江苏省淮安市范集中学2015-2016学年高二（上）10月月考数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省淮安市范集中学2015-2016学年高二（上）10月月考数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 119.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-05 15:28:28 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省淮安市范集中学高二（上）10月月考数学试卷
一、填空题：共14小题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸对应部分．
1．用符号表示“点A∈l，l α在直线l上，l α在平面α外”为 ．
2．四面体共有 条棱．
3．下列四个条件中，能确定一个平面的只有是 ．（填写序号）
①空间中的三点； ②空间中两条直线； ③一条直线和一个点；④两条平行直线．
4．下列叙述中正确命题的个数是 ．
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行．
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C1的位置关系是 ．
6．若平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，则平面β与平面γ的位置关系是 （填序号）． ①平行 ②相交 ③平行或相交．
7．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
（2）若a∥α，b∥α，则a∥b；
（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α；
（4）若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确命题的个数是 ．
8．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为3cm，则该圆台的母线长为 ．
9．已知命题： l∥α，在“（ ）”处补上一个条件使其构成真命题（其中l，m是直线，α是平面），这个条件是 ．
10．已知l、m、n是三条不同的直线，α ( http: / / www.21cnjy.com )，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l α，m β，α∥β，则l∥m；③若l∥ α，则l∥α
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，其中真命题是 ．（填序号）
11．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，其中错误的个数是 ．
12．A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=6，则MN= ．
13．已知长方体的长、宽、高分别为2cm， cm， cm，则该长方体的外接球的半径是 cm．
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是
．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，E是PC的中点，
求证：PA∥平面EDB．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．
17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：BE∥平面PAD．
18．在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的点，且AD∥平面CEF，
（1）求证：EF∥AD；
（2）若E是AB的中点，求证：BD⊥面EFC．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SA ( http: / / www.21cnjy.com )B⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
2015-2016学年江苏省淮安市范集中学高二（上）10月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：共14小题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸对应部分．
1．用符号表示“点A∈l，l α在直线l上，l α在平面α外”为 A∈l，l α ．
【考点】空间点、线、面的位置．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】直接利用空间点、线、面的位置关系写出结果即可．
【解答】解：“点A∈l，l α在直线l上，l α在平面α外”为：A∈l，l α．
故答案为：A∈l，l α．
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系的应用，是基础题．
2．四面体共有 6 条棱．
【考点】棱锥的结构特征．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】结合图形，可知一个四面体是三棱锥，再根据棱的定义判断棱的条数即可．
【解答】解：根据题意做一个四面体，可知有6条棱．
故答案为：6．
【点评】本题是很基础的题目，纯粹根据定义都可以做出，画图会明显．
3．下列四个条件中，能确定一个平面的只有是 ④ ．（填写序号）
①空间中的三点； ②空间中两条直线； ③一条直线和一个点；④两条平行直线．
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据确定平面的基本性质2（即公理2）及推论推论逐一判断即可得解．
【解答】解：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错．
对于②：当这两条直线是异面直线时则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故②错．
对于③：当此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错．
对于④：根据确定平面的基本性质2（即公理2）的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故④对
故答案为：④
【点评】本题主要考察确定平面的基本性质2（即公理2）及其推论．解题的关键是要对确定平面的基本性质2（即公理2）及推论理解透彻．
4．下列叙述中正确命题的个数是 2 ．
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】由两面平行的判定判断①；由两面垂直的判定判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面垂直的性质判断④．
【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，错误．
应该是若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②由面面垂直的判定定理知，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，正确；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行，正确；
④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行，错误，也可能在另一个平面内．
∴命题②③正确．
故答案为：2．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题．
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C1的位置关系是 异面 ．
【考点】异面直线的判定．
【专题】数形结合；分析法；空间位置关系与距离．
【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得AB与A1C1的位置关系是异面．
【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1
∴AB∥平面A1B1C1D1，
而A1C1与A1B1是相交直线，
∴AB与A1C1的位置关系是异面．
故答案为：异面．
【点评】本题考查异面直线的判定，是基础题．
