2024-2025学年辽宁省抚顺一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省抚顺一中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，则点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.设直线方向向量，平面的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.设向量、、不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在圆锥中，点，在底面圆周上，点，分别是母线，的中点，，记，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知正方体的棱长为，且满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：
当点是中点时，直线平面；
直线到平面的距离是；
存在点，使得；
面积的最小值是．
其中所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列四个命题中，错误的有( )
A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 一条直线的斜率为，则这条直线的倾斜角为
D. 直线在轴上的截距为
10.下列说法正确的是( )
A. 空间中任意两非零向量，共面
B. 直线的方向向量是唯一确定的
C. 若，则，，，四点共面
D. 在四面体中，，为，中点，为中点，则
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______．
13.已知，，若直线：与线段有公共点，则的取值范围是______．
14.如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点的坐标分别为，，，且，．
求向量与夹角的余弦值；
若与互相垂直，求实数的值．
16.本小题分
求满足下列条件的直线方程．
经过点，且斜率等于直线斜率的倍；
过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为．
17.本小题分
如图，已知为圆锥底面的直径，点在圆锥底面的圆周上，，，平分，是上一点，且平面平面．
求证：；
求二面角的平面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面．
求；
若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，是的中点．
求证：平面平面；
若点在线段上，异面直线和所成角的余弦值为，求面与面夹角的余弦值．
参考答案
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15.解：根据题意，，，，
则，，
则，，，
故，；
根据题意，，，
若与互相垂直，则，
解可得：；
故．
16.解：直线可化为，斜率为，
所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
设直线的方程为，
，解得，
故所求的直线方程为，
即或．
17.证明：由已知可得是等边三角形，
又平分，，
平面平面，且交线为，平面，
平面，；
解：在中，由，，
得，，
在中，，，可得，
又，
，
则，，
．
以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由，取，得；
由，取，得．
．
由图可知，二面角为钝角，
二面角的平面角的余弦值为．
18.解：由题意得：连接，交于点，过做，交于点，
如图所示：由于，平面，平面，
所以平面，又平面，，，平面，
所以平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，
故，
又，所以，
即，
由于，
所以≌，则，所以四边形为正方形，所以，
所以在中，，所以，所以，
所以；
在和中，由可得：
，
满足，所以，又因为，所以，
又，所以平面，满足，，两两垂直，
故以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
于是有．
设平面的法向量为，
则，即，
取，
又，
故所求角的正弦值为．
19.解：证明：因为，，，
由余弦定理知，
解之得，
即为直角三角形，所以，
又平面平面，平面平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
以为原点，以所在直线为轴，建系如图所示，
则，，，，，
则，，，
，，
设，
则，
设异面直线和所成角为，
则，
得此时，，
设面的一个法向量为，
则，有，
令，则，，取 ，
设面的一个法向量为，
，有，
令，则，，取，
设面与面的夹角为，
则，
即面与面夹角的余弦值为．
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