九年级数学上点拨与精练 第24章圆24.1.2 垂直于弦的直径（含解析）

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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标：
理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步运用垂径定理进行计算及证明；
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美，并激发学生对数学的热爱。
老师告诉你
垂径定理基本图形计算中的“四变量、两关系”
四变量：
⊙O中，弦长a，圆心到弦的距离d,半径r，劣弧的中点到弦的距离h，这四个量中知任意两个可求其它两个。
2.两关系：
（1）+d2=r2
(2) h+d=r
注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形。
一、知识点拨
知识点1 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
【新知导学】
例1．下列说法中，不正确的是( )
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆有无数条对称轴
C.圆的每一条直径都是它的对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
【对应导练】
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是( )
A.每一条直径都是圆的对称轴
B.圆的对称轴是唯一的
C.圆的对称轴一定经过圆心
D.圆的对称轴与对称中心重合
知识点2 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的依据是圆的轴对称性
【新知导学】
例2．如图，在半径为5cm的中，弦，于点C，则OC的长度等于( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【对应导练】
1．如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为( )
A. B. C. D.
2．如图,AB是的直径,弦,垂足为P.若,,则的半径为( )
A.10 B.8 C.5 D.3
3．已知的半径为,,是的两条弦,,,,则弦和之间的距离是__________.
知识点3 垂径定理的推论
1.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。
2.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
【新知导学】
例3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．如图，AB，CD是的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线.求证：MN垂直平分CD.
2．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为( )
A.4 B. C.5 D.
3．如图，OA，OB，OC都是的半径，AC，OB交于点D.若，，则BD的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4．如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是( )
A.9 B. C. D.
知识点4垂径定理的应用
常用垂径定理及推论进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解．
特别注意右图形的运用。常作辅助线：弦心距。
利用弦的垂直平分线可以确定圆心。
【新知导学】
例4．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，若，为水面截线，，为桌面截线，.
(1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度(不要求尺规作图，不说理由)，并直接写出的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少.
【对应导练】
1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心.，C是上一点，，垂足为D，.求这段弯路的半径.
2．如图(1),是中国传统园林建筑中的月亮门,拱门的上部分是圆的一段弧.随着四季更迭,半遮半掩之间,便将丝丝景致幻化成诗情画意.图(2)是月亮门的示意图,其中米,C为中点,D为月亮门最高点,圆心O在线段上,米,月亮门所在圆半径的长为______米.
3．如图,是一个底部呈球形的蒸馏瓶,球的半径为,瓶内液体的最大深度,则截面圆中弦的长为( )
A. B. C. D.
二、题型训练
1.利用垂径定理进行证明
1．如图，的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
2．如图，AB是的弦，C，D为直线AB上两点，若，求证：.
2.利用垂径定理在同心圆中的应用
3．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点 (如图所示).
(1)求证:；
(2)若大圆的半径，小圆的半径，且圆心O到直线的距离为6，求的长.
4．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：.
3.利用垂径定理求线段长度
5．如图，AB是的直径，弦于点M，连结CO，CB.
（1）若，，求CD的长度；
（2）若平分，求证：.
6．如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F.
(1)求证：.
(2)若，，求的半径.
4.利用垂径定理确定圆心
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧.
（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的中点到弦的距离为，求所在圆的半径.
8．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_____；
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图,AB是的直径,弦,垂足为P.若,,则的半径为( )
A.10 B.8 C.5 D.3
2．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知,半径,则高度CD的长为( )
A.2m B.4m C.6m D.8m
3．如图,为的直径,弦于点E,若,则的半径为( )
A.3 B.4 C. D.5
4．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为( )
A. B. C. D.
5．如图，将半径为4的圆形纸片折叠使弧经过圆心O，过点O作直径于点E，点P是半径上一动点，连接，则的长度不可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6．如图所示，圆O的直径与弦相交于点P.已知圆的直径，，则的值是( )
A. B.8 C. D.4
7．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，，的长为( )
A. B.4 C. D.8
8．如图所示的工件槽的两个底角均为,尺寸如图(单位cm),将形状规则的铁球放入槽内,若同时具有A,B,E三个接触点,则该球的半径是( )cm.
A.10 B.18 C.20 D.22
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．一个圆柱形管件,其横截面如图所示,管内存有一些水(阴影部分),测得水面宽为,水的最大深度为,则此圆的直径为___________.
10．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为_________.
11．如图是一个古代车轮的碎片,形状为圆环的一部分,为求其外圆半径,连接外圆上的两点A,B.并使AB与车轮内圆相切于点D,作交外圆于点C,测得,,则这个外圆半径为_______cm.
