入得，解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在，
当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示：
设，
、
，
当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，
；
当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，
；
当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或，
、；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标；
(3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)取得最大值9，点
(3)点N的坐标为或或或
【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可；
（2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可；
（3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交 x 轴于、两点，
∴，解得，
则抛物线的解析式；
（2）解：∵一次函数过点，
∴，解得，
则一次函数解析式，
∴点，
∴，
则为等腰直角三角形，
∵轴，且设与x轴交于点H，如图，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点，则点，
∴
，
当时，取得最大值9，点；
（3）解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，
∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，
∴新的抛物线为，
联立得，解得，
则点，
由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为，
①当是边时，
点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R，
则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且，
即或，
解得：或
故点N的坐标为或；
②当是对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得或，
故点N的坐标为或．
综上，点N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键．
17．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作交y轴于点E．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作轴于点F，当时，求的长；
(3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或．
【分析】（1）当时，，从而得点C的坐标；当时，，解得或，从而确定点A、B的坐标；
（2）设，由构造方程，求得，从而求得点P的坐标，再利用一次函数的性质求的点E，最后利用勾股定理求解即可；
（3）分是矩形的边和是对角线两种情况，利用矩形的性质、一次函数的图象及性质及平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴点C坐标为，
当时，，解得或，
∴；
（2）解：设，
∵轴，，
∴，，
∵，
∴，解得或（不合题意，舍去），
当时，，
∴，
设直线：，把代入可得：
，解得：，
∴直线：，
∵，
∴设：，
∵，
∴抛物线对称轴为，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在一点G，使以P，E，Q．点G的坐标为或
（i）当是矩形的边时，有两种情形：
①如解图①，四边形是矩形时，
由（2）可知，代入，解得：，
∴直线的表达式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∵，，
∴点E向右平移，向上平移1个单位得到点Q，
∴将点P向右平移，向上平移1个单位得到点G，
∴，即 ；
②如解图②，四边形是矩形时，
∵直线的表达式为，
∴，
∴，
∵
∴,
∵四边形是矩形
∴
∴,
∵,
∴，
∵,
∴，
∴,即，解得：，
∴,
∵，
∴,解得：，
∴
∴．
∵，
∴点P向右平移6，向上平移4个单位得到点Q，
∴将点E向右平移6个单位，向上平移4个单位得到G，
∴，即．
（ii）当是对角线时，设
∵,
∴,
∴，
∵Q是直角顶点，
∴，即，整理得：，
∵，
∴该方程无解，
综上所述，满足条件的点G坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数及一次函数的性质、勾股定理、平移的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质及待定系数法求一次函数是解题的关键．
18．如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标．
(3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或；
(3)的周长最小为，点的坐标为
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、轴对称的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）将两点代入求得a、b的值即可解答；
（2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可；
（3）先确定抛物线的对称轴为，如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接，易得，则此时的周长最小；然后再运用两点间距离公式求得进而求得最小周长；再运用待定系数法求得直线的解析式为，然后令令，可得，即可确定点Q的坐标．
【详解】（1）解：将两点代入可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线 经过两点，
∴，
设点P的纵坐标为m，
∵，
∴，即，解得：；
当，有，解得：或4，
∴点P的坐标为或；
当，有，即，
∵，
∴方程无解．
综上，点P的坐标为或．
（3）解：∵抛物线 ，
∴对称轴为，
如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接
∴，
∴，
∴周长为，此时的周长最小，
∵，，，
∴
∴的周长最小为；
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
令，可得，即点；
综上，的周长最小为，点的坐标为．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求a，b的值；
(2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标；
(3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由；
【答案】(1)，；
(2)，，，，；
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将函数解析式化为顶点式，得到对称轴，分三种情况：当时， 当时，当时，分别求出点M的坐标；
（3）当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，证明，有，设，可得，即知，求出直线解析式为，令，求出点P的横坐标；当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，同理可得点P的横坐标为．
【详解】（1）解：将，代入，得
，
解得；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴，
设，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴当时，，即，解得，
∴点M坐标为或；
当时，，即，
解得，
∴点M坐标为；
当时，，即，
解得，
∴点M坐标为，，
综上，点M的坐标为，，，，；
（3）解：存在点P使，理由如下：
当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∵，
∴，
解得
∴，
设直线解析式为，
把代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
当时，
解得；
∴点P的横坐标为；
当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，如图：
同理可得，
∴，
设，
∴，
解得，
∴
设直线的解析式为，
将代入，得
．
解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得，
∴点P的横坐标为
综上，点P的横坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，二次函数的图象和性质，二次函数的交点问题，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
20．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)的坐标为或
(3)的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
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