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专题突破一：画二次函数图像（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．已知二次函数．
(1)填写表中空格处的数值；
(2)根据表格，画出这个二次函数的图象；
(3)根据表格图象可知，当时，的取值范围是______．
【答案】(1)，
(2)画图见解析
(3)
【分析】（）把和代入函数解析式计算即可求解；
（）根据表格中的对应值描点、连线即可；
（）根据表格和所画图象解答即可求解；
本题考查了画二次函数的图象，根据图象求函数值的取值范围，正确画出图象是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：，；
（2）解：画图如下：
（3）解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是，
故答案为：．
2．已知二次函数．
… 0 1 2 …
… …
(1)填写上表，并在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)利用图象写出当时，的取值范围是________________．
【答案】(1)列表见解析；函数图象见解析
(2)或．
【分析】本题考查了求函数值、画二次函数图象，根据交点确定不等式的解集，掌握二次函数图象与性质是关键．
（1）把表中自变量的值分别代入函数式中即可求得对应的函数值，从而完成表格；然后描点、连线即得到函数图象；
（2）从形的角度理解：，函数图象位于x轴下方，观察函数图象即可；
【详解】（1）解：完成表格如下：
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 0 …
描点、连线得到图象如下：
（2）解：当时，体现在函数图象上，是函数图象位于x轴下方，
观察函数图象知：或．
∴当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
3．已知抛物线．
(1)在如图的直角坐标系内画出的图像；
(2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则_____（用或）填空；
(3)①当时，直接写出的范围__________
②当时，直接写出的范围__________
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质，对于（1），根据列表，描点，连线画出图象即可；
对于（2），结合两个点的与对称轴的位置关系，再根据增减性可得答案；
对于（3），观察图象，根据函数的增减性可得答案．
【详解】（1）列表：
x 0 1 2
y 0 3 4 3
如图所示：
（2）当时，
函数值y随着x的增大而减小，
∴．
故答案为：；
（3）①当时，，当时，，且当时，，
当时，．
故答案为：；
②观察图象，可知当时，或．
故答案为：或．
4．已知二次函数．
(1)用配方法将解析式化为的形式；
(2)已知二次函数中的x，y满足下表，求m的值；
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m …
(3)结合（2）中所给的表格，在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象．
【答案】(1)
(2)m的值为
(3)图见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、画函数图象等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）通过配方法求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）根据（2）的表格描点、连线作图即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：将代入，得，
∴m的值为．
（3）解：先描点、再连线，作图如下：
5．已知二次函数．
(1)在所给的平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象；
(2)当时，结合图象直接写出的取值范围是______．
【答案】(1)图象见详解
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据描点法画二次函数图象的步骤即可解决问题．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】（1）解：列表，
x ….. 0 1 …..
y …... 0 0 …...
描点、连线，
（2）解：因为，
则当时，函数取得最小值；
当时，函数取得最大值0，
所以．
故答案为：．
6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中，________；
… …
… …
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有________个交点，所以对应的方程有 个实数根；
②方程有________个实数根：
③关于的方程有4个实数根时，的取值范围是________．
【答案】(1)0；
(2)见解析；
(3)①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大；
(4)①3，3；②2；③．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
（1）把代入函数解析式即可得的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数的图象关于轴对称；当时，随的增大而增大；
（4）①根据函数图象与轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到的取值范围是．
【详解】（1）解：把代入得，
即，
故答案为：0；
（2）解：描点、连线，补全图形如图所示；
（3）解：由函数图象知：①函数的图象关于轴对称；
②当时，随的增大而增大；
（4）解：①由函数图象知：函数图象与轴有3个交点，所以对应的方程有3个不相等的实数根；
②如图，的图象与直线有两个交点，
有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：关于的方程有4个不相等的实数根，
的取值范围是，
故答案为：3，3，2，．
7．已知二次函数．
(1)将二次函数解析式化成顶点式为______．
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围为______．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
（1）将二次函数解析式为顶点式求解．
（2）通过二次函数解析式作图．
