湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷（含答案）

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期十月月度检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. ，
C. D.
2.已知函数，，则“”是“是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数图像的一条对称轴为，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的图象的对称轴可以为 ．
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的奇函数，且对任意实数都有，若，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 或 D. 线段中点的横坐标为
11.已知是曲线上的一点则下列选项中正确的是( )
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 对任意，直线与曲线有唯一交点
C. 对任意，恒有
D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，且，则 ．
13.海上某货轮在处看灯塔，在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处，货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为 海里．
14.若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调减区间
求函数在上的最大值与最小值．
16.本小题分
已知，函数在点处的切线过点．
求实数的值
证明：在上单调递增
若对，恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
在中，设内角，，所对的边分别为．
，，是否存在正整数，使得，且为钝角三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由．
若为的中点，，分别在线段上，且，，求面积的最小值及此时对应的的值．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，求面积的最大值．
19.本小题分
正整数集，其中，将集合拆分成个三元子集，这个集合两两没有公共元素。若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合是“三元可拆集”．
若，，判断集合是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由．
若，，证明：集合不是“三元可拆集”．
若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，请求出的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由．
参考答案
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解：
，
令，解得，
所以函数的单调减区间为；
解：因为，所以，
所以，
于是 ，所以，
当且仅当时，取最小值，
当且仅当，即时，取最大值．

16.解：的定义域为，
，故，
又，所以在点处的切线方程为，
将点代入得，解得．
证明：由知，
则，
令，
则，
当时，，单调递减
当时，，单调递增，
所以，
所以在上单调递增．
对，恒成立，
即对，恒成立，
当时，上式显然恒成立
当时，上式转化为恒成立，
设，则，
所以在上单调递增
所以，故，
所以实数的取值范围为．
17.
假设存在正整数满足题设．
为钝角三角形，因为，所以为钝角，
根据题设，，，由余弦定理，
所以，得，解得．
因为，所以或，
当时，不存在，故存在满足题设．
所以
如图，因为，所以．
在中，因为，所以
在中，因为，所以．
所以，
设，，
所以
化简可得：
所以
当时，取得最小值．

18.
由题意，因为，为直角三角形，所以．
又，所以，所以椭圆的标准方程为．
由知，，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立消去得，，
所以，即．
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或．
由题意，，
设直线的方程为，，
则直线的方程为，，
联立消去得，
所以
所以
所以，
同理联立消去得，
所以
所以
所以，
即的中点．
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为．

19.解：是“三元可拆集”，因为，可拆成、、或、，；
证明：对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而，中所有元素和为，与和为偶数矛盾，所以集合不是“三元可拆集”；
解：有个元素，可以拆成个三元子集，
将这个三元子集中的最大的数依次记为，，，，，
则；
另一方面，中所有元素和为，
所以，
所以，解得，即，
当时，，可拆为、、、、、、、、、、、、、、、拆法不唯一，
综上所述，的最大值是．
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