江苏省镇江市丹阳高中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（实验班）（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省镇江市丹阳高中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（实验班）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 245.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-05 15:38:13 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二（上）期中数学试卷（实验班）
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B= ．
2．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ．
3．函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为 ．
4．已知向量与的夹角是120°，且满足，，则||= ．
5．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a= ．
6．下列说法正确的序号有 ．
（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直．
（3）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
（4）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定存在与直线m，n都平行的平面．
7．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为 ．
8．若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项，则称此圆锥为“完美圆锥”，已知一完美圆锥的侧面积为2π，则这个圆锥的高为 ．
9．已知方程cos2x+4sinx﹣a=0有解，则a的取值范围是 ．
10．已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= ．
11．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[an（S4m+1）]=9，则+的最小值是 ．
12．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 ．
13．已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．
14．若实数a≥0，b≥1且，则2a+2b+1的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．
（1）求△AOB的面积；
（2）求sinα的值．
16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．
（1）求证：CM∥平面SAE；
（2）求证：SE⊥平面SAB；
（3）求三棱锥S﹣AED的体积．
17．（文科）已知数列{an}的前n项的和为Sn，点P（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{nbn}的前n项的和Tn；
（Ⅲ）设cn=，数列{cn}的前n项的和为Rn，求使不等式Rn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
18．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
19．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x﹣1）2+y2=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．
20．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=e处的切线斜率为1，求a；
（2）若a＞0，g（x）=f（x）﹣x+1，求g（x）在区间[1，2]的最小值；
（3）令h（x）=f（x）﹣ax2，对y=h（x）上任意不同的两点，A（x1，y1），B（x2，y2）直线AB的斜率为k，若x1+x2+k＞0恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二（上）期中数学试卷（实验班）
参考答案与试题解析
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B= {0，1} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】利用交集的性质求解．
【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．
2．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ﹣1 ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的最大值．
【解答】解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，
知“x＜a”可以推出“x2＞1”，
反之不成立．
则a的最大值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答．
3．函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为 π ．
【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．
【专题】计算题．
【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．
【解答】解：f（x）=1﹣2sin2x=cos2x
∴函数最小正周期T==π
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法．考查了三角函数的基础的知识的应用．
4．已知向量与的夹角是120°，且满足，，则||= 2 ．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】向量法；平面向量及应用．
【分析】由题意可得向量的模长，由夹角公式可得．
【解答】解：向量与的夹角是120°，且满足，
∴||==，
又∵，
∴||cos120°=﹣，
解得||=2
故答案为：
【点评】本题考查平面向量的数量积和夹角，属基础题．
5．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a= ﹣1 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题．
【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得a的值．