6．若平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，则平面β与平面γ的位置关系是 ③ （填序号）． ①平行 ②相交 ③平行或相交．
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【专题】作图题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】根据空间中的平面垂直的关系，通过画图说明它们的位置关系．
【解答】解：如图所示，图①，图②；
当α⊥γ，α⊥β时，γ∩β=m，两平面相交；
或γ∥β，两平面平行；
所以平面β与γ的位置关系是：平行或相交．
故答案为：③．
【点评】本题考查了空间中的两个平面位置关系，以及空间中的平面垂直作图应用问题，是基础题目．
7．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
（2）若a∥α，b∥α，则a∥b；
（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α；
（4）若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确命题的个数是 2个 ．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】证明题．
【分析】（1）由线面垂直的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义可得：若a∥b，a⊥α，则b⊥α是正确的．（2）若a∥α，b∥α，则a与b可能平行、可能相交或者可能异面．（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α或者a α．（4）由面面平行的定义可得此结论是正确的．
【解答】解：（1）由线面垂直的定义可得：若a∥b，a⊥α，则b⊥α是正确的，所以（1）正确．
（2）若a∥α，b∥α，则a与b可能平行、可能相交或者可能异面，所以（2）错误．
（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α或者a α．所以（3）错误．
（4）由面面平行的定义可得：若a⊥α，a⊥β，则α∥β是正确的，所以（4）正确．
故答案为2个．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握线线、线面、面面的平行或者垂直的判定定理、性质定理．
8．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为3cm，则该圆台的母线长为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】画出轴截面图形，利用已知条件求解即可．
【解答】解：如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为3cm，
则该圆台的母线长为： =；
故答案为：．
【点评】本题考查圆台母线长的求法，轴截面与几何体的关系．
9．已知命题： l∥α，在“（ ）”处补上一个条件使其构成真命题（其中l，m是直线，α是平面），这个条件是 l α ．
【考点】直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用直线与平面平行的判定定理写出结果即可．
【解答】解：由直线与平面平行的判定定理可知： l∥α，
故答案为：l α．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，是基础题．
10．已知l、m、n是三条不同的直线， ( http: / / www.21cnjy.com )α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l α，m β，α∥β，则l∥m；③若l∥ α，则l∥α
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，其中真命题是 ①④ ．（填序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】根据异面直线所成角的定义可 ( http: / / www.21cnjy.com )判断①；利用面面平行的性质知两平面内直线平行或异面判断②；根据线面平行的判定定理的条件判断③；借助图形，由面面垂直可得线面垂直，进而的线线垂直，再利用线面垂直的判定定理判断④．
【解答】解：①若l∥m，n⊥m，n与m成90°角，由异面直线所成角的定义可知，n与l成90°角，则n⊥l，①为真命题；
②若l α，m β，α∥β，则l∥m或l与m异面，②是假命题；
③若l∥m，m α，则l∥α或l α，③是假命题；
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，如图，
在平面γ内取点O，过O在γ内分别作OA，OB垂直于α与γ的交线和β与γ的交线，
则由面面垂直的性质得OA⊥α，OB⊥β，得：OA⊥l，OB⊥l，∴有l⊥γ，故④正确
故答案为：①④．
【点评】本题考查了面面垂直的判定与性质，考查了面面平行的判定及线线垂直的判定，考查了学生的空间想象能力，是中档题．
11．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，其中错误的个数是 2 ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；数形结合；空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】由面面平行的判定说明（1） ( http: / / www.21cnjy.com )正确；由线面平行的判定说明（2）正确；由题意得到α与β所成角可能是锐角、直角或钝角说明（3）错误；由线面垂直的判定说明（4）错误．
【解答】解：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，由面面平行的判定可得α平行于β，（1）正确；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则由线面平行的判定说明l和α平行，（2）正确；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直，错误，α与β所成角可能是锐角、直角或钝角；
（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直，错误，只有l与α内的两条相交直线垂直时，才有直线l与α垂直．
∴错误命题的个数是2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查线面之间的位置关系，解题的关键是熟练应用线面平行和垂直的判定定理，是基础题．
12．A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=6，则MN= 2 ．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】利用三角形的重心的性质，可得M、N分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是△ABC与△ACD的中线的一个三等分点，得=．由此利用平行线的性质与三角形中位线定理，算出MN与BD的关系，即可得到MN的长．
【解答】解：延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．
∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，
∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，
可得MN∥EF且MN=EF，
∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，
∴MN=BD=．
故答案为：2
【点评】本题着重考查了三角形的重心性质、平行线的性质和三角形的中位线定理等知识，属于基础题．
13．已知长方体的长、宽、高分别为2cm， cm， cm，则该长方体的外接球的半径是 cm．
【考点】球内接多面体．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径．
【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径，所以长方体的对角线长为： =3，
所以球的直径为：3；半径为：，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查长方体的外接球的半径的求法，考查计算能力，是得分题目．
