辽宁省沈阳市部分学校2025届高三上学期第二次联合教学质量检测数学试题（含答案）

辽宁省沈阳市部分学校2025届高三上学期第二次联合教学质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，，且与垂直，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则下列结论正确的是( )
A. B. 的虚部是
C. 在复平面对应的点位于第三象限 D.
4.刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为则小明每个月所要还款的钱数为 元．
A. B.
C. D.
5.设，为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，则
C. 若，且，则，独立事件
D. 若，是独立事件，，则
6.已知平行六面体的各棱长均为，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知关于的方程在区间上有解，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于的不等式的解集为，则( )
A. B. 的最小值为
C. 的解集为 D. 的最小值为
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是周期为的奇函数 B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增 D. 的值域是
11.已知四面体的所有棱长都为分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是( )
A. 的长为 B. 到平面的距离为
C. 当线段最长时，的最大值为 D. 直线与直线所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如下图，正方形 的边长为，依次将 分为的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为，为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是 ．
13.与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ．
14.某电视台举办“庆奥运”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从跳水、乒乓球、游泳三类问题中选择一类该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰已知选手甲能正确回答、两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．为使取得复赛资格的概率最大，在“”、“”和“”三种回答顺序中，选手甲应选择
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
若，，求的面积；
求证：；
当取最小值时，求．
16.本小题分
已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为．
求双曲线的方程；
若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值．
17.本小题分
已知函数，数列满足，，
求数列的通项公式；
设，求；
对于中的，若存在，使得成立，求实数的最大值．
18.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模，如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的余弦值；
若为上一点，且满足，求．
19.本小题分
已知函数，，其中．
若在处取得极值，求的值；
讨论函数的单调性：
若对任意，当时，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.
由题意，，则，，则，
所以，，
所以的面积．
由，可得，即，
由余弦定理得：，
化简得：，即．
由，可得
，又，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时．

16.
由题意知，解得
则，
所以双曲线的方程为．
记双曲线的左焦点为，则，
可得，
当三点共线时，最小，
且最小值为故的最小值为．

17.
因为函数，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则有；
由可知：，
所以
由可知：，
所以由，
因为，
所以由，
设，
由，
由二次函数性质可知：当时，函数是减函数，
，，
于是有时，，
所以，，因此，
存在，使得成立，则有，
因此实数的最大值．

18.解：因为底面为矩形，底面，
所以，，
又底面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为直线与所成的角，即，
设，则，，
在中，
又，
所以，解得负值已舍去，
所以；
在平面内过点作交的延长线于点，连接，
因为底面，底面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为为的中点，
所以，，
所以，
设二面角的平面角为，则，
所以，
即二面角的余弦值为；
依题意，，又，
所以，，
又，
所以，
又，、平面，
所以平面，
在平面内过点作，垂足为，
由平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，即，
所以．

19.
由题意，
由已知得，即，解得，
此时，
易知在区间上单调递减，在上单调递增，
则函数在处取得极小值，因此．
由题意，
其中
当，即，在上单调递减，在上单调递增．
当，即，则在上单调递减．
综上，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，由可知当时，函数取得最小值，
即，
由，可得在上单调递增，
即当时，，
对任意，当时，不等式恒成立，
则必有，即，解得，
所以的取值范围是．

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