【解答】解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，
∴≠，解得 a=﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
6．下列说法正确的序号有 （2） ．
（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直．
（3）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
（4）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定存在与直线m，n都平行的平面．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在（1）中，如果两个平面有共线的三个公共点，则这两个平面相交；在（2）中，一定能作一条且只能作一条直线l与m，n都垂直；在（3）和（4）举出反例，能得到（3）和（4）都不正确．
【解答】解：（1）如果两个平面有不共线的三个公共点，则这两个平面重合，故（1）错误．
（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条且只能作一条直线l与m，n都垂直，故（2）正确．
（3）过直线m存在一个与直线n平行的平面，
当点P在这个平面内且不在直线m上时，
就不满足结论，故（3）错误；．
（4）过直线m存在一个与直线n平行的平面，
当点P在这个与直线n平行的平面内时，不满足结论，故（4）错误．
故答案为：（2）．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
7．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为 ．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】计算题．
【分析】求出f′（x）=2mx+﹣2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f′（x）大于等于0，分离参数求最值，即可得到m的范围．
【解答】解：求导函数，可得f′（x）=2mx+﹣2，x＞0，
函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，所以f′（x）≥0成立，
所以2mx+﹣2≥0，x＞0时恒成立，
所以，
所以﹣2m≤﹣1
所以m≥时，函数f（x）在定义域内是增函数．
故答案为．
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题
8．若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项，则称此圆锥为“完美圆锥”，已知一完美圆锥的侧面积为2π，则这个圆锥的高为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题；函数思想；待定系数法；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】设出圆锥的底面半径高、母线，由题意列出关系，求出圆锥的高即可．
【解答】解：设出圆锥的底面半径为r，高为h，母线为L，
由题意可知：h2=Lr，并且×2πr×L=2π，
∴h2=2，
∴h=，
故答案为：
【点评】本题考查旋转体的侧面积，等比中项的知识，是基础题．
9．已知方程cos2x+4sinx﹣a=0有解，则a的取值范围是 [﹣4，4] ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】已知方程利用同角三角函数间基本关系化简表示出a，根据方程有解，利用二次函数的性质即可确定出a的范围．
【解答】解：方程cos2x+4sinx﹣a=0，
变形得：1﹣sin2x+4sinx﹣a=0，即a=﹣sin2x+4sinx+1=﹣（sinx﹣2）2+5，
∵﹣1≤sinx≤1，
∴﹣4≤﹣（sinx﹣2）2+5≤4，
则a的取值范围为[﹣4，4]．
故答案为：[﹣4，4]．
【点评】此题考查了的同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
10．已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．
【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，
∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8
由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2
∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5
因此，椭圆C的离心率e==
故答案为：
【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．
11．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[an（S4m+1）]=9，则+的最小值是 2.5 ．
【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．
【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】根据等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，可得an=2 3n﹣1；Sn=3n﹣1，由log3[an （S4m+1）]=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．
【解答】解：∵等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，
∴an=2 3n﹣1；Sn=3n﹣1，
∵log3[an （S4m+1）]=9，
∴（n﹣1）+4m=9，
∴n+4m=10，
∴+=（n+4m）（+）=（17+）≥（17+8）=2.5，
当且仅当m=n=2时取等号，
∴+的最小值是2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=3，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键，属于中档题．
12．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 [4，6] ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），
∵∠APB=90°，∴⊥，
∴ =（a+m）（a﹣m）+b2=0，
∴m2=a2+b2=|OP|2，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，
∴m的取值范围是[4，6]
故答案为：[4，6]．
【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