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是
①③ ．
【考点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定．
【专题】阅读型．
【分析】先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可．
【解答】解：把正方体的平面展开图还原成原来的正
方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面
直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
故答案为①③
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，E是PC的中点，
求证：PA∥平面EDB．
【考点】直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由正方形的性质结合题意证出EO为△PBD的中位线，从而得到EO∥PA，利用线面平行的判定定理，即可证出PA∥平面EBD
【解答】证明：连接AC，与BD交于O，连接EO，因为底面ABCD为正方形，得O是AC的中点，
E是PC的中点，所以OE是三角形PAC的中位线，得EO∥PA，
又EO 平面EDB，PA 平面EDB
∴PA∥平面EDB
【点评】本题在特殊的四棱锥中证明线面平行，着重考查了空间的平行的判定与证明的知识，属于中档题．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．
【考点】直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题．
【分析】要证明A1C⊥平面BC1D，只需证明直线A1C垂直于平面BC1D内的两条相交直线即可，故只需证明A1C⊥BD，A1C⊥BC1即可．
【解答】证明：连接AC交BD于一点O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方体中，AA1⊥平面ABCD，
所以，AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA1又A1C 平面CAA1
所以A1C⊥BD，连接B1C交BC1于一点O，
同理可证A1C⊥BC1，又 BC1交BD于一点B，
所以A1C⊥平面BC1D
【点评】本题考查直线与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系中的垂直问题，证明思路是：要证线面垂直，需证线线垂直，在证明线线垂直过程中，往往需要通过证明线面垂直来实现，要注意线面垂直、线线垂直间的相互转化．
17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：BE∥平面PAD．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）由题意可得：PA⊥CD，结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．
（2）取PD的中点为F， ( http: / / www.21cnjy.com )连接EF，AF，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由题中条件可得EF=AB，并且EF∥AB，进而得到四边形ABEF为平行四边形，得到BE∥AF，再利用线面平行的判定定理得到线面平行．
【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，AD 平面PAD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为CD 平面PCD，
所以平面PDC⊥平面PAD．
（2）取PD的中点为F，连接EF，AF，
因为E为PC的中点，
所以EF为△PCD的中位线，
所以EF∥CD，CD=2EF，
又因为CD=2AB，AB∥CD，
所以EF=AB，并且EF∥AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BE∥AF，
因为AF 平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com )与面面垂直的判定定理，以及考查线面平行的判定定理，解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与几何体的结构特征，此题属于基础题，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力．
18．在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的点，且AD∥平面CEF，
（1）求证：EF∥AD；
（2）若E是AB的中点，求证：BD⊥面EFC．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）由线面平行的性质定理即可得到直线EF∥AD；
（2）由已知中CB=CD，E是AB的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点，由（1）得F是BD的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得CF⊥BD，又由AD⊥BD，结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面EFC，
【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的点，
且AD∥平面CEF，AD 面ABD，面ABD∩面CEF=EF
∴EF∥AD
（2）∵EF∥AD，AD⊥BD
∴BD⊥EF，
又∵BD⊥CF，EF∩CF=F，EF，CF 面EFC
∴BD⊥面EFC
【点评】题考查的知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，熟练掌握空间线、面垂直及平行的判定定理，是解答本题的关键．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）先证出等腰三角形△A1B1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD 平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD 平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F 平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F 平面ADE，AD 平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE．
【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．
20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面 ( http: / / www.21cnjy.com )SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1）根据等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；
（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平 ( http: / / www.21cnjy.com )面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．
【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．
∵E、G分别为SA、SC的中点，
∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．
∵EF 平面ABC，AB 平面ABC，
∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC
又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，
∴平面EFG∥平面ABC；
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，
AF 平面ASB，AF⊥SB．
∴AF⊥平面SBC．
又∵BC 平面SBC，∴AF⊥BC．
∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．
又∵SA 平面SAB，∴BC⊥SA．
【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
一、填空题：共14小题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸对应部分．
1．用符号表示“点A∈l，l α在直线l上，l α在平面α外”为 ．
2．四面体共有 条棱．
3．下列四个条件中，能确定一个平面的只有是 ．（填写序号）
①空间中的三点； ②空间中两条直线； ③一条直线和一个点；④两条平行直线．
4．下列叙述中正确命题的个数是 ．
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行．
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C1的位置关系是 ．
6．若平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，则平面β与平面γ的位置关系是 （填序号）． ①平行 ②相交 ③平行或相交．
7．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
（2）若a∥α，b∥α，则a∥b；
（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α；
（4）若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确命题的个数是 ．
8．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为3cm，则该圆台的母线长为 ．
9．已知命题： l∥α，在“（ ）”处补上一个条件使其构成真命题（其中l，m是直线，α是平面），这个条件是 ．
10．已知l、m、n是三条不同的直线，α ( http: / / www.21cnjy.com )，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l α，m β，α∥β，则l∥m；③若l∥ α，则l∥α
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，其中真命题是 ．（填序号）
11．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，其中错误的个数是 ．
12．A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=6，则MN= ．
13．已知长方体的长、宽、高分别为2cm， cm， cm，则该长方体的外接球的半径是 cm．
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是
．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，E是PC的中点，
求证：PA∥平面EDB．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．
17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：BE∥平面PAD．
18．在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的点，且AD∥平面CEF，
（1）求证：EF∥AD；
（2）若E是AB的中点，求证：BD⊥面EFC．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SA ( http: / / www.21cnjy.com )B⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
2015-2016学年江苏省淮安市范集中学高二（上）10月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：共14小题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸对应部分．
1．用符号表示“点A∈l，l α在直线l上，l α在平面α外”为 A∈l，l α ．
【考点】空间点、线、面的位置．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】直接利用空间点、线、面的位置关系写出结果即可．
【解答】解：“点A∈l，l α在直线l上，l α在平面α外”为：A∈l，l α．
故答案为：A∈l，l α．
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系的应用，是基础题．
2．四面体共有 6 条棱．
【考点】棱锥的结构特征．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】结合图形，可知一个四面体是三棱锥，再根据棱的定义判断棱的条数即可．
【解答】解：根据题意做一个四面体，可知有6条棱．
故答案为：6．
【点评】本题是很基础的题目，纯粹根据定义都可以做出，画图会明显．
3．下列四个条件中，能确定一个平面的只有是 ④ ．（填写序号）
①空间中的三点； ②空间中两条直线； ③一条直线和一个点；④两条平行直线．
【考点】平面的基本性质及推论．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据确定平面的基本性质2（即公理2）及推论推论逐一判断即可得解．
【解答】解：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错．
对于②：当这两条直线是异面直线时则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故②错．
对于③：当此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错．
对于④：根据确定平面的基本性质2（即公理2）的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故④对
故答案为：④
【点评】本题主要考察确定平面的基本性质2（即公理2）及其推论．解题的关键是要对确定平面的基本性质2（即公理2）及推论理解透彻．
4．下列叙述中正确命题的个数是 2 ．
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】由两面平行的判定判断①；由两面垂直的判定判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面垂直的性质判断④．
【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，错误．
应该是若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②由面面垂直的判定定理知，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，正确；
③垂直于同一直线的两个平面相互平行，正确；
④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行，错误，也可能在另一个平面内．
∴命题②③正确．
故答案为：2．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题．
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C1的位置关系是 异面 ．
【考点】异面直线的判定．
【专题】数形结合；分析法；空间位置关系与距离．
【分析】根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得AB与A1C1的位置关系是异面．
【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1
∴AB∥平面A1B1C1D1，
而A1C1与A1B1是相交直线，
∴AB与A1C1的位置关系是异面．
故答案为：异面．
【点评】本题考查异面直线的判定，是基础题．
6．若平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，则平面β与平面γ的位置关系是 ③ （填序号）． ①平行 ②相交 ③平行或相交．
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【专题】作图题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】根据空间中的平面垂直的关系，通过画图说明它们的位置关系．
