广西壮族自治区河池市河池市十校2024-2025学年高二上学期第一次联考（10月）数学试题（含答案）

2024-2025学年广西壮族自治区河池市河池市十校高二上学期第一次联考（10月）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.经过，两点的直线的斜率为( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
4.若直线的斜率为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.经过点，倾斜角为的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.点在直线上，为原点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
8.已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，，则( )
A. B.
C. D. 是共面向量
10.下列说法正确的是( )
A. 直线的斜率为
B. 若直线经过第三象限，则，
C. 直线恒过定点
D. 若，则直线与直线垂直
11.如图，在棱长为的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则( )
A. 平面
B. 若为上的动点，则的最小值为
C. 点到直线的距离为
D. 平面与平面相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知点，，则 ．
13.设，分别是空间中两个不重合的平面，的法向量，且，，则平面，的位置关系是 ．
14.过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
斜率是，且经过点；
斜率为，在轴上的截距为；
经过，两点．
16.本小题分
如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，求：

向量，，的坐标；
异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知直线，，其中为实数，
当时，求直线，之间的距离；
当时，求过直线，的交点，且平行于直线的直线方程．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．

求证：平面；
求二面角的余弦值；
求直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
如图，平面图形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，点是中点，现沿着将其折成四棱锥如图．
当二面角为直二面角时，求点到平面的距离；
在的条件下，设点为线段上任意一点不与，重合，求二面角的余弦值的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.平行
14.或
15.解：由直线的点斜式方程可得直线方程为，
即；
由直线的斜截式方程可得直线方程为，
即；
由题意，直线的斜率为，
故由直线的点斜式方程可得直线方程为，
即．

16.解：依题意，
，，
所以．
由知，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．

17.解：由题可知，，解得，
所以，
此时直线，之间的距离为．
由题可知，，联立，解得
所以与的交点坐标为．
设所求直线为，所以有，得，
所求直线为．

18.解：

取的中点为，又由于为棱的中点，则在正方体中可得：
则四边形是平行四边形，所以；
又由于为棱的中点，又可得
则四边形是平行四边形，所以；
由平行的传递性可知：，
又因为平面，平面，
所以平面；

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，在棱长为的正方体中，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，所以，
由于平面与轴垂直，则平面的法向量可取，
所以，
由图可看出二面角一定是锐角，所以可设它为，
则，
所以二面角的余弦值为；
由得，平面的法向量可取，
则，
设直线与平面所成角为，则，
所以
即直线与平面所成角的余弦值为．

19.解：，，．
点是中点，，，
结合折叠前后图形的关系可知，
二面角为直二面角，则侧面底面，
侧面底面，
平面，
易知，，两两垂直．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，取，得，，
则为平面的一个法向量，
则点到平面的距离．
设点满足
，，
，
．
设平面的法向量为，
又，，
取，则，，
取为平面的一个法向量．
易知平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为
，
由，所以，则，
所以二面角的余弦值的取值范围为．

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