2024-2025学年上海交大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海交大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中至多有一个是偶数”的正确假设为( )
A. 自然数，，中至少有一个偶数 B. 自然数，，中至少有两个偶数
C. 自然数，，都是奇数 D. 自然数，，都是偶数
2.已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的方程的解集为( )
A. B. ，或
C. D. ，或
3.设，，若不等式的解集是，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设正实数、、满足，则当取得最大值时，的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合至多有一个元素，则的取值范围是______．
6.用列举法表示集合 ______．
7.已知集合，，若，则的最小值为______．
8.不等式的解集是______．
9.已知，，则的取值范围为______．
10.设为实数，若关于的一元一次不等式组的解集中有且仅有个整数，则的取值范围是 ．
11.已知集合，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围为______．
12.已知集合，且，，则实数的取值范围是______．
13.若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是______．
14.已知对任意恒成立，则实数的取值范围为______．
15.设，且，则的最小值为______．
16.设，，，是正实数，则的最大值为______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
集合，．
若，求实数的取值范围；
当时，若，求实数的取值范围．
18.本小题分
求下列关于的不等式的解集为实数．
；
；
．
19.本小题分
已知集合中的元素均为正整数，其中且若对任意，，都有，则称集合具有性质．
集合具有性质，求的最小值；
若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为、，求证：；
已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.或
6.
7.
8.或
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：集合，．
当时，则，可得时，满足．
当时，，即时，要使成立，
需，
可得，
综上，的取值范围是．
18.解：，
当时，，得，解集为，
当时，，得，得，
当时，，得，即，
综上可知：不等式的解集为；
，
当时，，方程的根为，
所以不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
综上可知，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为；
当时，，得，
当时，，
因为，所以不等式的解集为，
当时，，
当时，时，不等式的解集为或，
当时，，不等式的解集为，
当时，时，不等式的解集为或．
综上可知，当时，不等式的解集为，
当时，所以不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或．
19.解：由性质定义知，，
所以，，
解得，且，
所以的最小值为．
证明：由，且，
所以，
所以，得证．
解：由知，即，解得，
因为，
利用累加法可得，，又，
所以恒成立，
当，取，则，，
故，
当，则，当且仅当时取等号，
则，即．
综上，集合中元素个数的最大值为．
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