2024-2025学年上海市徐汇区位育中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市徐汇区位育中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图中的阴影部分可以表示为( )
A. B.
C. D.
2.已知，，，均为实数，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
3.对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.对于集合，，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”以下命题中，
不是“可分集合”
三元集可能是“可分集合”
是“可分集合”
四元集可能是“可分集合”
五元集一定不是“可分集合”
真命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.用列举法写出所有小于的素数组成的集合______．
6.已知，则实数______．
7.集合，，则 ______．
8.不等式的解集为______．
9.已知集合，若，则实数的取值范围是______．
10.用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设______．
11.若，满足，则的取值范围是______．
12.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是______．
13.已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是______．
14.已知：或，：或，若的必要条件是，则实数的取值范围是______．
15.已知集合中各元素之和为，则实数的值为______．
16.若关于的不等式的解集中整数解恰有个，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求关于的不等式的解集：，
18.本小题分
某工厂生产商品，每件售价元，每年产销万件工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定将商品的年产销量减少万件，同时将商品的销售金额的作为新产品开发费即每销售元提出元若新产品开发费不少于万元，求实数的取值范围．
注：工厂永不停产，新产品永在开发
19.本小题分
已知集合，，且．
若，求实数组成的集合．
若全集为，，求，的值．
20.本小题分
已知关于和的方程组其中当时，求该方程组的解集；
记关于和的方程组其中的两组不同的解分别为和，判断是否为定值若为定值，求出该值；若不是定值，说明理由；
已知，是关于的一元二次方程的两个实根若满足，求整数的值．
21.本小题分
已知集合，，其中，且满足：对任意的，有，则称集合具有性质由中元素可构成两个点集和：和集，，，差集，，，其中中有个元素，中有个元素．
已知集合，集合和集合，判断它们是否具有性质若是，则直接写出其对应的集合和集合；若否，请说明理由；
试判断“集合具有性质”是“”的什么条件，并证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.或
8.或
9.
10.且
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.解：不等式可化为，
若，即，则不等式为，解得；
若，即，则不等式可化为，
因为，所以解不等式得或；
若，即，则不等式可化为，
因为，所以解不等式得；
综上，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为
18.解：由题，商品的年销量为件，又每件售价元，
则，
化简得：，
解得：，
即的取值范围是．
19.解：，，
，，
当，则；
当，则；
当，则，
综上可得实数组成的集合为
由全集为，，即，得，，
，解得，
，
，，解得，
综上，，．
20.解：当时，消去得，
解得或，
当时，，当时，，
因此，方程组的解为和．
关于和的方程组其中的两组不同的解分别为和，
消去整理得，
显然，且，其两根为，，
由韦达定理得，，
所以，
，
所以，
因此，是定值，且定值为．
因为，是关于的一元二次方程的两个实根，
所以，解得，
，，
则，
因为，所以，
因为为整数，所以、、，
因为，所以整数的值为或或．
21.解：，则，故不满足定义，不具有性质，
，，，，，，，满足要求，
故 K具有性质，
由于，其他均不合要求，故，，
由于，，其他不合要求，故，；
证明：集合具有性质，
对于，根据定义可知：，，，
又因为集合具有性质，则，
如果，是中不同元素，
那么，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
故，也是中不同的元素，
可见的元素个数不多于的元素个数，即，
对于，根据定义可知，，，，
又因为集合具有性质，则，
如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
故，也是中不同的元素，
可见的元素个数不多于的元素个数，即，
综上，，即“集合具有性质”是“”的充分必要条件．
第1页，共1页