2024-2025学年江西省吉安一中高一（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省吉安一中高一（上）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.集合，，的关系是( )
A. B. C. D.
4.已知，，若集合，则的值为( )
A. B. C. D.
5.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知，为正实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，下列说法正确的是( )
A. 不存在实数使得
B. 当时，
C. 当时，的取值范围是
D. 当时，
10.已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
11.已知关于的不等式解集为，则( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，集合，且，为假命题，则实数的取值范围为______．
13.若“，使”是假命题，则实数的取值范围为______．
14.已知，为正实数，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，集合．
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知命题：，，：，．
若“”是成立的充分条件，求实数的取值范围；
若命题和有且只有一个为假，求实数．
17.本小题分
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理量为吨时的月处理成本记为元，且二者可以近似表示为函数关系已知处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．
该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
18.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求的取值范围；
解关于的不等式．
19.本小题分
已知不等式的解集为．
若，且不等式有且仅有个整数解，求的取值范围？
解关于的不等式：．
参考答案
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15.解：由“”是“”的充分不必要条件，得，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为．
命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，，
则，无解，
所以实数的取值范围
16.解：因为，，当时，恒成立，即，
当时，不等式对不恒成立，
当时，，解得或，
因此命题为真时，或，而“”是成立的充分条件，
则，
当，即时，，符合题意，于是，
当，即时，或，解得，
所以实数的取值范围；
由知，命题为真，或，命题为真时，，解得或，
而命题和有且只有一个为假，即，一真一假，
当真假时，即或并且，解得，
当假真时，即并且或，解得，
所以实数的取值范围是．
17.解：由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当，即时等号成立，
故该当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为元．
不获利，设该单位每个月获利为元，
则，
因为，
则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴元才能不亏损．
18.解：当即时，，不合题意；
当即时，，
即，
解得，
，
即的取值范围为；
，即，
即，
当即时，解集为，
当即时，，
，
解集为或，
当即时，，
，
解集为，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为．
19.解：因为，不等式的解集为，
故的解集为且的解集为，
所以的根为，，
故，即，，
所以的解集为，
即恒成立，
所以，
解得，
不等式等价于，即，
所以，
由题意得，
解得，
综上，的取值范围为；
若，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
若，原不等式等价于的解集为且的解集为，
则，，
所以，，
不等式恒成立，
故，
解得，
不等式，
解得或，
当，时，，，
故，，
则不等式无解，
当，时，，，
故，，
则不等式，
解得，
综上，，解集为或；
当，时，不等式的解集；
当，时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
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