2024-2025学年河北省保定市保定一中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省保定一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.设函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列图象中，表示定义域、值域均为的函数是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，则有( )
A. B. C. D.
6.已知命题：，命题：不等式的解集为，则成立是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知，，则下列结论错误的是( )
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
8.关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，是相同函数的是( )
A. ，与
B. 与
C. 与
D. 与
10.下列说法中正确的有( )
A. 命题，则命题的否定是，
B. “”是“”的必要条件
C. 命题“，”的是真命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
11.若函数存在最小值，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.已知，则集合的子集的个数是 ．
14.已知，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
若，求实数取值范围；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
完成下列问题：
已知，求．
已知是一次函数，且满足，求．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ若不等式的解集为，求的值；
Ⅱ若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ解关于的不等式．
18.本小题分
如图，某小区有一块五边形的空地，延长交的延长线于点，四边形为矩形，，，，为了合理利用该空地，在线段上取一点，使得四边形为矩形，矩形作为小区广场，其余为绿化带，其中点在上，点在上．
设，，求的值，并分别求，的取值范围；
求广场面积的最大值，并指出此时点的位置．
19.本小题分
学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：
已知，，且，求的最小值．
李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同．
李雷的解法：由于，所以，
而那么则最小值为．
韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为．
你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的需说明理由
为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
已知，，，且，求证：．
已知，，，求的最小值．
参考答案
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15.解：集合，，，
因为，所以，即，
解得，即实数取值范围为．
由，
，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
则，解得，
所以实数取值范围为．
16.解：令，可得，
则，
所以．
由于是一次函数，
设，
则，，
又，
得，
即，
则，解得，
所以．
17.解：Ⅰ因为的解集为，
所以的两个根为，，
则，解得；
Ⅱ不等式对任意的恒成立，
则恒成立，
所以，
整理得，
解得，，
故的范围为；
Ⅲ，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
18.解：延长交于，延长交于，则，，
，，
∽，
，即，
，故，的取值范围分别是，．
设广场面积为，则．
，
，
即，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最大值为，此时，，
是的中点．
因此，当是的中点时，广场面积取得最大值，且最大值为．
19.解：韩梅梅的解法正确；李雷的解法错误．
原因是在李雷的解法中，的等号成立时；
，当且仅当，即时取等号．
以上两式同时取等时，；
证明：由，，，且，
则
．
当且仅当时等号成立，
故；
解：，，
则
，当且仅当，
即时等号成空．
．
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