13．已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 [，） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】根据已知即可求得f（x）在[，1]上的解析式为f（x）=﹣lnx，从而可画出f（x）在上的图象，而容易知道g（x）与x轴交点个数便是y=f（x）与y=ax交点个数．通过图象可以看出直线y=ax在其与f（x）=lnx的切点和曲线y=f（x）的右端点之间，从而分别求出相切时a的值和经过右端点时a的值即可．
【解答】解：设x∈，则∈[1，3]；
∴根据条件；
g（x）与x轴有三个不同的交点即表示函数y=f（x）和函数y=ax有三个不同交点，如图所示：
由图可看出当直线y=ax与曲线f（x）=lnx，x∈[1，3]，相切时直线y=ax和曲线y=f（x）有两个公共点；
若直线y=ax再向下旋转便有三个交点，直到y=ax经过曲线y=f（x）的右端点，再向下旋转便成了两个交点；
设切点为（x0，lnx0），∴，又，∴；
∴此时lnx0=1，x0=e；
∴此时a=；
y=f（x）的右端点坐标为（3，ln3）；
∴直线y=ax经过右端点时，a=；
∴实数a的取值范围是．
故答案为：[）．
【点评】考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系．
14．若实数a≥0，b≥1且，则2a+2b+1的取值范围为 [7，9] ．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知得（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，从而得到1≤b≤2，由此能求出2a+2b+1的取值范围．
【解答】解：∵实数a≥0，b≥1且，
∴（2a）2+（2b）2=2×2a+4×2b﹣1，
∴（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，
∴4﹣2b≥0，
解得1≤b≤2，∴4≤2b+1≤8，
∵（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，
∴b=1时，2a=3，2a+2b+1=7，
b=2时，2a=1，2a+2b+1=9，
∴7≤2a+2b+1≤9，
∴2a+2b+1的取值范围为[7，9]．
故答案为：[7，9]．
【点评】本题考查有理数指数幂代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的运算法则的合理运用．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．
（1）求△AOB的面积；
（2）求sinα的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形；平面向量及应用．
【分析】（1）根据题意设出，，利用向量法则根据﹣表示出，利用向量模的定义列出关系式，整理后利用两角和与差的余弦函数公式即可求出cos（α﹣β）的值，由α与β的范围求出α﹣β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β），由三角形面积公式即可得解．
（2）可先求cosβ的值，所求式子变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），
∴=﹣=（cosβ﹣cosα，sinβ﹣sinα），
∴||2=（cosβ﹣cosα）2+（sinβ﹣sinα）2=，即2﹣2（cosβcosα+sinβsinα）=，
∴cos（α﹣β）=cosβcosα+sinβsinα=；
∵0＜α＜，﹣＜β＜0，
∴0＜α﹣β＜π，
∴sin∠AOB=sin（α﹣β）==，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S△AOB=|OA| |OB|sin∠AOB==．
（2）∵sinβ=﹣，
∴cosβ==，
则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×﹣×=．
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，考查了平面向量的运算，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．
（1）求证：CM∥平面SAE；
（2）求证：SE⊥平面SAB；
（3）求三棱锥S﹣AED的体积．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）取SA的中点N，连接MN．△ASB中利用中位线定理，证出MN∥AB且MN=AB，而正方形ABCD中E为CD中点，可得CE∥AB且CE=AB，从而得到CENM为平行四边形，得CM∥EN．最后用线面平行的判定定理，即可证出CM∥平面SAE；
（2）Rt△SCD中，E为斜边中点，可得SE=CD=1．△ESA中算出SE2+SA2=5=AE2，从而得到ES⊥SA，同理△ESB中证出ES⊥SB，结合SA、SB是平面SAB内的相交直线，可证出SE⊥平面SAB．
（3）根据正方形的性质可得S△AED=S△ABE，从而得到VS﹣AED=VS﹣AEB=VE﹣SAB，由（2）得SE是三棱锥E﹣SAB的高，从而算出VE﹣SAB=，由此即可得到VS﹣AED=VE﹣SAB=．
【解答】解：（1）取SA的中点N，连接MN，EN
∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN=AB，
又E是CD的中点，∴CE∥AB，且CE=AB，
∴MN∥CE，且MN=CE，∴四边形CENM为平行四边形，
∴CM∥EN，又EN 平面SAE，CM 平面SAE，
∴CM∥平面SAE．
（2）∵侧面SCD为直角三角形，∠CSD=90°，E为CD的中点，
∴SE=CD=1，
又∵SA=AB=2，AE=，
∴SE2+SA2=5=AE2，可得ES⊥SA，同理可证ES⊥SB，
∵SA∩SB=S，SA、SB 平面SAB，∴SE⊥平面SAB．
（3）根据题意，得VS﹣AED=VS﹣AEB=VE﹣SAB，
∵SE⊥平面SAB，可得SE是三棱锥E﹣SAB的高
∴VE﹣SAB=S△SAB×SE==
因此，三棱锥S﹣AED的体积为VS﹣AED=VE﹣SAB=×=．
【点评】本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．
17．（文科）已知数列{an}的前n项的和为Sn，点P（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{nbn}的前n项的和Tn；
（Ⅲ）设cn=，数列{cn}的前n项的和为Rn，求使不等式Rn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由于点P（n，Sn）（n∈N）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．可得Sn．利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1，即可得出an．再利用二次函数的单调性即可得出Sn的最值；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用“裂项求和”得出Rn，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）∵点P（n，Sn）（n∈N）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．
