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第11章 三角形
一、三角形的边
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，4，9 B．5，6，11 C．5，9，9 D．3，4，8
2．某三角形的三边长分别为3，6，，则不可能是（ ）
A． B．6 C． D．
3．已知三角形两边的长分别为2、4，且该三角形的周长为偶数，则第三边的长为 ．
4．已知，，为的三条边，化简：= ．
5．已知的三边分别为a，b，c，且．
(1)求c的取值范围；
(2)若c的长为小于8的偶数，求的周长．
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．若三角形的两边长分别为和，则第三边的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知三角形的三边为a，b，c， 若，，c为奇数，求三角形的周长．
4．已知在中，a，b，c分别为的三边．
(1)若，，求a的取值范围．
(2)化简：．
二、三角形的重要线段
1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中作的AC边上的高正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的角平分线都在三角形的内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部
D．三角形的高线必交于一点
3．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（ ）
A．18 B．22 C．28 D．32
4．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（ ）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2
5．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
6．如图，在△ABC中，点D在边BC上．
（1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；
（2）若AD为△ABC的中线，AB＝9cm，AC＝6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长大多少？
1．如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．CE B．AF C．DB D．AB
2．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
3．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
4．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝ ．
5．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
6．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．
7．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差；
（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数．
三、三角形的稳定性
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，要使一个六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少需要再钉上几根木条（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．自行车的车架做成三角形，利用的原理是 ．
3．如图是一个七边形木框，要固定它的形状，至少要钉 根木条．
四、与三角形有关的角
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
2．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
3．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，则∠A的度数为 ．
5．如图，∠ACD为△ABC的外角，则x＝ ．
6．如图，△ABC的两条内角平分线BO，CO相交于点O，两条外角平分线BP，CP相交于点P．已知∠BOC＝120°，则∠P＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数．
1．如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为（ ）
A．110 B．100 C．55 D．45
2．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（ ）
A．140 B．190 C．320 D．240
4．如图，在三角形ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°，则∠C＝ °．
5．如图，点D是△ABC的边CB延长线上一点，若∠ABD＝100°，∠A＝60°，则∠C＝ ．
6．如图，AD⊥BC，垂足为点D，点E在AC上，∠EBC＝40°，∠A＝30°，求∠BEC的度数．
7．下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答：
（1）如图1，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线且相交于点E，若∠A＝30°，则∠E＝ ；
（2）如图2，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE和CE交于点E，猜想∠A与∠E之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，BE，CE分别是△ABC外角∠CBD和∠BCF的平分线且相交于点E，直接写出∠A与∠E之间的数量关系．
五、多边形
1．如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线a⊥b，则该正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
2．如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（ ）
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．以上都有可能
3．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到9个三角形，那么这个多边形为 边形．
1．如图所示图形是正多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一个多边形的所有对角线画出来，会形成如图所示的图案，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
3．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ．
五、多边形的内外角和
1．一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
2．如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
3．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ．
4．在五边形ABCDE中，五个角的度数表示如图，求x的值．
5．（1）若多边形的内角和为720°，求此多边形的边数；
（2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为13：2，求n的值．