【解答】解：如图所示，图①，图②；
当α⊥γ，α⊥β时，γ∩β=m，两平面相交；
或γ∥β，两平面平行；
所以平面β与γ的位置关系是：平行或相交．
故答案为：③．
【点评】本题考查了空间中的两个平面位置关系，以及空间中的平面垂直作图应用问题，是基础题目．
7．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
（2）若a∥α，b∥α，则a∥b；
（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α；
（4）若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
其中正确命题的个数是 2个 ．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】证明题．
【分析】（1）由线面垂直的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义可得：若a∥b，a⊥α，则b⊥α是正确的．（2）若a∥α，b∥α，则a与b可能平行、可能相交或者可能异面．（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α或者a α．（4）由面面平行的定义可得此结论是正确的．
【解答】解：（1）由线面垂直的定义可得：若a∥b，a⊥α，则b⊥α是正确的，所以（1）正确．
（2）若a∥α，b∥α，则a与b可能平行、可能相交或者可能异面，所以（2）错误．
（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α或者a α．所以（3）错误．
（4）由面面平行的定义可得：若a⊥α，a⊥β，则α∥β是正确的，所以（4）正确．
故答案为2个．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握线线、线面、面面的平行或者垂直的判定定理、性质定理．
8．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为3cm，则该圆台的母线长为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】画出轴截面图形，利用已知条件求解即可．
【解答】解：如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为3cm，
则该圆台的母线长为： =；
故答案为：．
【点评】本题考查圆台母线长的求法，轴截面与几何体的关系．
9．已知命题： l∥α，在“（ ）”处补上一个条件使其构成真命题（其中l，m是直线，α是平面），这个条件是 l α ．
【考点】直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用直线与平面平行的判定定理写出结果即可．
【解答】解：由直线与平面平行的判定定理可知： l∥α，
故答案为：l α．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，是基础题．
10．已知l、m、n是三条不同的直线， ( http: / / www.21cnjy.com )α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l α，m β，α∥β，则l∥m；③若l∥ α，则l∥α
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，其中真命题是 ①④ ．（填序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】根据异面直线所成角的定义可 ( http: / / www.21cnjy.com )判断①；利用面面平行的性质知两平面内直线平行或异面判断②；根据线面平行的判定定理的条件判断③；借助图形，由面面垂直可得线面垂直，进而的线线垂直，再利用线面垂直的判定定理判断④．
【解答】解：①若l∥m，n⊥m，n与m成90°角，由异面直线所成角的定义可知，n与l成90°角，则n⊥l，①为真命题；
②若l α，m β，α∥β，则l∥m或l与m异面，②是假命题；
③若l∥m，m α，则l∥α或l α，③是假命题；
④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，如图，
在平面γ内取点O，过O在γ内分别作OA，OB垂直于α与γ的交线和β与γ的交线，
则由面面垂直的性质得OA⊥α，OB⊥β，得：OA⊥l，OB⊥l，∴有l⊥γ，故④正确
故答案为：①④．
【点评】本题考查了面面垂直的判定与性质，考查了面面平行的判定及线线垂直的判定，考查了学生的空间想象能力，是中档题．
11．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，其中错误的个数是 2 ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；数形结合；空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】由面面平行的判定说明（1） ( http: / / www.21cnjy.com )正确；由线面平行的判定说明（2）正确；由题意得到α与β所成角可能是锐角、直角或钝角说明（3）错误；由线面垂直的判定说明（4）错误．
【解答】解：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，由面面平行的判定可得α平行于β，（1）正确；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则由线面平行的判定说明l和α平行，（2）正确；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直，错误，α与β所成角可能是锐角、直角或钝角；
（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直，错误，只有l与α内的两条相交直线垂直时，才有直线l与α垂直．
∴错误命题的个数是2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查线面之间的位置关系，解题的关键是熟练应用线面平行和垂直的判定定理，是基础题．
12．A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=6，则MN= 2 ．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】利用三角形的重心的性质，可得M、N分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是△ABC与△ACD的中线的一个三等分点，得=．由此利用平行线的性质与三角形中位线定理，算出MN与BD的关系，即可得到MN的长．
【解答】解：延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．
∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，
∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，
可得MN∥EF且MN=EF，
∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，
∴MN=BD=．
故答案为：2
【点评】本题着重考查了三角形的重心性质、平行线的性质和三角形的中位线定理等知识，属于基础题．
13．已知长方体的长、宽、高分别为2cm， cm， cm，则该长方体的外接球的半径是 cm．
【考点】球内接多面体．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径．
【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径，所以长方体的对角线长为： =3，
所以球的直径为：3；半径为：，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查长方体的外接球的半径的求法，考查计算能力，是得分题目．
14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是
①③ ．
【考点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定．
【专题】阅读型．
【分析】先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可．
