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15第11 13章综合检测卷 (期中检测卷)
(测试范围:第11章三角形第13章轴对称 解答参考时间:120分钟,满分:120分)
一．选择题（共10小题）
1．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2 cm，4 cm B．8 cm，6 cm，4 cm
C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
2．下列命题中，不正确的是（ ）
A．关于直线对称的两个三角形一定全等
B．角是轴对称图形
C．等边三角形有3条对称轴
D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合
3．在如图所示绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EF∥AB
B．延长AC到F，过C作CE∥AB
C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
D．作CD⊥AB于点D
5．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（﹣1，﹣2），则点P关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
6．如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD，补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠CAB＝∠DAB D．∠ACB＝∠ADB
7．若经过点（2，1）的直线m与y轴平行，则点A（4，3）关于直线m对称的点的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣2，3）
8．如图，△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，△ABC周长为34cm，△ABD的周长为22cm，则AE的长度为（ ）
A．8cm B．4cm C．2cm D．6cm
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，则S△BDC的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
二．填空题（共6小题）
11．空调安装在墙上时，一般都采用如图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 ．
12．一个n边形的每个内角都等于144°，则n＝ ．
13．若一个等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则周长是 ．
14．在△ABC中，AB＝AC，BD是边AC上的高，∠ABD＝40°，则∠C的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是 ．
16．已知△ABC中，AB＝AC，AD平分BC，CE平分∠ACB，若∠CAD＝25°，则∠ACE的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AB＝DE，求证：AB∥DE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝60°，求∠DAC与∠BOA的度数．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AE，E是△ABC外一点，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠BAD＝30°，求∠B的度数．
21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题．
（1）在图1中，画出△ABC关于y轴对称的△DEC（点D与点A对应），点E的坐标为 ；
（2）在图1中，画出△ABC的中线AM，点M的坐标为 ；
（3）在图2中，画出△ABC的高BF（保留作图痕迹）．
22．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数．
（2）求证：DE＝3CE．
23．（10分）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED＝DF，求证：BE＝CF．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论：
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC＝180°，求证：AB＝CN；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系．
24．（12分）在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点A（0，m）和B（n，0），且m，n满足．
（1）求点A、B的坐标；
（2）过点A作AD⊥AB，截取AD＝AB，点D在第一象限内，过点D作DC⊥x轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使△ACM与△ACD全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
15第11 13章综合检测卷(期中检测卷)
一．选择题（共10小题）
1．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2 cm，4 cm B．8 cm，6 cm，4 cm
C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
【思路点拔】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
解：A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能组成三角形；
C、5+6＜12，不能够组成三角形；
D、2+3＝5，不能组成三角形．
故选：B．
2．下列命题中，不正确的是（ ）
A．关于直线对称的两个三角形一定全等
B．角是轴对称图形
C．等边三角形有3条对称轴
D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合
【思路点拔】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、正确，符合对称的性质；
B、正确，角平分线是角的对称轴；
C、正确，三个角的角平分线是等边三角形的对称轴；
D、错误，等腰三角形底边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合，腰上的高、中线及这边所对角的角平分线不重合．
故选：D．
3．在如图所示绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
4．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EF∥AB
B．延长AC到F，过C作CE∥AB
