2024-2025学年四川省自贡市第一中学校高二上学期10月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年四川省自贡市第一中学校高二上学期10月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 415.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-28 15:20:04 | ||
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文档简介
2024-2025学年四川省自贡市第一中学校高二上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，直线的斜率分别为，则( )
A. B. C. D.
2.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为，那么等于( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，且，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
4.“直线与互相垂直”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，在四面体中，是的中点，，设，则( )
A. B. C. D.
6.已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 两两共面，但不共面
C. 一定存在，，使得
D. 一定能构成空间的一个基底
7.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点到直线的距离为
A. B. C. D.
8.已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是( )
A. 直线与直线所成的角为
B. 平面
C. 点到平面的距离为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
10.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
11.给出以下命题，其中错误的是( )
A. 平面的法向量分别为，则
B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
D. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，则 ．
13.已知直线分别与轴、轴相交于，两点，若动点在线段上，则的最大值为 ．
14.如图，在长方体中，，，点在棱上
若二面角的大小为，则的坐标为 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，点满足，且，试求点的坐标．
16.本小题分
根据下列条件，分别写出直线的方程：
斜率为，在轴上的截距为．
已知平面内两点，求过且与直线平行的直线的方程．
求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程．
17.本小题分
在棱长为的正方体中，求
直线与平面所成的角；
求平面与平面的距离；
求三棱锥外接球的表面积；
18.本小题分
如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．
证明：平面；
若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，．
证明：平面平面；
若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上满足，求二面角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设点的坐标为，由已知得，直线的斜率，
直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，
由，且，得，解得：．
所以的坐标为．
16.解：因为直线的斜率为，在轴上的截距为，
所以直线的斜截式方程为，
化简可得；
因为，，所以，
因为所求直线与直线平行，所以所求直线斜率为，
又因为直线过，
所以所求直线的方程为：，即．
由题意，当直线不过原点时，设所求直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为，即，
综上可得，所求直线方程为或．
17.解：
建立如图所示，以为坐标原点，
、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，
根据题意有：，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则有
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则有，又因为，
所以
连接、、、、、，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面；
因为，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则
令，可得，
则为平面的一个法向量，
所以平面与平面的距离．
根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，则，
所以，所以三棱锥的外接球的表面积为．
18.解：如图，连接，由题意知为的直径，所以，
因为是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面；
由知两两相互垂直，
如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
由知平面，故平面的法向量可取为．
设平面的法向量为，由，，
则有，可取
设二面角的平面角为，
则，
由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为．
19.解：证明：由题知且，所以为等边三角形，
则，
又由四边形为梯形，，则，
在中，，
所以，即，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
若为中点，，则，
由得平面平面，平面平面，平面，
则平面，
连接，则，且平面，所以，，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，分别为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
设且，则，由平面的一个法向量为，
可得，解得，
因为，所以，可得，
所以，，，
设是平面的一个法向量，则
取，可得，所以
则，
由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，直线的斜率分别为，则( )
A. B. C. D.
2.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为，那么等于( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，且，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
4.“直线与互相垂直”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，在四面体中，是的中点，，设，则( )
A. B. C. D.
6.已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 两两共面，但不共面
C. 一定存在，，使得
D. 一定能构成空间的一个基底
7.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点到直线的距离为
A. B. C. D.
8.已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是( )
A. 直线与直线所成的角为
B. 平面
C. 点到平面的距离为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
10.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
11.给出以下命题，其中错误的是( )
A. 平面的法向量分别为，则
B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
D. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，则 ．
13.已知直线分别与轴、轴相交于，两点，若动点在线段上，则的最大值为 ．
14.如图，在长方体中，，，点在棱上
若二面角的大小为，则的坐标为 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，点满足，且，试求点的坐标．
16.本小题分
根据下列条件，分别写出直线的方程：
斜率为，在轴上的截距为．
已知平面内两点，求过且与直线平行的直线的方程．
求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程．
17.本小题分
在棱长为的正方体中，求
直线与平面所成的角；
求平面与平面的距离；
求三棱锥外接球的表面积；
18.本小题分
如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．
证明：平面；
若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，．
证明：平面平面；
若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上满足，求二面角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设点的坐标为，由已知得，直线的斜率，
直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，
由，且，得，解得：．
所以的坐标为．
16.解：因为直线的斜率为，在轴上的截距为，
所以直线的斜截式方程为，
化简可得；
因为，，所以，
因为所求直线与直线平行，所以所求直线斜率为，
又因为直线过，
所以所求直线的方程为：，即．
由题意，当直线不过原点时，设所求直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为，即，
综上可得，所求直线方程为或．
17.解：
建立如图所示，以为坐标原点，
、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，
根据题意有：，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则有
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则有，又因为，
所以
连接、、、、、，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面；
因为，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则
令，可得，
则为平面的一个法向量，
所以平面与平面的距离．
根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，则，
所以，所以三棱锥的外接球的表面积为．
18.解：如图，连接，由题意知为的直径，所以，
因为是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面；
由知两两相互垂直，
如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
由知平面，故平面的法向量可取为．
设平面的法向量为，由，，
则有，可取
设二面角的平面角为，
则，
由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为．
19.解：证明：由题知且，所以为等边三角形，
则，
又由四边形为梯形，，则，
在中，，
所以，即，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
若为中点，，则，
由得平面平面，平面平面，平面，
则平面，
连接，则，且平面，所以，，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，分别为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
设且，则，由平面的一个法向量为，
可得，解得，
因为，所以，可得，
所以，，，
设是平面的一个法向量，则
取，可得，所以
则，
由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
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