【解答】解：把正方体的平面展开图还原成原来的正
方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面
直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
故答案为①③
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，E是PC的中点，
求证：PA∥平面EDB．
【考点】直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由正方形的性质结合题意证出EO为△PBD的中位线，从而得到EO∥PA，利用线面平行的判定定理，即可证出PA∥平面EBD
【解答】证明：连接AC，与BD交于O，连接EO，因为底面ABCD为正方形，得O是AC的中点，
E是PC的中点，所以OE是三角形PAC的中位线，得EO∥PA，
又EO 平面EDB，PA 平面EDB
∴PA∥平面EDB
【点评】本题在特殊的四棱锥中证明线面平行，着重考查了空间的平行的判定与证明的知识，属于中档题．
16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D．
【考点】直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题．
【分析】要证明A1C⊥平面BC1D，只需证明直线A1C垂直于平面BC1D内的两条相交直线即可，故只需证明A1C⊥BD，A1C⊥BC1即可．
【解答】证明：连接AC交BD于一点O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方体中，AA1⊥平面ABCD，
所以，AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA1又A1C 平面CAA1
所以A1C⊥BD，连接B1C交BC1于一点O，
同理可证A1C⊥BC1，又 BC1交BD于一点B，
所以A1C⊥平面BC1D
【点评】本题考查直线与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系中的垂直问题，证明思路是：要证线面垂直，需证线线垂直，在证明线线垂直过程中，往往需要通过证明线面垂直来实现，要注意线面垂直、线线垂直间的相互转化．
17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：BE∥平面PAD．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）由题意可得：PA⊥CD，结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．
（2）取PD的中点为F， ( http: / / www.21cnjy.com )连接EF，AF，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由题中条件可得EF=AB，并且EF∥AB，进而得到四边形ABEF为平行四边形，得到BE∥AF，再利用线面平行的判定定理得到线面平行．
【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，AD 平面PAD，PA 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为CD 平面PCD，
所以平面PDC⊥平面PAD．
（2）取PD的中点为F，连接EF，AF，
因为E为PC的中点，
所以EF为△PCD的中位线，
所以EF∥CD，CD=2EF，
又因为CD=2AB，AB∥CD，
所以EF=AB，并且EF∥AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BE∥AF，
因为AF 平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com )与面面垂直的判定定理，以及考查线面平行的判定定理，解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与几何体的结构特征，此题属于基础题，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力．
18．在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的点，且AD∥平面CEF，
（1）求证：EF∥AD；
（2）若E是AB的中点，求证：BD⊥面EFC．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）由线面平行的性质定理即可得到直线EF∥AD；
（2）由已知中CB=CD，E是AB的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点，由（1）得F是BD的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得CF⊥BD，又由AD⊥BD，结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面EFC，
【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的点，
且AD∥平面CEF，AD 面ABD，面ABD∩面CEF=EF
∴EF∥AD
（2）∵EF∥AD，AD⊥BD
∴BD⊥EF，
又∵BD⊥CF，EF∩CF=F，EF，CF 面EFC
∴BD⊥面EFC
【点评】题考查的知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，熟练掌握空间线、面垂直及平行的判定定理，是解答本题的关键．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）先证出等腰三角形△A1B1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD 平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD 平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F 平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F 平面ADE，AD 平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE．
【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．
20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面 ( http: / / www.21cnjy.com )SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1）根据等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；
（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平 ( http: / / www.21cnjy.com )面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．
【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．
∵E、G分别为SA、SC的中点，
∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．
∵EF 平面ABC，AB 平面ABC，
∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC
又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，
∴平面EFG∥平面ABC；
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，
AF 平面ASB，AF⊥SB．
∴AF⊥平面SBC．
又∵BC 平面SBC，∴AF⊥BC．
∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．
又∵SA 平面SAB，∴BC⊥SA．
【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
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