4　单摆 同步练习（有解析）

机械振动
4　单摆
1．把单摆的振动看作是简谐运动，需要满足的条件是(　　 )
A．摆球体积要大 B．摆线要粗而结实
C．最大摆角不超过5° D．摆球的重心必须在球心上
2．关于单摆，下列说法正确的是(　　 )
A．摆球受到的回复力是它所受的合力
B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零
C．摆球的回复力等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
3．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是(　　 )
A．单摆的摆长约为2.0 m
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8cos(πt) cm
C．从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大
考点二　单摆的周期
4．(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟．摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．当摆钟不准时需要调整圆盘位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移
D．把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移
5．有一摆长为L的单摆悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程中的闪光照片如图所示(悬点与小钉未被摄入).P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与P点的距离为(　　)
A． B．
C． D．无法确定
6．如图所示，小球在光滑的圆槽内做简谐振动，小球的半径很小，可将小球视为质点，为了使小球的振动周期变为原来的2倍，可采取的方法是(　　)
A．使小球的质量减小为原来的一半
B．使小球的振幅增大为原来的2倍
C．使小球通过平衡位置的速度增大为原来的2倍
D．将圆槽半径变为原来的4倍
7．(2024年中山期末)如图所示，轻绳的一端系一质量为m的金属球，另一端悬于O点，悬点O到球上端的绳长为L，球的直径为d.将球拉到A点后由静止释放(摆角小于 5°)，经过最低点C后，摆到B点速度减为零．在摆动过程中，设绳子与竖直方向夹角为θ，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　 )
A．球摆动时的回复力大小为F＝mgsin θ
B．球摆动的周期为T＝2π
C．球摆到最高点时速度为零，绳子拉力也为零
D．增大球的摆角(不超过5°)，球摆动的周期也变大
8．(多选)如图所示，房顶上固定一根长2.5 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点).打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球从最左端运动到最右端的时间可能为(　　 )
A．0.2π s B．0.4π s
C．0.6π s D．1.2π s
9．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间．t＝0时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置．图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线．已知摆长为1.6 m，A、B之间的最大摆角为θ＝5°.(取sin 5°＝0.087，cos 5°＝0.996)求：
　
(1)当地的重力加速度大小；
(2)摆球在A点时回复力的大小；
(3)摆球运动过程中的最大动能．
答案解析
1、【答案】C　【解析】摆球要选用体积较小密度大的金属球，减小空气阻力，故A错误．摆线应细一些并且结实些，以减小空气阻力，故B错误．重力沿弧线的分力提供回复力，最大摆角不超过5°，故C正确．摆球选用体积较小密度大的金属球，减小空气阻力，摆球的重心是否在球心没有定性要求，故D错误．
2.【答案】B　【解析】摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，故A错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，故B正确；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力；在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C、D错误．
3、【答案】D　【解析】由图乙知，单摆周期为2 s，由单摆周期公式T＝2π，可解得单摆的摆长为L≈1.0 m，A错误；单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asin＝8sin(πt) cm，B错误；从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球从最高点回到平衡位置，摆球的重力势能逐渐减小，C错误；从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球从平衡位置回到最高点，位移逐渐增大，回复力与位移成正比，故摆球所受回复力逐渐增大，D正确．
4.【答案】 AC　【解析】调整圆盘位置可改变摆长，从而达到调整周期的作用．若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长即下移圆盘；由冬季变为夏季，摆杆应变长，应上移圆盘；从广州到北京，g值变大，周期变小，应增加摆长．A、C正确，B、D错误．
5.【答案】C　【解析】设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆球在右侧摆动的周期T1＝8t，在左侧摆动的周期T2＝4t，T1∶T2＝2∶1，则T1＝2π，T2＝2π；两式两边相除得L2＝L1，所以小钉与悬点的距离s＝L1－L2＝L，故C正确．
6.【答案】D　【解析】小球在光滑的圆槽内做简谐振动，可看作单摆，可得小球在光滑的圆槽内做简谐振动时的周期为T＝2π，则小球的质量、振幅和通过平衡位置的速度均与周期无关，A、B、C错误；将圆槽半径变为原来的4倍，周期变为原来的2倍，故D正确．
7.【答案】A　【解析】由受力分析可得，球摆动时的回复力大小为F＝mgsin θ，故A正确；球摆动的周期为T＝2π，故B错误；球摆到最高点时速度为零，向心力等于零，绳子拉力不等于零，故C错误；由单摆周期公式可得，周期与角度无关，故D错误．
8.【答案】BD　【解析】小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期T1＝2π＝π s，摆长为线长减去墙体长时对应的周期T2＝2π＝0.6π s，故小球从最左端到最右端所用的最短时间为t＝＝0.4π s，则小球从最左端到最右端所用时间为T＝(2n－1)t(n＝1，2，3…)，故B、D正确．
9.解：(1)摆球在一个周期内两次经过最低点，对应两次细线拉力达到最大值，由图乙可知单摆的周期为
T＝0.8π s＝2π，
解得当地的重力加速度大小为g＝10 m/s2.
(2)摆球在A点时，细线拉力大小为
Fmin＝mgcos θ＝0.498 N，
解得mg＝0.5 N.
摆球在A点时回复力的大小为F回＝mgsin θ＝0.043 5 N.
(3)设摆球在B点时速度为v，根据牛顿第二定律有
Fmax－mg＝m，
摆球运动过程中的最大动能为
Ekm＝mv2＝(Fmax－mg)L＝0.003 2 J．