（3）结合图象和二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
即抛物线的解析式为：．
（2）解：列表为：
x 0 1 2
y 5 0
∴画图为：
（3）解：∵抛物线的对称轴为：，
根据图象可得，当时，，
故答案为：，
8．已知二次函数．
(1)选取适当的数据填入下表，并在平面直角坐标系内画出该二次函数的图象；
x … …
y … …
(2)根据图象回答下列问题：
①当时，x的取值范围是____________；
②当时，y的取值范围是____________．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】此题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用；
（1）根据五点作图法，先填表，再描点，最后用光滑的曲线画图即可；
（2）①根据图象可知，当时，应取x轴下方的图象对应的x的范围即可；
②根据x的范围，求出y的最大值和最小值，再根据图象求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
画图象如下：
（2）①根据图象可知，当时，x的取值范围是，
故答案为：；
②当时，，
当时，，
根据图象可知，当时，y的取值范围是，
故答案为：．
9．已知如二次函数．
(1)在如图所示的坐标系中，用描点法直接画出该二次函数的图象．（注：省略作图步骤）．
(2)该函数图象的开口向______，顶点坐标为______，对称轴为直线______，函数图象与轴的交点坐标为______，与y轴的交点坐标为______．
(3)由图可知，当时，二次函数的最小值是______，最大值是______．
【答案】(1)见解析
(2)下，，，或，
(3)0，4．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上， 时，函数开口向下．
（1）先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接即可；
（2）根据顶点式的性质，即可解答；
（3）根据函数图象，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意列出表格如下：
…… 0 1 2 ……
…… 0 3 4 3 0 ……
画出图象如下：
（2）解：∵，
∴该函数图象的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，函数图象与轴的交点坐标为或，与y轴的交点坐标为．
故答案为：下，，，或，；
（3）解：由图象可知，当时，二次函数的最小值是0，最大值是4，
故答案为：0，4．
10．利用描点法画二次函数的图象，列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … m n …
(1)填空：表中 ， ；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查画二次函数图象，已知自变量值求函数值等．
（1）根据解析式，分别令和求出对应的值即为的值；
（2）根据题意通过表格中点坐标画在平面直角坐标系中，光滑曲线连接即可．
【详解】（1）解：∵二次函数为，
∴令，即，
∴，
令，即，
∴，
故答案为：，；
（2）解：根据表格可得点坐标分别为：
在平面直角坐标系中找出这些坐标并连接，如下图所示：
11．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．
(1)在坐标系中画出抛物线与直线．
(2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根．
【答案】(1)图见详解
(2)
【分析】本题考查二次函数和一次函数图象即性质，
（1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可；
（2）找出两个图象的交点即可得到答案．
【详解】（1）解：，
∴二次函数的对称轴为：，顶点为，
当时，，，
∴二次函数过点，，，
一次函数过点，，
∴二次函数和一次函数的图象如下图所示，
（2）解：的解为两个图像的交点，即，，
∴．
12．已知抛物线的顶点为，与轴的交点为、（点在点左边）．
(1)直接写出点、、的坐标．
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这条抛物线．
(3)根据图象写出当时的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得A的坐标，令，得到关于x的方程，解方程即可求得B、C的坐标；
（2）根据顶点坐标以及与x轴的交点坐标画出函数图象即可；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点，
在中，令，则，
解得，
∴；
（2）解：描点、连线，画出函数图象如图：
；
（3）解：由图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点，画二次函数图象，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．已知二次函数．
(1)将二次函数化成的形式____________；
(2)写出该二次函数图象的对称轴是____________；顶点坐标是____________；
(3)写出该函数图象与轴的交点坐标是____________，与轴的交点坐标是____________；
(4)用五点法在平面直角坐标系中画出的图象；
(5)结合函数图象，直接写出时的取值范围____________．
【答案】(1)
(2)直线；；
(3)和；
(4)见解析
(5)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）根据二次函数的性质可求解；
（3）令，解方程可得x轴的交点坐标；令，可求解y轴坐标；
（4）根据列表、描点、连线可画出函数图象；
（5）根据图象，找出图象位于x轴上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：二次函数，
故答案为：；
（2）解：由得，该二次函数图象的对称轴是直线；顶点坐标是；
故答案为：直线；；
（3）解：当时，由得，，
∴该函数图象与轴的交点坐标是和；
当时，，
∴该函数图象与轴的交点坐标是；
故答案为：和；；
（4）解：列表：
x … 0 1 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线，如图：
（5）解：如图，当时，二次函数的图象位于x轴的上方，
故当时的取值范围为，
故答案为：．
14．已知二次函数．
(1)用配方法化成的形式，并指出该二次函数图象的顶点坐标与对称轴；
(2)画出此函数的图像；
(3)利用图象回答：当x取什么值时，．
(4)当时，y的取值范围是什么？