∴，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2n+8
当n=1时，a1=S1=6满足上式，
∴an=﹣2n+8．
又=，且n∈N*
∴当n=3或4时，Sn取得最大值12．
（2）由题意知
∴数列{nbn}的前n项的和为
∴，
相减得，
∴．
（3）由（1）得=
∴=
易知Rn在n∈N*上单调递增，∴Rn的最小值为
不等式对一切n∈N*都成立，则，即k＜19．
所以最大正整数k的值为18．
【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”得出an、二次函数的单调性、“错位相减法”、“裂项求和”、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．
18．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
【考点】函数最值的应用．
【专题】应用题；导数的综合应用．
【分析】（1）建立坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．由已知点P（2，2）在抛物线上，推导出抛物线的方程，可得梯形APQB面积，利用导数可得结论．
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点M（t， t2），t＞0．则函数在点M的切线方程为y﹣t2=t（x﹣t），由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为m时，可使用权所挖土的土方量最少．
【解答】解：（1）建立如图的坐标系，
设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．
由已知点P（2，2）在抛物线上，得p=1，
∴抛物线的方程为x2=2y，
设A（t， t2），则此时梯形APQB面积为S（t）=（2t+4）（2﹣t2），
∴S′（t）=﹣，t=，
t∈（0，），S′（t）＞0，t∈（，2），S′（t）＜0
∴t=，Smax（t）=，
∴新水渠底宽为m时，所填土的土方量最少；
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，
如图，
设切点M（t， t2），t＞0．
则函数在点M的切线方程为y﹣t2=t（x﹣t），
令y=0，y=2，得A（t，0），B（，2），
∴此时梯形OABC的面积为S（t）=（t+） 2=t+≥2，
当且仅当t=时，等号成立，
此时|OA|=，
∴设计改挖后的水渠的底宽为m时，土方量最少．
【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数知识、基本不等式的合理运用．
19．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x﹣1）2+y2=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】压轴题；探究型；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可得，解方程组得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）圆G：（x﹣1）2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上，把转化为含椭圆离心率与PH的式子，求出PH的范围可得答案；
（3）设圆M：（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0）满足条件，N（x，y），可知点（m，n）满足，化圆的方程为一般式，由得x2+y2﹣6x﹣1=0，
代入圆的方程可得2（m﹣3）x+2ny﹣m2﹣n2﹣1+r2=0对圆M上点N（x，y）恒成立，由系数为0求得m，n，r的值，验证满足后可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a=3，c=1，∴b2=a2﹣c2=8．
则椭圆方程为；
（2）圆G：（x﹣1）2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上，
∴，
∵e=，PH∈[]=[6，12]，
∴ []，则∈[]；
（3）设圆M：（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0）满足条件，N（x，y），
其中点（m，n）满足，则x2+y2=2mx+2ny﹣m2﹣n2+r2，
，
要使即NF2=2NT2，即x2+y2﹣6x﹣1=0，
代入x2+y2=2mx+2ny﹣m2﹣n2+r2，
得2（m﹣3）x+2ny﹣m2﹣n2﹣1+r2=0对圆M上点N（x，y）恒成立，
只要使，得，经检验m=3，n=0满足，
故存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）
都满足，圆M的方程为（x﹣3）2+y2=10．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了圆与圆锥曲线的位置关系，对于（3）的求解是该题的难点所在，与恒成立问题进行了交汇，试题设置难度较大．
20．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=e处的切线斜率为1，求a；
（2）若a＞0，g（x）=f（x）﹣x+1，求g（x）在区间[1，2]的最小值；
（3）令h（x）=f（x）﹣ax2，对y=h（x）上任意不同的两点，A（x1，y1），B（x2，y2）直线AB的斜率为k，若x1+x2+k＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）求得导数，求出切线的斜率，解方程可得a：
（2）化简g（x），求得导数，讨论当a≥时，当0＜a≤时，当＜a＜时，由单调区间，即可得到最小值；
（3）运用斜率公式，化简整理，即有m（x）=lnx+x2﹣a（2x﹣1）在（0，+∞）上递增，运用导数判断单调性，结合恒成立思想，计算即可得到a的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2的导数为f′（x）=+2a（x﹣1），
f（x）在x=e处的切线斜率为1，即有+2a（e﹣1）=1，
解得a=；
（2）g（x）=f（x）﹣x+1=lnx+a（x﹣1）2﹣x+1，
g′（x）=+2a（x﹣1）﹣1=，
当a≥时，在[1，2]上g′（x）＞0，g（x）递增，
即有x=1处取得最小值，且为0；
当0＜a≤时，在[1，2]上g′（x）＜0，g（x）递减，
即有x=2处取得最小值，且为ln2+a﹣1；
当＜a＜时，g（x）在[1，）递减，在（，2）递增，
即有x=处取得最小值，且为﹣ln（2a）+a（﹣1）2﹣+1；
（3）h（x）=f（x）﹣ax2=lnx﹣a（2x﹣1），
