2024-2025学年广东省广州市广州二中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州二中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.若，，，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象是( )
A. B. C. D.
4.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数例如，那么“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则( )
A. B.
C. D.
6.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是( )
A. B. C. D.
7.若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.非空集合具有如下性质：若，，则；若，，则下列判断中，错误的是( )
A. B.
C. 若，，则 D. 若，，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合，，满足，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列说法不正确的是( )
A. 函数与是同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 若集合，，则
D. 若，不等式恒成立，则的取值范围是
11.已知实数，，满足，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则______．
13.已知，，则的取值范围是______．
14.定义：，已知函数，其中，若，则实数的取值范围为______；若的最大值为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数的定义域为集合，函数的值域为集合．
求，；
已知集合，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
某公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理哪种方案较为合理？并说明理由注：年平均盈利额
17.本小题分
已知函数，，．
当时，若，求实数的值；
若，求的解集．
18.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求，的值；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若函数的图象与直线均无公共点，求证：；
若，且，当时，恒有，求的解析式；
当，时，对于给定的负数，总存在一个最大的正数，使，都有，求的最大值．
参考答案
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15.解：由函数得，解得或，
所以或，由，所以，
所以集合，所以或，
又，所以．
由得，因为，所以A.
若，即，即，符合题意；
若，即，因为，所以，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
16.解：方案二更合理，理由如下：
方案一：设为前年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得，
当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：平均盈利额为，
当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元；
综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合理．
17.解：，，，
则，
解得；
，则，不等式为，
即，即，
若，不等式化为，解为，
若，不等式化为，解得，
若，不等式化为，
时，不等式为，解为，
时，，不等式的解为或，
时，，不等式的解为或，
综上：时，不等式的解集；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或．
18.解：原不等式可化为，因为该不等式解集为，
可知的两根为和，
则，即，
故解得；
若对任意的，恒成立，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，
又因为，，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围是；
当时，，
因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
当时，，显然不成立，
综上所述，实数的取值范围是．
19.证明：由题意方程，
因为函数的图象与直线均无公共点，
即方程无实根，
所以，
所以，
两式相加得，
所以；
解：因为对任意的，，恒成立，
所以，，
又，则，即，
所以，解得，
因为，所以在时取得最小值，
所以对称轴为，解得，
从而，所以；
把，代入得，
，都有，
因为，所以，
，，
当，即时，满足且，
所以是方程的较小根，则，
当，即时，，
所以是方程的较大根，则，
当且仅当时取等号，
由于，因此当且仅当时，取得最大值是．
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