1．已知一个多边形的每一个外角都为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
4．如图，在六边形ABCDEF中，∠BCD的平分线与∠CDE的平分线交于点P，∠P＝60°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠A+∠B+∠E+∠F的度数．
5．小创做了一个数学实验．如图，他先剪出一个五边形纸片，记为五边形ABCDE，然后再剪去五边形ABCDE的一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？
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第11章 三角形
一、三角形的边
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，4，9 B．5，6，11 C．5，9，9 D．3，4，8
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，根据三角形的三边关系进行分析判断，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
【详解】解：A、，不能组成三角形，故选不符合题意；
B、，不能组成三角形，故选不符合题意；
C、，能组成三角形，故选符合题意；
D、，能组成三角形，故选符合题意；
故选：C．
2．某三角形的三边长分别为3，6，，则不可能是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了确定三角形第三边的取值范围．熟练掌握确定第三边的取值范围是解题的关键．
由题意知，，即，然后判断作答即可．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，6，，
∴，即，
∴不可能是，
故选：D．
3．已知三角形两边的长分别为2、4，且该三角形的周长为偶数，则第三边的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系，同时还要注意偶数这一条件．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于6，又根据周长为偶数得到第三边是偶数，即可解答．
【详解】解：设第三边的长为，
第三边x的范围是：，即，
∵该三角形的周长为偶数，且为偶数，
∴第三边长是偶数，
∴第三边是4．
故答案为：4．
4．已知，，为的三条边，化简：= ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可．
【详解】解：，，为的三条边
，
，
故答案为：．
5．已知的三边分别为a，b，c，且．
(1)求c的取值范围；
(2)若c的长为小于8的偶数，求的周长．
【答案】(1)
(2)14或16
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件：
（1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再代值计算即可；
（2）根据（1）所求结合偶数的定义可得或，据此利用三角形周长计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵的三边分别为a，b，c，且，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵c的长为小于8的偶数，且，
∴或，
当时，的周长为；
当时，的周长为；
综上所述，的周长为14或16．
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解答本题的关键．
根据三角形三条边的关系判断，能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．计算即可．
【详解】A．，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C．，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D．，能组成三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．若三角形的两边长分别为和，则第三边的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设第三边的长为，根据三角形的三边关系定理可得，然后再根据的取值范围确定答案．此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【详解】解：设第三边的长为，由题意得：
，
，
B、C、D三个选项的值在这个范围内，
故选：A．
3．已知三角形的三边为a，b，c， 若，，c为奇数，求三角形的周长．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值即可解题．
【详解】解：根据三角形三边的关系得到，即，
又∵c为奇数，
∴，
∴的周长为．
4．已知在中，a，b，c分别为的三边．
(1)若，，求a的取值范围．
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值：
（1）根据三角形的三边关系，进行求解即可；
（2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可．
【详解】（1）解：∵a，b，c分别为的三边，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
二、三角形的重要线段
1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中作的AC边上的高正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义判断即可．
【解答】解：A、CD没有经过顶点B，不是AC边上的高，不符合题意；
B、AD不垂直于AC，不是AC边上的高，不符合题意；
C、高BD垂直于AC于D，是AC边上的高，符合题意；
D、AD不垂直于AC，不是AC边上的高，不符合题意；
故选：C．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的角平分线都在三角形的内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部
D．三角形的高线必交于一点
【分析】根据三角形中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可得答案．
【解答】解：A、三角形的角平分线都在三角形的内部，故该选项正确；
B、直角三角形有三条高，故该选项错误；
C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误；
D、三角形的高线所在的直线必交于一点，故该选项错误；
故选：A．
3．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（ ）
A．18 B．22 C．28 D．32
【分析】根据中点得到BE＝CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可．
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AB＝7，AC＝10，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE，
∴CE+AE＝15，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22，
故选：B．
4．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（ ）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得到△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍，计算即可．
【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，