x1+x2+k＞0恒成立，
即为x1+x2+＞0恒成立，
即有＞0，
即为m（x）=lnx+x2﹣a（2x﹣1）在（0，+∞）上递增，
即有m′（x）=+2x﹣2a≥0恒成立，
即为2a≤2x+的最小值，
由2x+≥2=2（当且仅当x=，等号成立），
则2a≤2，
解得a≤．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性的定义和构造函数的方法，属于中档题．
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B= ．
2．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ．
3．函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为 ．
4．已知向量与的夹角是120°，且满足，，则||= ．
5．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a= ．
6．下列说法正确的序号有 ．
（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直．
（3）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
（4）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定存在与直线m，n都平行的平面．
7．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为 ．
8．若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项，则称此圆锥为“完美圆锥”，已知一完美圆锥的侧面积为2π，则这个圆锥的高为 ．
9．已知方程cos2x+4sinx﹣a=0有解，则a的取值范围是 ．
10．已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= ．
11．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[an（S4m+1）]=9，则+的最小值是 ．
12．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 ．
13．已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．
14．若实数a≥0，b≥1且，则2a+2b+1的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．
（1）求△AOB的面积；
（2）求sinα的值．
16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．
（1）求证：CM∥平面SAE；
（2）求证：SE⊥平面SAB；
（3）求三棱锥S﹣AED的体积．
17．（文科）已知数列{an}的前n项的和为Sn，点P（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{nbn}的前n项的和Tn；
（Ⅲ）设cn=，数列{cn}的前n项的和为Rn，求使不等式Rn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
18．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
19．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x﹣1）2+y2=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．
20．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=e处的切线斜率为1，求a；
（2）若a＞0，g（x）=f（x）﹣x+1，求g（x）在区间[1，2]的最小值；
（3）令h（x）=f（x）﹣ax2，对y=h（x）上任意不同的两点，A（x1，y1），B（x2，y2）直线AB的斜率为k，若x1+x2+k＞0恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年江苏省镇江市丹阳高中高二（上）期中数学试卷（实验班）
参考答案与试题解析
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B= {0，1} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】利用交集的性质求解．
【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．
2．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ﹣1 ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的最大值．
【解答】解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，
知“x＜a”可以推出“x2＞1”，
反之不成立．
则a的最大值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答．
3．函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为 π ．
【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．
【专题】计算题．
【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．
【解答】解：f（x）=1﹣2sin2x=cos2x
∴函数最小正周期T==π
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法．考查了三角函数的基础的知识的应用．
4．已知向量与的夹角是120°，且满足，，则||= 2 ．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】向量法；平面向量及应用．
【分析】由题意可得向量的模长，由夹角公式可得．
【解答】解：向量与的夹角是120°，且满足，
∴||==，
又∵，
∴||cos120°=﹣，
解得||=2
故答案为：
【点评】本题考查平面向量的数量积和夹角，属基础题．
5．直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，则a= ﹣1 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题．
【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得a的值．
【解答】解：∵直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，
∴≠，解得 a=﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