12．如图，的直径，弦，垂足为E，，则CD的长为__________.
13．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到瓶底面的距离为，则球的半径为__________(玻璃瓶厚度忽略不计).
三、解答题（共6小题，，每小题8分，共48分）
14．如图，AB是的直径，弦于点M，连结CO，CB.
（1）若，，求CD的长度；
（2）若平分，求证：.
15．如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成.
（1）如图1，一辆货车高4m，宽2.8m，它能通过该隧道吗？
（2）如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.8m的货车能驶入这个隧道吗？
（3）如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则该辆宽为4m，高为2.8m的货车还能通过隧道吗？
16 .（1）科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12 m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1 m）；
（2）若，点M在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
17．如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上，于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点C，老师肯定了他的想法.
（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C；
（2）这位同学确定点C所用方法的依据是____________.
18．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为50 km/h，受影响区域的半径为260 km，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P 480 km处.
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间.
19．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(保留作图痕迹)；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径.
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标：
理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步运用垂径定理进行计算及证明；
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美，并激发学生对数学的热爱。
老师告诉你
垂径定理基本图形计算中的“四变量、两关系”
四变量：
⊙O中，弦长a，圆心到弦的距离d,半径r，劣弧的中点到弦的距离h，这四个量中知任意两个可求其它两个。
2.两关系：
（1）+d2=r2
(2) h+d=r
注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形。
一、知识点拨
知识点1 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
【新知导学】
例1．下列说法中，不正确的是( )
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆有无数条对称轴
C.圆的每一条直径都是它的对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
答案：C
解析：A项，圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；B项，圆有无数条对称轴，说法正确；C项，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，说法错误；D项，圆的对称中心是它的圆心，说法正确.故选C.
【对应导练】
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：A是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B是轴对称图形，又是中心对称图形；
C是中心对称图形，但表示轴对称图形；
D是轴对称图形，但不是中心对称图形。
故选B
2．下列说法正确的是( )
A.每一条直径都是圆的对称轴
B.圆的对称轴是唯一的
C.圆的对称轴一定经过圆心
D.圆的对称轴与对称中心重合
答案：C
解析：因为对称轴是直线,不是线段,故A不正确;因为圆的对称轴有无数条,故B不正确;因为不能说点和线重合,故D不正确.只有C正确,故选C.
知识点2 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的依据是圆的轴对称性
【新知导学】
例2．如图，在半径为5cm的中，弦，于点C，则OC的长度等于( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
答案：B
解析：连接OA，
，OC过O，，
，
在中，由勾股定理得：.
故选：B.
【对应导练】
1．如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如图，连接，过A作轴交于B，
，，
，，
，，
，
，
，
；
故选：D.
2．如图,AB是的直径,弦,垂足为P.若,,则的半径为( )
A.10 B.8 C.5 D.3
答案：C
解析：如图,连接OC.
∵AB是的直径,弦于P,,
∴,,
设的半径为R,则,
∴在直角它,由勾股定理得到：
∴,
解得,.
故选C.
3．已知的半径为,,是的两条弦,,,,则弦和之间的距离是__________.
答案：2或14
解析：①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,
∵,,
∴,,
∵,
∴,,
∴；
②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,
∵,,
∴,,
∵,
∴,,
∴.
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.
故答案为2或14.
知识点3 垂径定理的推论
1.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。
2.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
【新知导学】
例3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心.
如图所示，则圆心是.
故选：A.
【对应导练】
1．如图，AB，CD是的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线.求证：MN垂直平分CD.
答案：证明见解析
解析：证明：，，.
是AB的垂直平分线，经过圆心O，
平分CD，即MN垂直平分CD.
2．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为( )
A.4 B. C.5 D.
答案：B
解析：在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
，，
在中，，
故选：B.
3．如图，OA，OB，OC都是的半径，AC，OB交于点D.若，，则BD的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案：B
解析：，.
在中，.
..故选B.
4．如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是( )
A.9 B. C. D.
答案：D
解析：连接，
，
∴，
，
，
在中，
，
，
设，则有，
，
，
在中，，
.
故选：D.
知识点4垂径定理的应用
常用垂径定理及推论进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解．
特别注意右图形的运用。常作辅助线：弦心距。
利用弦的垂直平分线可以确定圆心。
【新知导学】
例4．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，若，为水面截线，，为桌面截线，.
(1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度(不要求尺规作图，不说理由)，并直接写出的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少.