∴S△ABD＝S△ADC，S△BGD＝S△CDG，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE，
∴S△AGB＝S△AGC，S△AFG＝S△AGE，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【分析】由CD⊥AB与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°．
或∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝50°﹣30°＝20°．
6．如图，在△ABC中，点D在边BC上．
（1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；
（2）若AD为△ABC的中线，AB＝9cm，AC＝6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长大多少？
【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠3＝∠4＝∠1+∠2＝70°，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）根据三角形中线的定义得到BD＝CD，再由三角形周长公式结合已知条件推出AB﹣AC＝3，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°，
∴∠3＝∠1+∠2＝70°，
∴∠3＝∠4＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°；
（2）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AB＝9cm，AC＝6cm，
∴AB﹣AC＝3，
△ABD的周长减△ACD的周长＝AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）
＝AB﹣AC
＝3（cm），
∴△ABD的周长比△ACD的周长大3cm．
1．如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．CE B．AF C．DB D．AB
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【解答】解：∵AF⊥BC，交CB的延长线于F，
∴AF为△ABC中BC边上的高．
故选：B．
2．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
3．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
4．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝ ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形的性质求出∠BAE，计算即可．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°，
故答案为：9°．
5．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
6．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数．
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE＝∠BAC，而∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝45°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°
∴在△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°
7．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O．
（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差；
（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据三角形周长计算公式可得到△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再由三角形中线的定义得到AD＝BD，据此代值计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠ABE＝31°，由三角形高的定义得到∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD，
∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD．
又∵BC＝3，AC＝2，
∴BC﹣AC+BD﹣AD＝BC﹣AC＝3﹣2＝1，即△BCD与△ACD的周长差为1；
（2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，
∴，
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°．
三、三角形的稳定性
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：具有稳定性的图形是三角形，
故选：A．
2．从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可．
【解答】解：∵C选项中的伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中的图片都是利用了三角形的稳定性，
∴选项C中的图片与众不同．
故选：C．
3．如图，要使一个六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少需要再钉上几根木条（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形的稳定性，即可得到答案．
【解答】解：根据三角形的稳定性可知：从一个顶点作三条对角线，形成三个三角形，即可使六边形木架不变形，如图：
故选：B．
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的稳定性，即可求解．
【解答】解：根据三角形的稳定性得：具有稳定性的是：
故选：D．
2．自行车的车架做成三角形，利用的原理是 ．
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
【解答】解：根据题意可得，自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
3．如图是一个七边形木框，要固定它的形状，至少要钉 根木条．
【分析】根据n边形从一个顶点可画（n﹣3）条对角线即可解答．
【解答】解：由三角形具有稳定性可知：要使七边形木框不变形，至少还要钉7﹣3＝4根木条，
故答案为：4．
四、与三角形有关的角
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
2．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【分析】观察图形，结合三角形外角的性质可知∠ACD＝∠B+∠A，则∠A＝∠ACD﹣∠B，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝120°，∠B＝20°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣20°＝100°．
故选：C．
3．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形外角的性质得出∠ACD＝∠A+∠B＝100°，再根据角平分线的定义即可求解．
【解答】解：由三角形的外角可知：∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴．