6．下列说法正确的序号有 （2） ．
（1）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都垂直．
（3）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
（4）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定存在与直线m，n都平行的平面．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在（1）中，如果两个平面有共线的三个公共点，则这两个平面相交；在（2）中，一定能作一条且只能作一条直线l与m，n都垂直；在（3）和（4）举出反例，能得到（3）和（4）都不正确．
【解答】解：（1）如果两个平面有不共线的三个公共点，则这两个平面重合，故（1）错误．
（2）m，n为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条且只能作一条直线l与m，n都垂直，故（2）正确．
（3）过直线m存在一个与直线n平行的平面，
当点P在这个平面内且不在直线m上时，
就不满足结论，故（3）错误；．
（4）过直线m存在一个与直线n平行的平面，
当点P在这个与直线n平行的平面内时，不满足结论，故（4）错误．
故答案为：（2）．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
7．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为 ．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】计算题．
【分析】求出f′（x）=2mx+﹣2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f′（x）大于等于0，分离参数求最值，即可得到m的范围．
【解答】解：求导函数，可得f′（x）=2mx+﹣2，x＞0，
函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，所以f′（x）≥0成立，
所以2mx+﹣2≥0，x＞0时恒成立，
所以，
所以﹣2m≤﹣1
所以m≥时，函数f（x）在定义域内是增函数．
故答案为．
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题
8．若圆锥的高是底面半径和母线长的等比中项，则称此圆锥为“完美圆锥”，已知一完美圆锥的侧面积为2π，则这个圆锥的高为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题；函数思想；待定系数法；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】设出圆锥的底面半径高、母线，由题意列出关系，求出圆锥的高即可．
【解答】解：设出圆锥的底面半径为r，高为h，母线为L，
由题意可知：h2=Lr，并且×2πr×L=2π，
∴h2=2，
∴h=，
故答案为：
【点评】本题考查旋转体的侧面积，等比中项的知识，是基础题．
9．已知方程cos2x+4sinx﹣a=0有解，则a的取值范围是 [﹣4，4] ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】已知方程利用同角三角函数间基本关系化简表示出a，根据方程有解，利用二次函数的性质即可确定出a的范围．
【解答】解：方程cos2x+4sinx﹣a=0，
变形得：1﹣sin2x+4sinx﹣a=0，即a=﹣sin2x+4sinx+1=﹣（sinx﹣2）2+5，
∵﹣1≤sinx≤1，
∴﹣4≤﹣（sinx﹣2）2+5≤4，
则a的取值范围为[﹣4，4]．
故答案为：[﹣4，4]．
【点评】此题考查了的同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
10．已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．
【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，
∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8
由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2
∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5
因此，椭圆C的离心率e==
故答案为：
【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．
11．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，若log3[an（S4m+1）]=9，则+的最小值是 2.5 ．
【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．
【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】根据等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，可得an=2 3n﹣1；Sn=3n﹣1，由log3[an （S4m+1）]=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．
【解答】解：∵等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn，
∴an=2 3n﹣1；Sn=3n﹣1，
∵log3[an （S4m+1）]=9，
∴（n﹣1）+4m=9，
∴n+4m=10，
∴+=（n+4m）（+）=（17+）≥（17+8）=2.5，
当且仅当m=n=2时取等号，
∴+的最小值是2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=3，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键，属于中档题．
12．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 [4，6] ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），
∵∠APB=90°，∴⊥，
∴ =（a+m）（a﹣m）+b2=0，
∴m2=a2+b2=|OP|2，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，
∴m的取值范围是[4，6]
故答案为：[4，6]．
【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
13．已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 [，） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】根据已知即可求得f（x）在[，1]上的解析式为f（x）=﹣lnx，从而可画出f（x）在上的图象，而容易知道g（x）与x轴交点个数便是y=f（x）与y=ax交点个数．通过图象可以看出直线y=ax在其与f（x）=lnx的切点和曲线y=f（x）的右端点之间，从而分别求出相切时a的值和经过右端点时a的值即可．
