江西省赣州市瑞金第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（含答案）

江西省赣州市瑞金第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设等差数列的前项和为，且公差不为，若，， 成等比数列，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量为单位向量，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知，且的图象的对称中心是，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，圆是圆心为的单位圆，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交圆于点，绕原点将轴的正半轴顺时针旋转角交圆于点，若点的纵坐标为，，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
7.若函数在上单调，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，，角、、对边分别为，，，则( )
A.
B.
C.
D. 若上有一动点，则最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数在复平面内所对应的点分别为，且点均在以坐标原点为圆心为半径的圆上，点在第四象限，则( )
A. 点在第一象限 B. C. D.
10.已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是( )
A. 弦的中点轨迹是圆
B. 直线的交点在定圆上
C. 线段的最小值为
D. 的最大值为
11.某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时( )
A. 甲队积分为分的 概率为
B. 四支球队的积分总和可能为分
C. 甲队胜场且乙队胜场的概率为
D. 甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的取值范围为 ．
13. ．
14.用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台根据祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，推导出球台的体积，其中，分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，是两个平行平面之间的距离已知圆台的上、下底面的圆周都在球的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球所得的球台的体积比圆台的体积大，则球的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
求函数的解析式，并求在区间上的值域；
若，且函数在区间上单调，求的取值范围．
16.本小题分
中国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图，、、分别是正方形的三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，就得到了一个“刍甍”，如图．
若是四边形对角线的交点，求证：平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
为圆周率，为自然对数的底数．
求函数的单调区间；
求，，，，，这个数中的最大数与最小数；
将，，，，，这个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．
求双曲线的方程
设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
若，求直线的斜率；
求证：是定值．
19.本小题分
一个航空航天的兴趣小组，随机对学校名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为．
请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有艘“运输船”和艘“转移塔”游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了次，记左边剩余“转移塔”的艘数为，左边恰有艘“转移塔”的概率为，恰有艘“转移塔”的概率为，求
求的分布列；
求；
试判断是否为定值，并加以证明．
附：，．
参考答案
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15.解：
由向量，
则，
由函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，则，
于是，当时，，
当，即时，，当，即时，，
所以，在区间上的值域为．
由知，
令，解得，
即函数的单调区间为，而函数在区间上单调，
因此，即
解得，显然，且，
解得，则或，当时，；当时，，
所以实数的取值范围．

16.解：
取线段中点，连接、，如图，
由图可知，四边形是矩形，，所以是线段的中点，
且，
又且，
且
四边形是平行四边形，则
由于平面，平面，
平面．
由图，，，折起后在图中仍有，
即为二面角的平面角．，
以为坐标原点，，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，如图，
设，则、，，
，，，
设平面的一个法向量，
由，得，取，则，
于是平面的一个法向量，
，
直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：函数的定义域为，因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
故函数的单调增区间为，单调减区间为．
因为，所以，，
即，，
因为函数在定义域上单调递增，
所以，
故这个数的最大数在与之中，最小数在与之中，
由及的结论得，即，
由得，所以，
由得，所以，
综上，个数中的最大数为，最小数为．
由知，，又由知，，即，
故只需比较与和与的大小，
由知，当时，，即，
在上式中，令，又，则，即得，
由得，，
即，亦即，所以，
又由得，，即，所以，
综上所述，，
即个数从小到大的顺序为．

18.解：
将点和代入双曲线方程得：
，结合，化简得：，解得，
双曲线的方程为．
设关于原点对称点记为，
则．
因为，所以，
又因为，所以，即，
故三点共线．
又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故，
所以．
由题意知，直线斜率一定存在，
设的直线方程为，代入双曲线方程整理得：
，故，
直线与双曲线上支有两个交点，所以，解得．
由弦长公式得
，
则，且由图可知，即，
代入解得．
因为，由相似三角形得
所以
．
因为．
所以，故为定值．

19.解：
由题意得：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
则的观测值为，
所以有的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联
(ⅰ)由题可知，的可能取值为，，由相互独立事件概率乘法公式可知：
；；
故的分布列如下表：
(ⅱ)由全概率公式可知：
即：，所以，所以，
又，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即．
(ⅲ)可判断为定值
由全概率公式可得：
即：，又，
所以，
所以
又，
所以，
所以
所以
可得的分布列
所以
为定值

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