河北省石家庄市第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题（含答案）

河北省石家庄一中2025届高三上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知是单位向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有三个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 随机变量，且，则
B. 随机变量服从两点分布，且，则
C. 对，两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对，两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强
D. 在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为
10.已知定义在上的连续函数满足，，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是( )
A. B. 是偶函数
C. D. 的图象关于对称
11.已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点包含边界，且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是( )
A. 球的体积为
B. 点的轨迹长度为
C. 异面直线与所成角的余弦值取值范围为
D. 三棱锥外接球与球内切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，一只蚂蚁位于点处，去搬运位于处的糖块，的最短路线有 条．
13.函数，若实数满足，则的取值范围为 ．
14.已知抛物线的焦点为，点异于原点在抛物线上，过作的切线，，垂足为，直线与直线交于点，点，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，，，分别是角，，的对边，
求
若，求的面积取值范围．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知焦距为的椭圆的右焦点为，右顶点为，过作直线与椭圆交于、两点异于点，当轴时，．
求椭圆的方程
证明：是钝角．
18.本小题分
已知函数的最小值是，．
求的值；
当时，恒成立，求整数的最大值．
19.本小题分
若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”．
判断数集是否为“数集”；
已知数集是“数集”，证明：
；
．
已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.或
15.解：，，，
结合正弦定理可得，
又为三角形的内角，则，
，
即，
即，
又易知，
；
由正弦定理得，
，，
，
为锐角三角形，
，
，
．
16.
证明：在平行四边形中，因为，
所以四边形为菱形，故，
又因为，故为等边三角形，
故．
在中，，，
所以，故
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，因此．
又因为，平面，
所以平面；
解：取的中点，连结，因为为等边三角形，
所以，
因为，所以，
因为平面，平面，
所以，
故两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
，令，得；
设平面的法向量为，则
，令，得．
设平面与平面所成角为，
则．

17.解：由题意得，，
当轴时，令，则，
，，
则，解得，，
椭圆的方程为；
证明：当直线斜率为时，或与重合，不成立，
当直线斜率不为时，设直线，
联立，
恒成立，
设，，
则，，
，，
，
是钝角或平角舍去．
18.
因为，所以．
由；由．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由．
设，则问题转化为在上的最小值大于．
因为，．
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立；
当时，由；由．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
设，则在上恒成立．
所以在上单调递减．
又，．
由为整数，所以的最大值为．

19.
取，所以此时，，
所以数集不是为“数集”．
由题可知，当时，此时有，所以，
又因为，故；
令，显然，故，
因为，共项均属于数集，
又因为共项均属于数集，
所以有，
所以可以得到，
利用倒序相加可知，
故，证毕．
有可知时，，可得，
所以，两式求差可得，
因为，
所以
所以构成了以首项，为公差的等差数列；
同理具有“数集”性质的元素是首项，为公差的等差数列；
所以，
所以，
所以
，证毕．

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