九年级数学上点拨与精练 第24章圆24.1.4 圆周角1（含解析）

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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.1.4 圆周角1
学习目标：
理解圆周角定义；
掌握圆周角定理及推论；
结合圆周角定理的探索与证明过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法
老师告诉你
利用圆周角定理及其推论证明时常见的思路
在同圆或等圆中，要证明两条弧相等，考虑证明这两条弧所对的圆周角相等；
在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；
当有直径时，常常利用直径所对的圆周角是直角解决问题。
特别提醒：“有直径，造直角”和“造垂直于弦的直径”是解题时常作的辅助线。
一、知识点拨
知识点1圆周角的定义
　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
【新知导学】
例1．下列图形中的角是圆周角的是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．下列四个图中，为圆周角的是( )
A. B. C. D.
2．如图,点均在圆上,则图中有 个圆周角.
知识点2 圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于等于它所对的圆心角的一半．
【新知导学】
例2 .下面是证明圆周角定理的过程,请认真阅读,并补全过程.
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.分析:根据圆心与圆周角的位置关系,可以分为三类.已知:A,B,C为上的三个点.求证:.请你参考情况1的证明,完成情况2、情况3的证明.
情况1:圆心在圆周角的边上.证明:,,由外角可得,.即.
情况2:圆心在圆周角内部.证明:作直径AD. ,.,同理________,_________,_______.
情况3:圆心在圆周角外部.证明:作直径AD. ,______________._______+______________,同理_______,_____________________________________,________.
【对应导练】
1．已知的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于________.
2．如图，已知AB是的弦，，，垂足为C，OC的延长线交于点D.若是所对的圆周角，则的度数是_______________.
3．如图，AD是的直径，，若，则圆周角的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
4 .如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，则∠CED的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
知识点3 圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
2）直径(或半圆)所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.
注意：
（1）由于圆中一条弦所对的圆周角的大小有两种情况，所以不能根据弦相等得到圆周角相等.
（2）同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补。
（3）把圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，构造直径上的圆周角是直角是解决问题的常用方法，这样就为勾股定理的应用，相似三角形的产生创造了条件。
【新知导学】
例3．如图，的直径与弦相交，若，则( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于( )
A.29° B.42° C.58° D.32°
2．如图,是的直径,点C,D,E在上,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
3．如图,AB是的直径,弦CD与AB交于点E,且E是CD的中点.
(1)求证：；
(2)若,,求的半径.
4．如图,的直径AB为6cm,的平分线交于点D.
(1)判断的形状,并证明；
(2)求BD的长.
题型训练
利用圆周角定理及推论证明线段相等
1 .如图,AB为的直径,C、D为圆上的两点,,OC交AD于点E.

(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
2．如图，的弦AB,CD的延长线相交于点P，且.求证：.
利用圆周角定理求线段的长
3．已知的直径为10，点A,B,C在上，的平分线交于点D.
（1）如图①，若BC为的直径，，求AC,BD,CD的长；
（2）如图②，若，求BD的长.
4．如图，的直径cm，，求AC的长.
利用圆周角定理推论证明边角关系
5．如图，是的切线，点在直径的延长线上．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
6．如图,在中,,以为直径的分别交于点,且点D为边的中点.
(1)求证:为等边三角形;
(2)求的长.
利用圆周角定理推论探究数量关系
7．已知内接于，，，点D是上一点.
（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小.
8 .如图，AB为的直径，点C在上．
(1) 尺规作图：作的平分线，与交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 探究OE与AC的位置和数量关系，并证明你的结论．
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，圆心角，则的度数是( )
A. B. C. D.
2．如图，一块直角三角板的角的顶点P落在上，两边分别交于A，B两点，连结，，则的度数是( )
A. B. C. D.
3．如图,已知是的直径,点A,D在上,若,则的大小为( )
A. B. C. D.
4．如图，内接于，，，AD是的直径，则的度数是( )
A.35° B.55° C.65° D.70°
5．如图,在中,点C在上.若,,则的度数为( )
A. B. C. D.
6．如图,为的直径,C,D是上在直径异侧的两点,C是弧的中点,连接,,交于点P,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
7．如图,,是的两条直径,E是劣弧的中点,连接.若,则的度数为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
8．如图,,点E是延长线上一点,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，是的直径，是的弦，连接、、.若，则__________°.