【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线；
(2)见解析
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键．
（1）用配方法即可求解；
（2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可；
（3）根据函数图象，找出函数图象在x轴上方的时候x的取值范围即可；
（4）根据图象得到时图象的最高点和最低点的函数值即可求解．
【详解】（1）解：，
∴顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 0 3
画出函数图象如下：
（3）解：由图象可得，
当或时，；
（4）解：由图象可得，
当时，．
15．已知二次函数．
(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
… 0 1 …
… …
(2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）．
【答案】(1)见详解；
(2)，；
【分析】（1）本题考查画二次函数图像，根据函数解析式求出点，描点连线即可得到答案；
（2）本体考查求一元二次方程的解，先解一元二次方程，再四舍五入求解即可得到答案；
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
… 0 1 …
… 2 3 2 …
描点得如图所示，
（2）解：解得，
，．
16．已知二次函数．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围；
(4)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)画图见解析
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，关键是掌握二次函数顶点式坐标的求法及二次函数与不等式的关系．
（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；
（2）通过列表、描点、连线，即可画图；
（3）即抛物线在轴下方部分，根据图象即可进行解答；
（4）根据图象找范围时抛物线对应的范围即可进行解答．
【详解】（1）解：，
该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：列表得：
描点、连线，得：
（3）解：根据图象得抛物线与轴交于点，，
由图可得时，自变量的取值范围为；
（4）解：根据图象可得当时，的取值范围为．
17．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
… 0 1 …
… 0 0 …
(1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象．
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了画函数图象，求二次函数值的取值范围：
（1）利用描点法画函数图象即可；
（2）根据对称性可确定对称轴，进而确定开口方向，再结合函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，画出这个二次函数的图象如下：
AI
（2）解：∵当和当的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∵当时的函数值小于的函数值，
∴函数开口向上，在对称轴处有最小值，
∴结合函数图象可知，当时，．
18．已知二次函数．
(1)写出函数的顶点坐标 ；
(2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．
…… 0 1 ……
…… 0 5 9 ……
(3)根据图象回答下列问题：
①当时，的取值范围是 ；
②当时，的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)画图见解析
(3)①，②；
【分析】本题考查的是二次函数的性质，画二次函数的图象；
（1）先把抛物线化为顶点式，再得出顶点坐标即可；
（2）把，分别代入抛物线的解析式，先填表格，再描点画图即可；
（3）①直接根据二次函数的图象在轴上方的部分对应的范围可得答案；②直接根据图象在间的部分对应的函数值可得答案．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为：；
（2）解：依题意，把，分别代入抛物线的解析式,
分别得，；
补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．
… 0 1 …
… 0 5 9 5 0 …
描点并画图：
；
（3）解：由图象可得：
①当时，的取值范围是；
②当时，的取值范围是．
19．已知二次函数和一次函数．
(1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(2)若这两个函数的图象的交点为，（点在点左侧）．
结合图象，直接写出点和点的坐标；
求 AOB的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)点，点；．
【分析】（）根据画函数图象的方法和步骤即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
先求出一次函数与轴交点坐标，根据即可求解；
本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，画一次函数和二次函数的图象，求与坐标轴围成的三角形的面积，正确掌握一次函数和二次函数的知识是解题的关键．
【详解】（1）列表：
描点；
连线；
∴如图所示，即为所求；
（2）根据图象可知：点，点；
如图，
当时，，即，
∴．
20．操作与探究：已知抛物线．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量的取值范围是________；
②方程的根是_______．
③当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________；
④当时，函数值，直接写出的取值范围________．
【答案】(1)见解析
(2)①或；②，；③；④
【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，画二次函数图象，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键．
（）利用画函数图象的步骤即可求解；
（）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；
【详解】（1）解：列表：
描点，连线，如图，
（2）解：根据图象可知，当函数值时，自变量x的取值范围是或；
故答案为：或；
由得，，
方程的根可以看作是函数与x轴交点，