C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
D．作CD⊥AB于点D
【思路点拔】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意．
C．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故C不符合题意．
D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意．
故选：D．
5．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（﹣1，﹣2），则点P关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
【思路点拔】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
解：点P的坐标是（﹣1，﹣2），则点P关于y轴对称的点的坐标是（1，﹣2），
故选：B．
6．如图，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△ABC≌△ABD，补充下列其中一个条件后，不一定能推出△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠CAB＝∠DAB D．∠ACB＝∠ADB
【思路点拔】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．AC＝AD，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
B．AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，BC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
C．∠CAB＝∠DAB，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D．∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，AB＝AB，符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
故选：A．
7．若经过点（2，1）的直线m与y轴平行，则点A（4，3）关于直线m对称的点的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣2，3）
【思路点拔】作出点A（4，3）关于直线m对称的点A′即可求解．
解：如图所示：
则点A（4，3）关于直线m对称的点的坐标为（0，3），
故选：A．
8．如图，△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，△ABC周长为34cm，△ABD的周长为22cm，则AE的长度为（ ）
A．8cm B．4cm C．2cm D．6cm
【思路点拔】根据线段的垂直平分线的性得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为22，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝22，
∵△ABC周长为34，
∴AB+BC+AC＝34，
∴AC＝34﹣22＝12，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AEAC＝6（cm），
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，则S△BDC的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【思路点拔】延长AC、BD相交于点E，证明△ADE≌△ADB（ASA），可得AE＝AB，ED＝BD，从而可得，再由AB﹣AC＝3，求得CE＝3，即可求得面积．
解：延长AC、BD相交于点E，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（ASA），
∴AE＝AB，ED＝BD，
∴，
∵AB﹣AC＝3，
∴AE﹣AC＝CE＝3，
∴．
故选：C．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝ 8 ．
A.6 B.8 C.10 D.12
【思路点拔】作DH⊥AB于点H，交BE的延长线于点G，则∠ABC＝∠C＝45°，∠HDB＝∠HBD＝45°，可证明△BGH≌△DFH，得BG＝DF，再证明∠EDB＝22.5°，∠EDG＝45°﹣22.5°＝22.5°，则∠EDB＝∠EDG，即可证明△EDB≌△EDG，则GE＝BE＝4，所以DF＝BG＝8．
解：如图，作DH⊥AB于点H，交BE的延长线于点G，
则∠BHG＝∠DHF＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BHD＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠HDB＝∠HBD＝45°，
∴BH＝DH，
∵BE⊥DE，
∴∠BED＝∠GED＝90°，
∴∠GBH＝∠FDH＝90°﹣∠G，
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（ASA），
∴BG＝DF，
∵∠EDB∠ACB＝22.5°，
∴∠EDG＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠EDB＝∠EDG，
在△EDB和△EDG中，
，
∴△EDB≌△EDG（ASA），
∴GE＝BE＝4，
∴BG＝GE+BE＝8，
∴DF＝8，
故答案为：B．
二．填空题（共6小题）
11．空调安装在墙上时，一般都采用如图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 ．
【思路点拔】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
12．一个n边形的每个内角都等于144°，则n＝ 10 ．
【思路点拔】根据多边形的内角和定理：（n﹣2）180°求解即可．
解：由题意可得：（n﹣2）180°＝n×144°，
解得n＝10．
故答案为：10．
13．若一个等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则周长是 14cm或16cm ．
【思路点拔】等腰三角形两边的长为4cm和6cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：
（1）当边长为4cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为4cm，4cm，6cm，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为4+4+6＝14（cm）；
（2）当边长为6cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为4cm，6cm，6cm，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为4+6+6＝16（cm）；
综上，这个等腰三角形的周长为14cm或16cm．
