2024-2025学年福建省福州市福建师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建师大附中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角的终边上一点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
3.为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩均为整数中各随机抽查个，得到如图所示的数据图用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值，关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是( )
A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的百分位数为
C. 甲班的中位数为 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值
4.在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知函数将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是( )
A. 函数在区间上有最小值 B. 函数的一条对称轴为
C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的一个对称点为
6.如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，分别为，，，的中点，为上一点，，当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.正四棱台上、下边长为、，外接球表面积为，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.在中，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据，，，的平均数为，标准差为另一组样本数据，，，，的平均数为，标准差为两组数据合成一组新数据，，，，，，，新数据的平均数为，标准差为，则( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，点，分别为棱与的中点，则下列选项正确的有( )
A. 平面
B. 与所成的角为
C. 平面
D. 平面截正方体的截面面积为
11.已知，均为正数且，下列不等式正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为______．
13.已知函数，
若，的最小值是 ；
若恰好有个零点，则实数的取值范围是 ．
14.如图，在中，，，，的延长线交边于点，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面四边形中，已知，，，，，于点将沿折起使得平面，如图，设．
若，求证：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
16.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，，，．
求证：；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．
求证：；
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，．
证明：；
求二面角的平面角的余弦值；
在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置．
19.本小题分
已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：
对任意，均存在反函数，且；
对任意，方程均有解；
对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则；
若，均在集合中，求证：函数；
若函数在集合中，求实数的取值范围；
若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有．
参考答案
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15.解：证明：在平面四边形中，，，，
，，又，，
，，，
，．
在中，易得．
，，．
在四棱锥中，连接，设，连接，
，，又，
，又平面，平面，
平面．
由题意易知，，两两垂直，故建系如图：
则，，，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，取，
由，得，
，．
由直线与平面所成角的正弦值为，
得，解得．
16.证明：直三棱柱的体积为：，
则，四边形为正方形，
直棱柱中，平面，又，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
，
所以，即C.
解：，，
设平面的法向量：，
则，取，得，
，，
设面的法向量，
则，取，得，
设二面角的大小为，
则，
因为为锐角，所以二面角余弦值为．
17.证明：由平面平面，平面平面，平面，，
得平面，又平面，故AD；
解：取棱的中点，连接，，
为棱的中点，故，
或其补角为异面直线与所成角，
在中，，故D，
平面，平面，故AD，
在中，，故D，
在等腰三角形中，，可得，
异面直线与所成角的余弦值为；
解：连接，
为等边三角形，为边的中点，
故C，，
又平面平面，平面平面，而平面，
故C平面，则为直线与平面所成角，
在中，，
在中，．
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由题，连接交于，则，连接，
在中，，，，
所以，
则，
所以，又平面平面，平面，
所以底面，
所以以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
证明：由于，，，
则，
所以；
设平面的法向量，
则，即，取，则，
设平面的法向量，
则，即，取，可得，
所以，
又由图可知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值是；
假设在直线上存在点，使平面，
设，，则，
故，，
设平面的法向量为，
，
则，即，取，则，
又平面，则，
即，解得：，
即存在点在的延长线上，且使．
19.证明：由，根据性质可得：，且存在，使得，
由，且为一次函数，根据性质可得：．
解：由性质，方程，即在上有解，．
由，．
若，时，，且，此时没有反函数，即不满足性质．
若，时，函数在上单调递增，函数有反函数，即满足性质．
综上：．
证明：任取，，由性质，，不妨设，，若，则，，
由性质函数，函数，
由性质：，
由性质：，
由性质方程：有解，，即，
，可得，，可得，．
由此可知：对于任意两个函数，，存在相同的满足：，
存在一个实数，使得对一切，均有．
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