通过图象可知函数与x轴交点坐标为，
∴方程的根是，；
故答案为：，；
根据图象可知，当时，随的增大而减小，
∵当时，随的增大而减小，
∴m的取值范围是，
故答案为：；
根据图象可知，当时，函数值，
∴的取值范围是．
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专题突破一：画二次函数图像（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．已知二次函数．
(1)填写表中空格处的数值；
(2)根据表格，画出这个二次函数的图象；
(3)根据表格图象可知，当时，的取值范围是______．
2．已知二次函数．
… 0 1 2 …
… …
(1)填写上表，并在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)利用图象写出当时，的取值范围是________________．
3．已知抛物线．
(1)在如图的直角坐标系内画出的图像；
(2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则_____（用或）填空；
(3)①当时，直接写出的范围__________
②当时，直接写出的范围__________
4．已知二次函数．
(1)用配方法将解析式化为的形式；
(2)已知二次函数中的x，y满足下表，求m的值；
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m …
(3)结合（2）中所给的表格，在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象．
5．已知二次函数．
(1)在所给的平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象；
(2)当时，结合图象直接写出的取值范围是______．
6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中，________；
… …
… …
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有________个交点，所以对应的方程有 个实数根；
②方程有________个实数根：
③关于的方程有4个实数根时，的取值范围是________．
7．已知二次函数．
(1)将二次函数解析式化成顶点式为______．
(2)画出这个二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围为______．
8．已知二次函数．
(1)选取适当的数据填入下表，并在平面直角坐标系内画出该二次函数的图象；
x … …
y … …
(2)根据图象回答下列问题：
①当时，x的取值范围是____________；
②当时，y的取值范围是____________．
9．已知如二次函数．
(1)在如图所示的坐标系中，用描点法直接画出该二次函数的图象．（注：省略作图步骤）．
(2)该函数图象的开口向______，顶点坐标为______，对称轴为直线______，函数图象与轴的交点坐标为______，与y轴的交点坐标为______．
(3)由图可知，当时，二次函数的最小值是______，最大值是______．
10．利用描点法画二次函数的图象，列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … m n …
(1)填空：表中 ， ；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．
11．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．
(1)在坐标系中画出抛物线与直线．
(2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根．
12．已知抛物线的顶点为，与轴的交点为、（点在点左边）．
(1)直接写出点、、的坐标．
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这条抛物线．
(3)根据图象写出当时的取值范围．
13．已知二次函数．
(1)将二次函数化成的形式____________；
(2)写出该二次函数图象的对称轴是____________；顶点坐标是____________；
(3)写出该函数图象与轴的交点坐标是____________，与轴的交点坐标是____________；
(4)用五点法在平面直角坐标系中画出的图象；
(5)结合函数图象，直接写出时的取值范围____________．
14．已知二次函数．
(1)用配方法化成的形式，并指出该二次函数图象的顶点坐标与对称轴；
(2)画出此函数的图像；
(3)利用图象回答：当x取什么值时，．
(4)当时，y的取值范围是什么？
15．已知二次函数．
(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
… 0 1 …
… …
(2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）．
16．已知二次函数．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围；
(4)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
17．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
… 0 1 …
… 0 0 …
(1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象．
(2)当时，直接写出的取值范围．
18．已知二次函数．
(1)写出函数的顶点坐标 ；
(2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．
…… 0 1 ……
…… 0 5 9 ……
(3)根据图象回答下列问题：
①当时，的取值范围是 ；
②当时，的取值范围是 ．
19．已知二次函数和一次函数．
(1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(2)若这两个函数的图象的交点为，（点在点左侧）．
结合图象，直接写出点和点的坐标；
求 AOB的面积．
20．操作与探究：已知抛物线．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量的取值范围是________；
②方程的根是_______．
③当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________；
④当时，函数值，直接写出的取值范围________．
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