湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省株洲二中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合用列举法表示为( )
A. B. C. D.
2.下列命题的否定为真命题的是( )
A. ，，使得方程有整数解
B. ，
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. ，方程是一元二次方程
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
5.已知，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足对任意，，当时都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有以下判断，其中是正确判断的有( )
A. 与表示同一函数
B. 函数的图象与直线的交点最多有个
C. 与是同一函数
D. 函数的定义域为，则函数的定义域为
10.九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形黄和两个小直角三角形朱、青将三种颜色的图形进行重组，得到如图所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形的对角线，过点作于点，则下列推理正确的是( )
A. 由题图和题图面积相等得
B. 由可得
C. 由可得
D. 由可得
11.定义在上的函数满足下列条件：；当时，，则( )
A. B. 当时，
C. D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知，，，则的最大值是______．
14.如图，在等边三角形中，动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列三个结论：
函数的最大值为；
函数的图象的对称轴方程为；
关于的方程最多有个实数根．
其中，所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
证明：函数在区间上单调递减；
当时，求函数最小值．
16.本小题分
已知集合，．
求证：至少有个子集的充要条件是，或．
若“，”为假命题，求的取值范围．
17.本小题分
一个生产公司投资生产线万元，每万元可创造利润万元，该公司通过引进先进技术，在生产线投资减少了万元，且每万元的利润提高了；若将少用的万元全部投入生产线，每万元创造的利润为万元，其中．
若技术改进后生产线的利润不低于原来生产线的利润，求的取值范围；
若生产线的利润始终不高于技术改进后生产线的利润，求的最大值．
18.本小题分
已知函数，．
当，时，解关于的不等式；
当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：．
19.本小题分
已知整数，，集合，，，，，，对于中的任意两个元素，，定义与之间的距离为．
若，，，且，则称，，，是中的一个等距序列．
Ⅰ若，，，，判断，，，是否是中的一个等距序列？
Ⅱ设，，是中的等距序列，求证：为偶数；
Ⅲ设，，，是中的等距序列，且，，求的最小值．
参考答案
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15.解：证明：函数函数，
设，
则，
当时，，，，则，即，
所以函数在区间上单调递减．
当且仅当时等号成立，
故函数的最小值为．
16.解：证明：集合，．
充分性：若，或，则至少有个子集．
当，或时，，方程有解，
集合至少有个元素，至少有个子集，充分性得证；
必要性：若至少有个子集，则或．
若至少有个子集，则至少有个元素，
方程有解，，解得或，
必要性得证．
综上，至少有个子集的充要条件是或．
由已知，集合，所以集合．
“，”为假命题，．
当时，，解得；
当时，要使，则，，且，，
即，
解得或或或．
综上，实数的取值范围为．
17.解：由题意得：分
整理得：，分
故 分
由题意知，生产线的利润为万元，分
技术改进后，生产生的利润为万元，分
则恒成立，分
， 分
，当且仅当时等号成立，分
，
的最大值为 分
18.解：当，时，即解不等式，
可得，
当时，成立，
当时，得，即解，
解得；
当且时，得，解得，
综上所述，不等式的解集为；
当时，可得，，
对任意，关于的不等式恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
即当时，的最大值为，所以，
所以实数的取值范围；
证明：由，可得，
可得，
因为点，均为函数与函数图象的公共点，
可得，
，两式相减得
，
因为，所以，
可得，
令，则，
整理得，解得，
所以．
19.解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
所以，，，不是中的一个等距序列．
Ⅱ证明：设，，，
把，，分别称作，，的第一个，第二个，第三个坐标，
若，则，中有个对应坐标不相同，
例如当时，说明，中有个对应坐标不相同，
其中，，就是符合的一种情况．
当时，，所以是偶数；
当时，则，中有个对应坐标不相同，并且，中有个对应坐标不相同，
所以，中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，
当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数；
当时，，中有个对应坐标不相同，并且，中有个对应坐标不相同，
所以，中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，
当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数；
当时，，中有个对应坐标不相同，并且，中有个对应坐标不相同，
所以，中有个对应坐标不相同，即则，满足为偶数，
综上，，，是中的等距序列，则为偶数．
Ⅲ根据第二问，可得，则说明，中有个对应坐标不相同，
由变换到需改变个坐标，保留个不变，又从变成经过奇数次变化，
所以从变到，至少经过次变换，每个坐标变换次，
故的最小值为．
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