10．如图,AB是的直径,点C,D,E在⊙O上,若,则的度数为______.
11．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________.
12．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则__________°.
13．如图，在中，直径长为4，弦于点G，且，点E为上一点，连，过点C作于点F，若，则的长为____________.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图,AB是的直径,弦CD与AB交于点E,且E是CD的中点.
(1)求证：；
(2)若,,求的半径.
15．（8分）如图,已知为的直径,是弦,且于点E,连接、、.
(1)求证：；
(2)若,,求的半径.
16．（8分）如图所示,等腰直角三角形边长,顶点A在上,三边与分别交于D、E、F、G点,且,.
(1)请作出的圆心O点,并保留作图痕迹；
(2)连接,求的长度.
17．（8分）如图，OA，OB，OC都是的半径，.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
18．（8分）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数.
19．（8分）如图，以的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且.
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，，求BD的长.
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.1.4 圆周角1
学习目标：
理解圆周角定义；
掌握圆周角定理及推论；
结合圆周角定理的探索与证明过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法
老师告诉你
利用圆周角定理及其推论证明时常见的思路
在同圆或等圆中，要证明两条弧相等，考虑证明这两条弧所对的圆周角相等；
在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；
当有直径时，常常利用直径所对的圆周角是直角解决问题。
特别提醒：“有直径，造直角”和“造垂直于弦的直径”是解题时常作的辅助线。
一、知识点拨
知识点1圆周角的定义
　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
【新知导学】
例1．下列图形中的角是圆周角的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：根据圆周角的定义可知，选项C中的角是圆周角.
故选：C.
【对应导练】
1．下列四个图中，为圆周角的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.故选C.
2．如图,点均在圆上,则图中有 个圆周角.
答案：8
解析：以点为顶点的圆周角各有1个，以点为顶点的圆周角各有3个，共有8个圆周角.
知识点2 圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于等于它所对的圆心角的一半．
【新知导学】
例2 .下面是证明圆周角定理的过程,请认真阅读,并补全过程.
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.分析:根据圆心与圆周角的位置关系,可以分为三类.已知:A,B,C为上的三个点.求证:.请你参考情况1的证明,完成情况2、情况3的证明.
情况1:圆心在圆周角的边上.证明:,,由外角可得,.即.
情况2:圆心在圆周角内部.证明:作直径AD. ,.,同理________,_________,_______.
情况3:圆心在圆周角外部.证明:作直径AD. ,______________._______+______________,同理_______,_____________________________________,________.
答案：情况2：2；BAC；BAC
情况3：OAB；；；；；；；；；；；（角的表示方法不唯一）
【对应导练】
1．已知的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于________.
答案：45°或135°
解析：如图，
，，
，
，
，，
故答案为45°或135°.
2．如图，已知AB是的弦，，，垂足为C，OC的延长线交于点D.若是所对的圆周角，则的度数是_______________.
答案：30°
解析：，OD为直径，
，
，
，
，
，
故答案为：30°.
3．如图，AD是的直径，，若，则圆周角的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
答案：B
解析：，.，，.故选B.
4 .如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，则∠CED的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．55°
【详解】：解：连接BE，
∵∠BOD＝70°，
∴∠BED＝∠BOD＝35°，
∵∠BEC＝∠BAC＝15°，
∴∠CED＝∠BED ∠BEC＝35° 15°＝20°，
故选：B．
知识点3 圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
2）直径(或半圆)所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.
注意：
（1）由于圆中一条弦所对的圆周角的大小有两种情况，所以不能根据弦相等得到圆周角相等.
