上海市青浦区朱家角中学2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市青浦区朱家角中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设满足，则集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.如图，是全集，、、是的子集，则阴影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知，，，那么下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
4.在下列选项中，满足与等价的是( )
A. 已知实数、，：和：，
B. 已知实数、，：和：
C. 已知实数，：和：
D. 已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为和，：和：
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.用描述法表示被除余的正整数组成的集合为______．
6.用列举法表示方程组的解集为______．
7.命题“存在，使得”的否定是______．
8.已知方程的两根为、，则 ______．
9.关于的不等式的解集为，则实数______．
10.已知全集，则 ______．
11.已知等式恒成立，则常数______．
12.已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是______．
13.已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是______．
14.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______．
15.用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则______请用列举法表示．
16.设非空集合满足：当时，有给出如下四个命题：
若，则；
若，则；
若，则．
若，则或．
其中正确命题的是______．
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
当时，求；
当时，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知、，比较与的大小；
已知实数、满足，证明：、至少有一个不小于．
19.本小题分
已知集合，集合．
求集合、；
当时有且仅有一个整数解，求实数的取值范围．
20.本小题分
命题甲：关于的不等式成立，命题乙：关于的方程有两个不相等的正实数根，设命题甲、命题乙为真命题时实数的取值分别组成集合、．
求集合、；
若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围．
21.本小题分
记有理数集的非空子集具有以下性质：：若，，则；存在非零有理数，且每一个不在中的非零有理数都可写成的形式，其中．
求证：；
若，，求证：：
若是非零有理数，且，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.，使得
8.
9.
10.或
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：集合，．
时，，或，
故；
，可得，
时，，解得；
时，，解得，
的取值范围为，．
18.解：，，
，
；
证明：假设，都小于，则，与矛盾，
所以假设不成立，原结论成立．
19.解：因为，
所以且，解得或，
则或，
又方程的两根为，，
当时，，则，解得，所以；
当时，，则，解得，所以；
当时，，则，解得，所以；
综上，当时，；
当时，；
当时，；
由可得，
当时，，则，不符合题意；
当时，，要满足时有且仅有一个整数解，
则或，解得或，
当时，，则，不符合题意，
综上，实数的取值范围为或
20.解：若命题甲：关于的不等式成立为真命题，
则，解得，则．
若命题乙：关于的方程有两个不相等的正实数根为真，
则，解得且，得且．
若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，
则甲真乙假或甲假乙真．
可得，或，
解得：或或．
实数的取值范围是．
21.证明：若，令，
则，故，
由的结论，，
令，，则，
若，令，，则；
，则存在且使得，其中，
于是，
假设，则可设，，
则，矛盾，
所以，
由，，
可得．
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