【解答】解：设x∈，则∈[1，3]；
∴根据条件；
g（x）与x轴有三个不同的交点即表示函数y=f（x）和函数y=ax有三个不同交点，如图所示：
由图可看出当直线y=ax与曲线f（x）=lnx，x∈[1，3]，相切时直线y=ax和曲线y=f（x）有两个公共点；
若直线y=ax再向下旋转便有三个交点，直到y=ax经过曲线y=f（x）的右端点，再向下旋转便成了两个交点；
设切点为（x0，lnx0），∴，又，∴；
∴此时lnx0=1，x0=e；
∴此时a=；
y=f（x）的右端点坐标为（3，ln3）；
∴直线y=ax经过右端点时，a=；
∴实数a的取值范围是．
故答案为：[）．
【点评】考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系．
14．若实数a≥0，b≥1且，则2a+2b+1的取值范围为 [7，9] ．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知得（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，从而得到1≤b≤2，由此能求出2a+2b+1的取值范围．
【解答】解：∵实数a≥0，b≥1且，
∴（2a）2+（2b）2=2×2a+4×2b﹣1，
∴（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，
∴4﹣2b≥0，
解得1≤b≤2，∴4≤2b+1≤8，
∵（2a﹣1）2=2b（4﹣2b）≥0，
∴b=1时，2a=3，2a+2b+1=7，
b=2时，2a=1，2a+2b+1=9，
∴7≤2a+2b+1≤9，
∴2a+2b+1的取值范围为[7，9]．
故答案为：[7，9]．
【点评】本题考查有理数指数幂代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的运算法则的合理运用．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．
（1）求△AOB的面积；
（2）求sinα的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形；平面向量及应用．
【分析】（1）根据题意设出，，利用向量法则根据﹣表示出，利用向量模的定义列出关系式，整理后利用两角和与差的余弦函数公式即可求出cos（α﹣β）的值，由α与β的范围求出α﹣β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β），由三角形面积公式即可得解．
（2）可先求cosβ的值，所求式子变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），
∴=﹣=（cosβ﹣cosα，sinβ﹣sinα），
∴||2=（cosβ﹣cosα）2+（sinβ﹣sinα）2=，即2﹣2（cosβcosα+sinβsinα）=，
∴cos（α﹣β）=cosβcosα+sinβsinα=；
∵0＜α＜，﹣＜β＜0，
∴0＜α﹣β＜π，
∴sin∠AOB=sin（α﹣β）==，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S△AOB=|OA| |OB|sin∠AOB==．
（2）∵sinβ=﹣，
∴cosβ==，
则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×﹣×=．
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，考查了平面向量的运算，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．
（1）求证：CM∥平面SAE；
（2）求证：SE⊥平面SAB；
（3）求三棱锥S﹣AED的体积．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）取SA的中点N，连接MN．△ASB中利用中位线定理，证出MN∥AB且MN=AB，而正方形ABCD中E为CD中点，可得CE∥AB且CE=AB，从而得到CENM为平行四边形，得CM∥EN．最后用线面平行的判定定理，即可证出CM∥平面SAE；
（2）Rt△SCD中，E为斜边中点，可得SE=CD=1．△ESA中算出SE2+SA2=5=AE2，从而得到ES⊥SA，同理△ESB中证出ES⊥SB，结合SA、SB是平面SAB内的相交直线，可证出SE⊥平面SAB．
（3）根据正方形的性质可得S△AED=S△ABE，从而得到VS﹣AED=VS﹣AEB=VE﹣SAB，由（2）得SE是三棱锥E﹣SAB的高，从而算出VE﹣SAB=，由此即可得到VS﹣AED=VE﹣SAB=．
【解答】解：（1）取SA的中点N，连接MN，EN
∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN=AB，
又E是CD的中点，∴CE∥AB，且CE=AB，
∴MN∥CE，且MN=CE，∴四边形CENM为平行四边形，
∴CM∥EN，又EN 平面SAE，CM 平面SAE，
∴CM∥平面SAE．
（2）∵侧面SCD为直角三角形，∠CSD=90°，E为CD的中点，
∴SE=CD=1，
又∵SA=AB=2，AE=，
∴SE2+SA2=5=AE2，可得ES⊥SA，同理可证ES⊥SB，
∵SA∩SB=S，SA、SB 平面SAB，∴SE⊥平面SAB．
（3）根据题意，得VS﹣AED=VS﹣AEB=VE﹣SAB，
∵SE⊥平面SAB，可得SE是三棱锥E﹣SAB的高
∴VE﹣SAB=S△SAB×SE==
因此，三棱锥S﹣AED的体积为VS﹣AED=VE﹣SAB=×=．
【点评】本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．
17．（文科）已知数列{an}的前n项的和为Sn，点P（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{nbn}的前n项的和Tn；
（Ⅲ）设cn=，数列{cn}的前n项的和为Rn，求使不等式Rn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由于点P（n，Sn）（n∈N）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．可得Sn．利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1，即可得出an．再利用二次函数的单调性即可得出Sn的最值；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用“裂项求和”得出Rn，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）∵点P（n，Sn）（n∈N）在函数f（x）=﹣x2+7x的图象上．
∴，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2n+8
当n=1时，a1=S1=6满足上式，