故选：C．
4．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，则∠A的度数为 ．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠A的度数为75°．
故答案为：75°．
5．如图，∠ACD为△ABC的外角，则x＝ ．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和列出关于x的方程，求解即可．
【解答】解：根据题意得：x°+x°＝80°，
解得：x＝40，
故答案为：40．
6．如图，△ABC的两条内角平分线BO，CO相交于点O，两条外角平分线BP，CP相交于点P．已知∠BOC＝120°，则∠P＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】首先在△BOC中求出∠OBC+∠OCB的值，由BO，CO是∠ABC，∠ACB的角平分线，求出∠ABC+∠ACB的值，进而求出∠CBD+∠BCE的值，再根据BP，CP是∠CBD，∠BCE的角平分线，可求出∠CBP+∠BCP的值，最后在△PBC中即可求出∠P的值．
【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵BO，CO是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠CBD+∠BCE＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣120°＝240°，
∵BP，CP是∠CBD，∠BCE的角平分线，
∴，
∴∠P＝180﹣（∠CBP+∠BCP）＝60°，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数．
【分析】先由三角形内角和定理求出∠BAC＝70°，再由角平分线的定义得到∠CAD＝35°，据此求出∠ADC＝70°，由垂直的定义得到∠DPE＝90°，即可求出∠E的度数．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝70°，
∵PE⊥AD，
∴∠E＝90°﹣∠PDE＝20°．
1．如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为（ ）
A．110 B．100 C．55 D．45
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
故选：B．
2．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据三角形内角和定理和直角三角形的定义逐项判断即可得到答案．
【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故①正确，符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
∴设∠A＝x，∠B＝5x，∠C＝6x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+5x+6x＝180°，
解得：x＝15°，
∴∠C＝6x＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故②正确，符合题意；
∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故③正确，符合题意；
综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠A＝60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度（ ）
A．140 B．190 C．320 D．240
【分析】先根据三角形外角的性质得到∠A+∠ADE＝∠1，∠A+∠AED＝∠2，再把两式相加，根据三角形内角和定理及∠A＝60°即可得出答案．
【解答】解：∵∠A+∠ADE＝∠1，∠A+∠AED＝∠2，
∴∠A+（∠A+∠ADE+∠AED）＝∠1+∠2，
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝60°，
∴∠1+∠2＝60°+180°＝240°．
故选：D．
4．如图，在三角形ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°，则∠C＝ °．
【分析】根据三角形内角和为180°，即可列式作答．
【解答】解：在三角形ABC中，∠B＝30°，∠A＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝110°，
故答案为：110．
5．如图，点D是△ABC的边CB延长线上一点，若∠ABD＝100°，∠A＝60°，则∠C＝ ．
【分析】由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABD＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝100°﹣60°＝40°，
故答案为：40°．
6．如图，AD⊥BC，垂足为点D，点E在AC上，∠EBC＝40°，∠A＝30°，求∠BEC的度数．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠C，再利用三角形的内角和求出∠BEC．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠A＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°．
∵∠EBC+∠C+∠BEC＝180°，
∴∠BEC＝180°﹣∠C﹣∠EBC
＝180°﹣60°﹣40°
＝80°．
7．下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答：
（1）如图1，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线且相交于点E，若∠A＝30°，则∠E＝ ；
（2）如图2，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE和CE交于点E，猜想∠A与∠E之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，BE，CE分别是△ABC外角∠CBD和∠BCF的平分线且相交于点E，直接写出∠A与∠E之间的数量关系．
【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形内角和定理得出∠BEC+∠EBC+∠ECB＝180°，利用等量代换即可得出结论；
（2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形外角的性质即可得出结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】（1）解：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴，，
∵∠ECB+∠BEC+∠EBC＝180°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠ECB+∠EBC）
＝180°﹣（
＝
＝
＝，
＝105°，
故答案为：105°；
（2）解：，理由如下：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE和CE交于点E，
∴，．
∵∠ACD是△ABC的外角，∠ECD是△BCE的外角，
∴
故答案为：；
（3）解：∵∠CBD与∠BCF是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠ACB+∠A，∠BCF＝∠ABC+∠A，
∵BE，CE分别是△ABC外角∠CBD和∠BCF的平分线，
∴，．
∵∠E+∠ECB+∠EBC＝180°，
∴∠E＝180°﹣∠ECB﹣∠EBC，
＝，
＝，
＝．
五、多边形
