2024-2025学年广西南宁市南宁二中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广西南宁二中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：“，”，则它的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示( )
A.
B.
C.
D.
4.设，则“”是“”成立的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设集合，则集合的真子集个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.不等式的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若，则
10.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A.
B. 关于的不等式的解集是
C.
D. 关于的不等式的解集为或
11.已知正数，满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，且，则实数范围是______．
13.若，，则的取值范围用区间表示为______．
14.设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”给出下列命题：
若为“完美集合”，则一定有；
“完美集合”一定是无限集；
繁合为“完美集合”；
若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”．
其中真命题是______写出所有正确命题的序号
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求函数的最小值；
设，，且，求的最小值．
16.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知命题：对任意实数，不等式恒成立；命题：关于的方程无实数根．
若为真命题，求实数的取值范围，
若的题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车．这类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略．中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽柴油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划．年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且；已知每辆车售价万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；
年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
19.本小题分
已知函数．
当时，解关于的不等式；
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
，当且仅当，即时取等号，
；
，，，
，
，当且仅当，即，时取等号，
．
16.解：由题设，则
由，
若，则，满足题设；
若，则，满足题设；
综上，，
故实数的取值范围为．
17.解：对任意实数，不等式都成立，
当时，不等式化为，即，不符合题意；
当时，要使对任意实数，不等式恒成立，
则，解得．
所以命题真时，实数的取值范围是；
若真，即方程无实数根，则，解得，
即命题真时，，由知，命题真时，，
由命题、中有且仅有一个是真命题，
得当真假时，，且或，因此；
当假真时，，且，因此，
所以实数的取值范围为．
18.解：由题意知利润收入总成本，
所以利润，
故年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为．
当时，，故当时，；
当时，，当且仅当，即时取得等号；
综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元．
19.解：由，
得，，
若，即，不等式可化为：，解得；
若，即，不等式可化为：，解得；
若，即，不等式可化为：，
，，，
或．
综上可知：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
不等式，即，
，
恒成立，：．
问题转化为：存在，使得成立，，
设，令，则，
当且仅当，即时取等号，
，当且仅当时取等号．
综上可知：的取值范围为．
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