答案：(1)图见解析，
(2)
解析：(1)，
如图，连接，
为圆心，，，
，
，
，
在中，，
，
的长为；
(2)过O作，连接，
由题得，，
在中，，
，
，
水面截线减少了.
【对应导练】
1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心.，C是上一点，，垂足为D，.求这段弯路的半径.
答案：
解析：，，
.
设的半径为，则.
依题意得，即.解得.
答：这段弯路的半径为.
2．如图(1),是中国传统园林建筑中的月亮门,拱门的上部分是圆的一段弧.随着四季更迭,半遮半掩之间,便将丝丝景致幻化成诗情画意.图(2)是月亮门的示意图,其中米,C为中点,D为月亮门最高点,圆心O在线段上,米,月亮门所在圆半径的长为______米.
答案：1.5
解析：连接,
∵C为中点,D为月亮门最高点,圆心O在线段上,
∴,米,
∴,
设圆的半径长为x米,则米,米,
在中,,
∴,
解得,
∴圆的半径为1.5米,
故答案为：1.5.
3．如图,是一个底部呈球形的蒸馏瓶,球的半径为,瓶内液体的最大深度,则截面圆中弦的长为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意得：,
∴,,
∵,,
∴,
在中,由勾股定理得：,
∴.
∴截面圆中弦AB的长为.
故选：C.
二、题型训练
1.利用垂径定理进行证明
1．如图，的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：作于点M，作于点N，
又，四边形OMEN为矩形，
，，，，
四边形OMEN是正方形，.
，，，，
又，，即.
（2）连接OA，由（1）可知，
，
，，
，.
在中，，
的半径为.
2．如图，AB是的弦，C，D为直线AB上两点，若，求证：.
答案：证明见解析
解析：证明：如图，过点O作于点H，
则.
，，
，
，
即.
2.利用垂径定理在同心圆中的应用
3．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点 (如图所示).
(1)求证:；
(2)若大圆的半径，小圆的半径，且圆心O到直线的距离为6，求的长.
答案：（1）证明：过O作于点E，
则
,即；
（2）由（1）可知，且,连接
.
解析：
4．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：.
答案：证明见解析
解析：证明：过点O作，垂足为E，
则，，
，即.
3.利用垂径定理求线段长度
5．如图，AB是的直径，弦于点M，连结CO，CB.
（1）若，，求CD的长度；
（2）若平分，求证：.
答案：（1）8
（2）证明见详解
解析：（1）是的直径，弦，
，
，，
，
，
在中，，
，
；
（2）过点O作，垂足为N，
平分，
，
，
，
，
.
6．如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F.
(1)求证：.
(2)若，，求的半径.
答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
，
设的半径是r，
，
，
，
的半径是.
4.利用垂径定理确定圆心
7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧.
（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的中点到弦的距离为，求所在圆的半径.
答案：（1）圆心如图所示.
在上任意取一点，连接，分别作线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即所求作的圆心.
（2）连接，交点，则，且平分，
.连接，设圆的半径为.
在中，，
，解得.
所在圆的半径为.
解析：
8．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_____；
答案：
解析：如图所示，建立坐标系，
由图可知该圆弧所在圆的圆心坐标是，
故答案为：.
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图,AB是的直径,弦,垂足为P.若,,则的半径为( )
A.10 B.8 C.5 D.3
答案：C
解析：如图,连接OC.
∵AB是的直径,弦于P,,
∴,,
设的半径为R,则,
∴在直角它,由勾股定理得到：
∴,
解得,.
故选C.
2．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知,半径,则高度CD的长为( )
A.2m B.4m C.6m D.8m
答案：B
解析：∵CD垂直平分AB,
∴
∴
∴
故选：B.
3．如图,为的直径,弦于点E,若,则的半径为( )
A.3 B.4 C. D.5
答案：D
解析：如图所示,连接,设,则,
∵为的直径,,
∴,
在中,由勾股定理得：,
∴,
解得,
∴的半径为5,
故选D.
4．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：设半径为，则
在中，有
，即
解得
故选：D
5．如图，将半径为4的圆形纸片折叠使弧经过圆心O，过点O作直径于点E，点P是半径上一动点，连接，则的长度不可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：D
解析：
如图，当点P与O重合时，
，
当点P与D重合时，
，
连接，
将半径为4的圆形纸片折叠使弧经过圆心O，
，，
，，
，
的长度的取值范围为，
的长度不可能是7，
故选：D.
6．如图所示，圆O的直径与弦相交于点P.已知圆的直径，，则的值是( )
A. B.8 C. D.4
答案：B
解析：如图所示，过点O作，于点C，连接，则，
，
故选：B.