1．如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线a⊥b，则该正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【分析】先延长DA，EB交于点C，再根据已知条件求出∠C，然后根据正多边形的定义求出∠DAB＝∠ABE，从而根据邻补角定义求出正多边形的一个外角，最后根据多边形外角和求出边数即可．
【解答】解：如图所示：延长DA，EB交于点C，
∵直线a⊥b，
∴∠C＝90°，
∵此多边形是正多边形，
∴∠DAB＝∠ABE，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵正多边形外角和为360°，
∴正多边形的边数为360°÷45°＝8，
故选：C．
2．如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（ ）
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．以上都有可能
【分析】分为三种情况，画出图形，解答即可．
【解答】解：如图1，剩余图形是四边形；
如图2，剩余图形是五边形；
如图3，剩余图形是六边形；
综上所述，剩余的部分是四边形或五边形或六边形．
故选：D．
3．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到9个三角形，那么这个多边形为 边形．
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律进行解答即可．
【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝9，
解得：n＝11，
故多边形是十一边形．
故答案为：11．
1．如图所示图形是正多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【解答】解：A．是等腰三角形，故A不符合题意；
B．是圆角矩形，故B不符合题意；
C．是正五边形，故C符合题意；
D．是一般六边形，不是正多边形，故D不符合题意；
故选：C．
2．将一个多边形的所有对角线画出来，会形成如图所示的图案，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
【分析】根据从n边形的一个顶点出发，可以引出（n﹣3）条对角线，进行求解即可．
【解答】解：由图可知，从一个顶点出发可以画2条对角线，
∴边数为2+3＝5，
∴这个多边形是五边形，
故选：D．
3．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ．
【分析】根据一个四边形截去一个角后得到的多边形的特点解答即可．
【解答】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形．
故答案为：3或4或5．
五、多边形的内外角和
1．一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程（n﹣2） 180°＝1260°，即可解得n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2） 180°＝1260°，
解得n＝9，
则这个多边形是九边形．
故选：B．
2．如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据任意多边形内角和都等于360°，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∵∠1+2+∠3+∠4＝280°，
∴∠5＝360°﹣280°＝80°，
故选：B．
3．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ．
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°＝8
即该正多边形的边数为8．
4．在五边形ABCDE中，五个角的度数表示如图，求x的值．
【分析】结合多边形内角和公式可得关于x的一元一次方程，求解即可获得答案．
【解答】解：由多边形内角和公式：x+（x+20）+70+x+（x﹣10）＝（5﹣2）×180，
整理得：4x+80＝540，
解得：x＝115，
即x的值为115．
5．（1）若多边形的内角和为720°，求此多边形的边数；
（2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为13：2，求n的值．
【分析】（1）设此多边形的边数为n，根据多边形的内角和计算公式建立方程求解即可；
（2）设多边形的一个外角为2x度，则一个内角为13x度，根据多边形一个外角的度数与其相邻的内角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数．再根据外角和是固定的360°，从而可求出边数．
【解答】解：（1）设此多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝720°，
解得：n＝6，
即该多边形的边数为6；
（2）设多边形的一个外角为2x度，
则一个内角为13x度，
则13x+2x＝180，
解得：x＝12．
那么2x＝2×12＝24，
即该多边形的一个外角的度数为24°，
那么n＝360°÷24°＝15．
1．已知一个多边形的每一个外角都为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据多边形的外角和等于360°即可得出答案．
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
又∵一个多边形的每一个外角都为40°，
∴这个多边形的边数为：360°÷40°＝9．
故选：D．
2．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
【分析】根据内角和定理180° （n﹣2）即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠G的和，再利用两个四边形的内角和减去一个平角的度数计算即可．
【解答】解：如图所示，
由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A+∠G，
由四边形的内角和是360°可得，
∠1+∠2+∠E+∠F＝360°，∠3+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
＝∠1+∠C+∠D+∠E+∠F+∠B
＝360°×2﹣180°
＝540°．
故答案为：540°．
4．如图，在六边形ABCDEF中，∠BCD的平分线与∠CDE的平分线交于点P，∠P＝60°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠A+∠B+∠E+∠F的度数．
【分析】（1）根据正多边形的内角和公式计算即可；
（2）根据三角形内角和、角平分线的定义，得出∠BCD+∠EDC＝2∠PCD+2∠PDC＝240°，结合正多边形的内角和公式，代入化简得出∠A+∠B+∠E+∠F＝720°﹣∠BCD﹣∠EDC＝480°，即可作答．
【解答】解：（1）六边形ABCDEF的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠P＝180°﹣60°＝120°，
∵PC平分∠BCD，PD平分∠EDC，
∴∠BCD+∠EDC＝2∠PCD+2∠PDC＝2×120°＝240°，
∵∠A+∠B+∠E+∠F+∠BCD+∠EDC＝720°，
∴∠A+∠B+∠E+∠F＝720°﹣∠BCD﹣∠EDC＝720°﹣240°＝480°．
5．小创做了一个数学实验．如图，他先剪出一个五边形纸片，记为五边形ABCDE，然后再剪去五边形ABCDE的一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？
【分析】根据剪去一个角后边的多少进行分类讨论即可．
【解答】解：剪去一个角，
①四边形；则内角和为360°；
②五边形，则内角和为540°
③六边形，则内角和为720°．
综上所述，剩下的多边形的内角和是360°或540°或720°．
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