2024-2025学年湖南省长沙市长沙实验中学高三（上）第三次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙实验中学高三（上）第三次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，的共轭复数为，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，满足，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是( )
A. ，，
B. 当时，点到轴的距离的最大值为
C. 当时，函数单调递减
D. 当时，
11.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”根据定义可得( )
A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线上点的切线平行于直线，则点的坐标是______．
13.在中，已知，为线段的中点，若，则 ______．
14.已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有______个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，为边上一点，且，求的长．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且．
证明：平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数在处的切线方程为．
求实数的值；
探究在区间内的零点个数，并说明理由．
18.本小题分
已知双曲线的焦距为，离心率为，，分别为的左、右焦点，两点，都在上．
求的方程；
若，求直线的方程；
若，且，，求四个点，，，所构成四边形的面积的最小值．
19.本小题分
随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有、、等，不同算法密钥长度也不同，其中的密钥长度较长，用于传输敏感数据在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在加密算法中的应用设，是两个正整数，若，的最大公约数是，则称，互素对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为．
试求，的值；
设，是两个不同的素数，试用，表示，并探究与和的关系；
设数列的通项公式为，求该数列的前项的和．
参考答案
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15.解：由题意，，即，
即，
由正弦定理，
可得，
又在中，，则，即，
结合，则；
由，得，
则，
又，
则
，
则的长为．
16.解：证明：如图，取棱靠近的三等分点，连结，，则是的中点，
因为为棱的中点，所以是的中位线，所以，
因为，所以，
设，因为，所以，作，连接，
则，因为，所以．
在中，由余弦定理得：，
因为，所以．
又因为，，面，所以平面，
因为面，所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
由知，，以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
令，所以，
设平面的法向量为，
则即令，可得，所以．
连接，此时，，由余弦定理得：，
因为，所以，
因为平面，所以，
因为，面，，
所以面，所以平面的一个法向量为．
设平面和平面的夹角为，则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
17.解：由题可知，
由处的切线方程为，，
把点代入得，．
由可知，，
令，，
当时，，则在区间上单调递增．
，
由零点存在定理可知，存在，使得，即，
当时，，则在区间上单调递减；
当时，，则在区间上单调递增，
又，
由零点存在定理可知在区间上有且仅有一个零点．
当时，；
当时，：
在区间上单调递增．
又，，
由零点存在定理可知，存在唯一零点，使得，
综上可得，在区间有且仅有两个零点．
18.解：因为双曲线的焦距为，离心率为，
所以，解得，
故曲线的方程为．
由有，因为，所以，所以，
所以直线过右焦点，且直线的斜率不为零，设直线的方程为，
联立，消去可得，
易知，其中恒成立，
，
代入，消元得，
所以，解得，满足，
所以直线的方程为．
因为，，
则，，分别在两支上，且，，都在的上方或的下方，
不妨设都在的上方，又，
则在第二象限，在第一象限，如图所示，
延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点，
由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的倍，
由题设，直线的方程为，直线的方程为，
由第问易得，
因为，所以，
两条直线与间的距离，
所以，
令，
所以，
设，则，在上恒为减函数，
所以在上恒为增函数，
当时即，取得最小值为，
所以四个点，，，所构成的四边形的面积的最小值为．
19.解：易得，
不超过且与互素的正整数有，，，，，，则，
不超过且与互素的正整数有，，，，，，则，
不超过且与互素的正整数有，，，，，，，，，，，，则，
所以，．
在不大于的正整数中，只有的倍数不与互素，而的倍数有个，
因此．
由，是两个不同的素数，得，，
在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个，
于是，
所以．
根据得，
所以，
，
两式相减，得，
所以，
故．
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