故答案为：14cm或16cm．
14．在△ABC中，AB＝AC，BD是边AC上的高，∠ABD＝40°，则∠C的度数为 65°或25° ．
【思路点拔】①如图，当顶角为锐角三角形时：∠BAC＝90°﹣∠ABD＝50°，②如图，当顶角为钝角三角形时：∠BAC＝90°+40°＝130°，再结合等腰三角形的性质可得答案．
解：①如图，当顶角为锐角三角形时：∠BAC＝90°﹣∠ABD＝50°，
∵AB＝AC，
∴；
②如图，当顶角为钝角三角形时：
∵∠ABD＝40°，∠D＝90°，
∴∠BAC＝90°+40°＝130°，
∵AB＝AC，
∴．
故答案为：65°或25°．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是 ．
【思路点拔】作F关于AD的对称点F'，由角的对称性知，点F'在AB上，当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，再利用面积法求出CF'的长即可．
解：作F关于AD的对称点F'，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点F'在AB上，
∴EF＝EF'，
∴当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC，
∴12×8＝10×CF'，
∴CF'，
∴EC+EF的最小值为，
故答案为：．
16．已知△ABC中，AB＝AC，AD平分BC，CE平分∠ACB，若∠CAD＝25°，则∠ACE的度数为 32.5° ．
【思路点拔】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝50°，∠B＝∠ACB（180°﹣∠CAB）＝65°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE∠ACB＝32.5°．
解：如图，∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝25°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝50°，∠B＝∠ACB（180°﹣∠CAB）＝65°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE∠ACB＝32.5°．
故答案为：32.5°．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AB＝DE，求证：AB∥DE．
【思路点拔】根据HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF，利用全等三角形的性质即可解决问题．
证明：∵AC⊥BC，DF⊥EF，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝60°，求∠DAC与∠BOA的度数．
【思路点拔】在△ABC中，AD是高线，得∠ADE＝90°．根据三角形外角的性质，得∠ADE＝∠C+∠DAC，那么∠DAC＝∠ADE﹣∠C＝30°．根据三角形内角和定理，∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝70°．由BF平分∠ABC，得∠ABO35°．同理，∠BAO25°．根据三角形内角和定理，∠BOA＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝120°．
解：在△ABC中，AD是高线，
∴∠ADE＝90°．
∵∠ADE＝∠C+∠DAC，
∴∠DAC＝∠ADE﹣∠C＝90°﹣60°＝30°．
∵∠BAC＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝70°．
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABO35°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAO25°．
∴∠BOA＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣（35°+25°）＝120°．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
【思路点拔】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，利用等角对等边得出DB＝DC．再根据SSS证明△ABD≌△ACD，那么∠BAD＝∠CAD；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB＝∠ADC，再利用周角的定义即可求出∠ADB的度数．
（1）证明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝DC．
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB（360°﹣90°）＝135°．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AE，E是△ABC外一点，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠BAD＝30°，求∠B的度数．
【思路点拔】（1）根据条件证△BAC≌△DAE即可求证；
（2）根据全等三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和Rt△DAE，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴BC＝DE；
（2）解：∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∵∠BAD＝30°，∠BAD+∠B+∠BDA＝180°，
∴∠B+∠BDA＝150°，
∴∠B＝75°．
21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题．
（1）在图1中，画出△ABC关于y轴对称的△DEC（点D与点A对应），点E的坐标为 （4，﹣2） ；
（2）在图1中，画出△ABC的中线AM，点M的坐标为 （﹣2，﹣1.5） ；
（3）在图2中，画出△ABC的高BF（保留作图痕迹）．
【思路点拔】（1）作出点A、B关于y轴的对称点D、E，然后顺次连接即可，写出点E的坐标；
（2）连接PQ，交BC于一点M，连接AM即可，根据点M为BC的中点，写出点M的坐标即可；
（3）连接BN，交AC于一点F，则BF即为△ABC的高．
（1）解：作出点A、B关于y轴的对称点D、E，顺次连接，则△DEC即为所求作的三角形，如图所示：
点E的坐标为：（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
（2）解：连接PQ，交BC于一点M，连接AM，则AM即为所求，如图所示：
根据作图可知，点M为所在方格的中点上，点M的坐标为：（﹣2，﹣1.5）．
故答案为：（﹣2，﹣1.5）；
（3）解：连接BN，交AC于一点F，则BF即为所求作△ABC的高，如图所示：
22．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数．
（2）求证：DE＝3CE．
