广东省潮州市饶平县2024-2025学年高三（上）第二次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省潮州市饶平县高三（上）第二次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合和的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 无穷多个
3.( )
A. B. C. D.
4.两个粒子，从同一发射原发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是( )
A. B. C. D.
7.数学源于生活又服务于生活，某中学“数学与生活”兴趣小组成员在研学过程中，发现研学地的河对岸有一古塔如图，于是提出如何利用数学知识解决塔高的问题其中同学甲提出如下思路：选取与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高约为取
A. B. C. D.
8.设函数，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校共有名男生，为了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了名男生体重情况根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则( )
A. 样本的众数为
B. 样本的分位数为
C. 样本的平均值为
D. 该校男生中体重低于的学生大约为人
10.如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是( )
A. B. 是函数的一个对称中心
C. D. 函数在区间上是减函数
11.已知圆：及点，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 点在圆外
C. 若点在圆上，则直线的斜率为
D. 若是圆上任一点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的值为______．
13.满足定义域为且值域为的函数共有______个
14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数则函数的对称中心是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记是公差不为的等差数列的前项和，，且，，成等比数列．
求和；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，是圆的直径，平面面，且．
求证：平面；
若，，，求直线与面所成角的正弦值．
17.本小题分
中国数学奥林匹克竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛．
根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过分的学生可进入决赛若共有名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数结果取整数；
决赛试题共设置了个题目，其中单选题题，每题分，每题有个正确选项，答对的分，答错得分；多选题题，每题分，每题有多个正确选项，全部选对得分，部分选对得分，有选错得分假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得分、分、分的概率均分别为求甲同学决赛成绩的数学期望．
附：若，则，，
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为．
求椭圆的方程；
设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点．
求与的面积之比；
证明：为定值．
19.本小题分
如果函数的导数，可记为若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积其中．
若，且，求；
当时，证明：；
证明：．
参考答案
1.
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5.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：设已知数列的公差为，因为，所以，
因为，，成等比数列，所以，
得，即，
所以或，显然不为，所以，
所以，．
由知，又，
，
，
所以．
16.解：证明：因为平面面，且，
又平面面，平面，
所以面，又因为平面，
所以，又是圆的直径，所以，
又，，平面，
所以平面；
过作，以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则
而，
所以直线与面所成角的正弦值为：
，．
17.解：由于，故，，
故，
所以，
故进入决赛的人数为；
甲同学每个单选题得分的数学期望分，
甲同学每个多选题得分的数学期望分，
因此甲同学的成绩的数学期望为分．
18.解：因为面积的最大值为，
所以，即，
因为椭圆的离心率为，所以，
又，
所以，，，
故椭圆的方程为．
解：由题意知，，，
所以直线的斜率为，
不妨设直线的方程为，，，
令，则，所以，
联立，得，
所以，，
设点到直线的距离为，
则，
故与的面积之比为．
证明：
，为定值．
19.解：因为，所以设，
又，代入上式可得，解得，
所以；
证明：因为，
所以，
设，，则恒成立，
所以在上单调递增，，所以．
证明：令，当，，
在上单调递减，，时恒成立；
知当时，当且仅当时取等．
，，
，，，
，
累加得，
即，
得证．
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