7．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，，的长为( )
A. B.4 C. D.8
答案：C
解析：，
，
的直径垂直于弦，
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
故选C.
8．如图所示的工件槽的两个底角均为,尺寸如图(单位cm),将形状规则的铁球放入槽内,若同时具有A,B,E三个接触点,则该球的半径是( )cm.
A.10 B.18 C.20 D.22
答案：A
解析:
连接AB,OA,OE,则cm,于点F,
,
cm,
设圆的半径为r(cm),则(cm),
,
,
解得:cm.
故选A.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．一个圆柱形管件,其横截面如图所示,管内存有一些水(阴影部分),测得水面宽为,水的最大深度为,则此圆的直径为___________.
答案：/厘米
解析：连接,如图所示：
由题意知,,,
∵,
∴,
设的半径为,则,,
在中,,
,
解得：,
∴此管件的直径为,
故答案为：.
10．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为_________.
答案：
解析：如图，圆心为A，设大正方形的边长为，圆的半径为R，连接，，作于点B，
，
正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，
，；
小正方形的面积为，
小正方形的边长，
由勾股定理得，，
即，
解得，（负值舍去），
.
故答案为：.
11．如图是一个古代车轮的碎片,形状为圆环的一部分,为求其外圆半径,连接外圆上的两点A,B.并使AB与车轮内圆相切于点D,作交外圆于点C,测得,,则这个外圆半径为_______cm.
答案：25
解析:如图,设点O为外圆的圆心,连接OA和OC,
,,
,
,
设半径为r,则,
根据题意得:,
解得:.
这个车轮的外圆半径长为25cm.
故答案为:25.
12．如图，的直径，弦，垂足为E，，则CD的长为__________.
答案：24
解析：连接OC，如图所示：
直径，
，
，
，，
弦，
，，
，
，
故答案为：24.
13．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到瓶底面的距离为，则球的半径为__________(玻璃瓶厚度忽略不计).
答案：7.5
解析：如图，设球心为O，球与玻璃瓶的右侧交点为D，连接AD，过O作于M，连接OA，则.设球的半径为，则，在中，由勾股定理得，即，解得，即球的半径为.
三、解答题（共6小题，，每小题8分，共48分）
14．如图，AB是的直径，弦于点M，连结CO，CB.
（1）若，，求CD的长度；
（2）若平分，求证：.
答案：（1）8
（2）证明见详解
解析：（1）是的直径，弦，
，
，，
，
，
在中，，
，
；
（2）过点O作，垂足为N，
平分，
，
，
，
，
.
15．如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成.
（1）如图1，一辆货车高4m，宽2.8m，它能通过该隧道吗？
（2）如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.8m的货车能驶入这个隧道吗？
（3）如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则该辆宽为4m，高为2.8m的货车还能通过隧道吗？
答案：（1）这辆车能通过该隧道；
（2）这辆车能通过该隧道；
（3）这辆车不能通过该隧道.
解析：（1）如图1所示，
设于点D，，
，
，
，
这辆车能通过该隧道；
（2）设于点D，，连接OC，如图2所示，
，
，
，
这辆车能通过该隧道；
（3）设于点D，，连接OC，如图3所示，
，
，
，
这辆车不能通过该隧道.
16 .（1）科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12 m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1 m）；
（2）若，点M在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
（1）答案：14.2 m
解析：解：，，
，
设半径为r，则
在中，
解得
答：半径的长约为
（2）答案：见解析
解析：如图，在优弧上任取一点N，连接
，
，
，
因为在的内部，所以点M在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
17．如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上，于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点C，老师肯定了他的想法.
（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C；
（2）这位同学确定点C所用方法的依据是____________.
答案：解：（1）画图如图所示.
（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧
解析：
18．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为50 km/h，受影响区域的半径为260 km，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P 480 km处.
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间.
答案：解：（1）如答图，过点B作于点H.
在中，由题意得km，，
（km）.，
本次台风会影响B市.
（2）如答图，以点B为圆心，260 km为半径作圆交PQ分别于点，，连接，.
当台风中心移动到点时，台风开始影响B市，当台风中心移动到点时，台风对B市的影响结束.
由（1）得km，由已知得km，
（km），
（h）.
故这次台风影响B市的时间为4 h.
解析：
19．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(保留作图痕迹)；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径.
答案：(1)如图
(2)如图，设圆心为的垂直平分线交于点D，
则，设半径为，，
在中，，解得.
答:这个圆形截面的半径是5cm
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