【思路点拔】（1）利用等腰三角形BCD的性质、△DBC的内角和定理和图形中的角与角间的数量关系来求∠ACE的度数；
（2）过点B作BM⊥DC于点M．由全等三角形△BME与△ACE的对应边相等推知ME＝CEMC．然后根据等腰三角形“三合一”的性质证得DM＝MC，最后由等量代换证得结论．
解:（1）解：∵BD＝BC（已知），
∴∠D＝∠BCD（等边对等角）．
又∵∠DBC＝120°，∠D+∠BCD+∠DBC＝180°（三角形内角和定理），
∴∠D＝∠BCD＝30°．
∵∠ACB＝120°，∠ACB＝∠ACE+∠BCD，
∴∠ACE＝90°；
（2）证明：过点B作BM⊥DC于点M．
在Rt△BMC中，由∠BCD＝30°，得BMBC．
∵BC＝2AC，
∴ACBC，
∴BM＝AC．
在△BME与△ACE中，
∵，
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME＝CEMC．
∵BD＝BC，BM⊥DC，
∴DM＝MC，
∴ME＝CEDM，
∴DE＝3CE．
23．（10分）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED＝DF，求证：BE＝CF．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM＝BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论：
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC＝180°，求证：AB＝CN；
【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD＝CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系．
【思路点拔】（1）①证明△BDE≌△MDF，得到BE＝MF，证明∠FMC＝∠ACB，得到MF＝CF，即可证明结论；
②证明△DEM≌△DFC，得到ME＝CF，证明∠EMD＝∠MBE，得到ME＝BE，即可证明结论；
（2）延长AD，使得AD＝DM，连接CM，证明△ABD≌△MCD，得到∠EAD＝∠CMN，AB＝MC，证明∠CNM＝∠CMN，得到CN＝MC，即可证明结论；
（3）延长ED，使得DM＝ED，连接CM，证明△CDM≌△BDE，得到CM＝BE，∠M＝∠BED，证明∠CNM＝∠M，得到CN＝CM，根据直角三角形的性质得到ABBC，根据BE﹣AE＝ABBC，即可证明结论．
（1）证明：①∵ED＝DF，DM＝BD，∠BDE＝∠MDF，
∴△BDE≌△MDF（SAS），
∴BE＝MF，∠DBE＝∠DMF，
∴180°﹣∠DBE＝180°﹣∠DMF，
即∠ABC＝∠FMC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠FMC＝∠ACB，
∴MF＝CF，
∵BE＝MF，
∴BE＝CF；
②∵EM∥AC，
∴∠EMD＝∠ACB，
∵∠MDE＝∠CDF，ED＝DF，
∴△DEM≌△DFC（AAS），
∴ME＝CF，
∵AB＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠EMD＝∠ACB，∠MBE＝∠ABC，
∴∠EMD＝∠MBE，
∴ME＝BE，
∴BE＝CF；
（2）证明：延长AD，使得AD＝DM，连接CM，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∵AD＝DM，∠ADB＝∠MDC，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴∠EAD＝∠CMN，AB＝MC，
∵∠EAD+∠ANC＝180°，∠ANE+∠ANC＝180°，
∴∠EAD＝∠ANE，
∵∠ANE＝∠CNM，∠EAD＝∠CMN，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CN＝MC，
∵AB＝MC，
∴AB＝CN；
（3）解：CN﹣AEBC，理由如下：
延长ED，使得DM＝ED，连接CM，
∵BD＝CD，∠CDM＝∠BDE，DM＝ED，
∴△CDM≌△BDE（SAS），
∴CM＝BE，∠M＝∠BED，
∴CM∥BE，
∴∠ACM＝180°﹣∠BAC＝90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF∠BAC＝45°，
∵ED∥AF，
∴∠CNM＝∠CAF＝45°，
∴∠M＝180°﹣∠CNM﹣∠ACM＝45°，
∴∠CNM＝∠M，
∴CN＝CM，
∴CN＝BE，
∵∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，
∴ABBC，
∵BE﹣AE＝ABBC，
∴CN﹣AEBC．
24．（12分）在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点A（0，m）和B（n，0），且m，n满足．
（1）求点A、B的坐标；
（2）过点A作AD⊥AB，截取AD＝AB，点D在第一象限内，过点D作DC⊥x轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使△ACM与△ACD全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）解方程组求出m、n，得到点A、B的坐标；
（2）过点D作DH⊥AO于H，证明△DAH≌△ABO，根据全等三角形的性质得到DH＝AO＝4，AH＝BO＝3，DC＝OH＝1，分0≤t＜2、t＞2两种情况，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分△ACD≌△ACM、△ADC≌△CM′A、△ACD≌△CAM′′三种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
解：（1）解方程组，
得，
则点A的坐标为（0，4），点B的坐标的坐标为（﹣3，0）；
（2）如图2，过点D作DH⊥AO于H，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，∠DAH+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH．
在△DAH和△ABO中，
，
∴△DAH≌△ABO（AAS），
∴DH＝AO＝4，AH＝BO＝3，DC＝OH＝1，
当0≤t＜2时，
由题意得：AP＝2t，则OP＝4﹣2t，
∴SOP DH（4﹣2t）×4＝8﹣4t；
当t＞2时，AP＝2t，OP＝2t﹣4，
∴SOP DH（2t﹣4）×4＝4t﹣8，
则S；
（3）∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠DCA＝45°，
当△ACD≌△ACM时，∠ACM＝∠ACD＝45°，CM＝CD＝1，
∴∠DCM＝90°，
∴点M在x轴上．
∵DC＝CM＝1，
∴OM＝3，
∴M（3，0）；
当△ADC≌△CM′A时，∠CAM′＝∠ACD＝45°，
∴点M′在y轴上，
∵AM′＝CD＝1，
∴OM′＝3，
∴M′（0，3）；
当△ACD≌△CAM′′时，∠ACD＝∠CAM′′＝45°，
∴∠OAM′′＝90°，
∴AM′′⊥y轴．
∵AM′′＝CD＝1，
∴M′′（1，4），
综上所述：△ACM与△ACD全等时，点M的坐标为（3，0）或（0，3）或（1，4）．