∴an=﹣2n+8．
又=，且n∈N*
∴当n=3或4时，Sn取得最大值12．
（2）由题意知
∴数列{nbn}的前n项的和为
∴，
相减得，
∴．
（3）由（1）得=
∴=
易知Rn在n∈N*上单调递增，∴Rn的最小值为
不等式对一切n∈N*都成立，则，即k＜19．
所以最大正整数k的值为18．
【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”得出an、二次函数的单调性、“错位相减法”、“裂项求和”、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．
18．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
【考点】函数最值的应用．
【专题】应用题；导数的综合应用．
【分析】（1）建立坐标系，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．由已知点P（2，2）在抛物线上，推导出抛物线的方程，可得梯形APQB面积，利用导数可得结论．
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点M（t， t2），t＞0．则函数在点M的切线方程为y﹣t2=t（x﹣t），由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为m时，可使用权所挖土的土方量最少．
【解答】解：（1）建立如图的坐标系，
设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）．
由已知点P（2，2）在抛物线上，得p=1，
∴抛物线的方程为x2=2y，
设A（t， t2），则此时梯形APQB面积为S（t）=（2t+4）（2﹣t2），
∴S′（t）=﹣，t=，
t∈（0，），S′（t）＞0，t∈（，2），S′（t）＜0
∴t=，Smax（t）=，
∴新水渠底宽为m时，所填土的土方量最少；
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，
如图，
设切点M（t， t2），t＞0．
则函数在点M的切线方程为y﹣t2=t（x﹣t），
令y=0，y=2，得A（t，0），B（，2），
∴此时梯形OABC的面积为S（t）=（t+） 2=t+≥2，
当且仅当t=时，等号成立，
此时|OA|=，
∴设计改挖后的水渠的底宽为m时，土方量最少．
【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数知识、基本不等式的合理运用．
19．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x﹣1）2+y2=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】压轴题；探究型；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可得，解方程组得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）圆G：（x﹣1）2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上，把转化为含椭圆离心率与PH的式子，求出PH的范围可得答案；
（3）设圆M：（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0）满足条件，N（x，y），可知点（m，n）满足，化圆的方程为一般式，由得x2+y2﹣6x﹣1=0，
代入圆的方程可得2（m﹣3）x+2ny﹣m2﹣n2﹣1+r2=0对圆M上点N（x，y）恒成立，由系数为0求得m，n，r的值，验证满足后可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得，解得a=3，c=1，∴b2=a2﹣c2=8．
则椭圆方程为；
（2）圆G：（x﹣1）2+y2=1的圆心在椭圆的右焦点上，
∴，
∵e=，PH∈[]=[6，12]，
∴ []，则∈[]；
（3）设圆M：（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0）满足条件，N（x，y），
其中点（m，n）满足，则x2+y2=2mx+2ny﹣m2﹣n2+r2，
，
要使即NF2=2NT2，即x2+y2﹣6x﹣1=0，
代入x2+y2=2mx+2ny﹣m2﹣n2+r2，
得2（m﹣3）x+2ny﹣m2﹣n2﹣1+r2=0对圆M上点N（x，y）恒成立，
只要使，得，经检验m=3，n=0满足，
故存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）
都满足，圆M的方程为（x﹣3）2+y2=10．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了圆与圆锥曲线的位置关系，对于（3）的求解是该题的难点所在，与恒成立问题进行了交汇，试题设置难度较大．
20．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=e处的切线斜率为1，求a；
（2）若a＞0，g（x）=f（x）﹣x+1，求g（x）在区间[1，2]的最小值；
（3）令h（x）=f（x）﹣ax2，对y=h（x）上任意不同的两点，A（x1，y1），B（x2，y2）直线AB的斜率为k，若x1+x2+k＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）求得导数，求出切线的斜率，解方程可得a：
（2）化简g（x），求得导数，讨论当a≥时，当0＜a≤时，当＜a＜时，由单调区间，即可得到最小值；
（3）运用斜率公式，化简整理，即有m（x）=lnx+x2﹣a（2x﹣1）在（0，+∞）上递增，运用导数判断单调性，结合恒成立思想，计算即可得到a的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2的导数为f′（x）=+2a（x﹣1），
f（x）在x=e处的切线斜率为1，即有+2a（e﹣1）=1，
解得a=；
（2）g（x）=f（x）﹣x+1=lnx+a（x﹣1）2﹣x+1，
g′（x）=+2a（x﹣1）﹣1=，
当a≥时，在[1，2]上g′（x）＞0，g（x）递增，
即有x=1处取得最小值，且为0；
当0＜a≤时，在[1，2]上g′（x）＜0，g（x）递减，
即有x=2处取得最小值，且为ln2+a﹣1；
当＜a＜时，g（x）在[1，）递减，在（，2）递增，
即有x=处取得最小值，且为﹣ln（2a）+a（﹣1）2﹣+1；
（3）h（x）=f（x）﹣ax2=lnx﹣a（2x﹣1），
x1+x2+k＞0恒成立，
即为x1+x2+＞0恒成立，
即有＞0，
即为m（x）=lnx+x2﹣a（2x﹣1）在（0，+∞）上递增，
即有m′（x）=+2x﹣2a≥0恒成立，
即为2a≤2x+的最小值，
由2x+≥2=2（当且仅当x=，等号成立），
则2a≤2，
解得a≤．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性的定义和构造函数的方法，属于中档题．
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