（2）同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补。
（3）把圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，构造直径上的圆周角是直角是解决问题的常用方法，这样就为勾股定理的应用，相似三角形的产生创造了条件。
【新知导学】
例3．如图，的直径与弦相交，若，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选A.
【对应导练】
1．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于( )
A.29° B.42° C.58° D.32°
答案：D
解析：是的直径，
，
，
则，
故选：D.
2．如图,是的直径,点C,D,E在上,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：连接,如图,
∵是的直径,
∴,
∵,
∴.
故选：B.
3．如图,AB是的直径,弦CD与AB交于点E,且E是CD的中点.
(1)求证：；
(2)若,,求的半径.
答案：(1)证明见解析
(2)3
解析：(1)证明：连接OC,
∵,E是CD的中点,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴；
(2)设半径为r,
∴,
∵,
∴,
∵,E点是CD的中点,
∴.
由(1)知,,
∴,
∴在中,,
即：,
解得：,
∴半径为3.
.
4．如图,的直径AB为6cm,的平分线交于点D.
(1)判断的形状,并证明；
(2)求BD的长.
答案：(1)等腰直角三角形,证明见解析
(2)
解析：(1)是等腰直角三角形.
证明：∵CD平分,
∴.
∵,,
∴.
∴.
∵AB是直径,
∴
∴是等腰直角三角形
(2)在中,,
∴,
∴
题型训练
利用圆周角定理及推论证明线段相等
1 .如图,AB为的直径,C、D为圆上的两点,,OC交AD于点E.

(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：AB为的直径，，
，
弧弧DC
(2)设的半径为，则.
在中，由勾股定理可得，即，
解得，
圆O的半径为.
2．如图，的弦AB,CD的延长线相交于点P，且.求证：.
答案：证明：连接AC.
，
，
，即，
，
.
利用圆周角定理求线段的长
3．已知的直径为10，点A,B,C在上，的平分线交于点D.
（1）如图①，若BC为的直径，，求AC,BD,CD的长；
（2）如图②，若，求BD的长.
答案：解：（1）BC是的直径，
.
在中，，
由勾股定理得.
AD平分，.
在中，，
.
（2）连接OB,OD.
AD平分，且
，
.
又，
是等边三角形，
.
的直径为10，，
.
4．如图，的直径cm，，求AC的长.
答案：解：连接EC.
AE是的直径，.
，
.
是等腰直角三角形.
（cm）.
利用圆周角定理推论证明边角关系
5．如图，是的切线，点在直径的延长线上．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
答案：（1）连接．
∵是的切线，∴，
∴，
∵是的直径,为上一点，∴，
∴，
∵
∴；
（2）设半径为，，∵，
∴
解得：
解析：
6．如图,在中,,以为直径的分别交于点,且点D为边的中点.
(1)求证:为等边三角形;
(2)求的长.
答案：(1)证明:
连接.
是的直径,
.
点D是的中点,
是的垂直平分线.
.
又,
.
为等边三角形.
(2).
利用圆周角定理推论探究数量关系
7．已知内接于，，，点D是上一点.
（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小.
答案：（Ⅰ）BD为的直径，
.
在中，，
；
，，
.
.
（Ⅱ）如图，连接OD.
，
.
四边形ABCD是圆内接四边形，，
.
.
.
是的切线，
，即.
.
8 .如图，AB为的直径，点C在上．
(1) 尺规作图：作的平分线，与交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 探究OE与AC的位置和数量关系，并证明你的结论．
(1)见解析(2)，，理由见解析
【分析】
（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）根据内错角相等两直线平行证明得到，再根据三角形中位线的性质得到.
(1)∴如图所示为所求．
(2)，．
理由：∵AB为的直径，
∴，
∵，
∵，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点E为BC中点，
又∵点O为AB中点，
∴.
【点拨】此题考查了圆周角定理，角平分线的作图，三角形中位线的性质定理，熟记角平分线的作图方法及圆周角定理是解题的关键.
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，圆心角，则的度数是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如图，设点P是优弧上的一点，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴.
故选：C.
2．如图，一块直角三角板的角的顶点P落在上，两边分别交于A，B两点，连结，，则的度数是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
，
，
故选：B.
3．如图,已知是的直径,点A,D在上,若,则的大小为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：是直径,
,
,
,
故选：C.
4．如图，内接于，，，AD是的直径，则的度数是( )
A.35° B.55° C.65° D.70°
答案：B
解析：，，
，
，
为的直径，
，
.
故选：B.
5．如图,在中,点C在上.若,,则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如图,连接,
∵,,
∴,
∴,
∴,
故选：C.
6．如图,为的直径,C,D是上在直径异侧的两点,C是弧的中点,连接,,交于点P,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：如图,连接,
∵为直径,C是弧的中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
故选A.
7．如图,,是的两条直径,E是劣弧的中点,连接.若,则的度数为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
答案：C
解析：连接,
,
,
∵E是劣弧的中点
,
,
故
∴
故选：C.
8．如图,,点E是延长线上一点,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：,
点B、C、D在以A为圆心,为半径的圆上,
如下图,在优弧上任取一点F,连接,,
,
,
,,
,
故答案为：A.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，是的直径，是的弦，连接、、.若，则__________°.
答案：
解析：是的直径，，，
，，
；
故答案为：.
10．如图,AB是的直径,点C,D,E在⊙O上,若,则的度数为______.
答案：130°
解析：连接BE,
是直径,
,
,
故答案为:130°.
11．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________.
答案：
解析：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
12．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则__________°.
答案：55
解析：直径平分弦，
，
，
，
，
故答案为：.
13．如图，在中，直径长为4，弦于点G，且，点E为上一点，连，过点C作于点F，若，则的长为____________.
答案：/
解析：连接AC，CE，OA，AD，
直径长为4，
，
，
，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图,AB是的直径,弦CD与AB交于点E,且E是CD的中点.
(1)求证：；
(2)若,,求的半径.
答案：(1)证明见解析
(2)3
解析：(1)证明：连接OC,
∵,E是CD的中点,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴；
(2)设半径为r,
∴,
∵,
∴,
∵,E点是CD的中点,
∴.
由(1)知,,
∴,
∴在中,,
即：,
解得：,
∴半径为3.
.
15．（8分）如图,已知为的直径,是弦,且于点E,连接、、.
(1)求证：；
(2)若,,求的半径.
答案：(1)证明见解析
(2)5
解析：(1)证明：为的直径,
,,
∵
∴,
.
,
,
；
(2)设的半径为r,
∵
∴
∵,
∴
在中,由勾股定理可得：
,
即,
解得.
答：的半径为5.
16．（8分）如图所示,等腰直角三角形边长,顶点A在上,三边与分别交于D、E、F、G点,且,.
(1)请作出的圆心O点,并保留作图痕迹；
(2)连接,求的长度.
答案：(1)图见解析
(2)
解析：(1)如图,点O为的圆心,
(2)设的垂直平分线交于点H,
∵,
∴,
连接,,
∵,
∴为的直径,
∴,
∴,
在中,
在中,.
17．（8分）如图，OA，OB，OC都是的半径，.
（1）求证：；
（2）若，，求的半径.
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由圆周角定理得，，.
，.
（2）如图，过点O作半径于点E，连接BD，则，.
，
..
，，，.
在中，，.
在中，，
，即，
，即的半径是.
18．（8分）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数.
答案：
解析：连接，
，，
，
.
是的外角，
.
，
，
，
.
19．（8分）如图，以的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且.
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，，求BD的长.
答案：（1）为等腰三角形
（2）
解析：（1）为等腰三角形.
理由如下：连接AE，如图，
，
，即AE平分.
为直径，
，
.
，，
，
为等腰三角形.
（2）由（1）知，，
.
在中，，，
.
为直径，
，
，
.
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