上海市浦东新区立信会计金融学院附属高行中学2024-2025学年高三（上）第一次质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区立信会计金融学院附属高行中学高三（上）第一次质检数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格减函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，不平行，则与可能垂直于同一平面
B. 若，平行于同一平面，则与不可能异面
C. 若，不平行，则在内存在与平行的直线
D. 若，垂直于同一平面，则与一定平行
4.设函数，若对于任意，在区间上总存在确定的，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集，集合，则______．
6.在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则 ．
7.函数的最小正周期是______．
8.记为等差数列的前项和若，则公差 ______．
9.直线与直线的夹角大小为______．
10.已知，若关于的方程解集为，则的取值范围为______．
11.在一次射击训练中，某运动员次射击的环数依次是，，，，，则该组数据的方差______．
12.已知函数，则在点处的切线的倾斜角为______．
13.如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______只需写出一个正确的条件
14.将半径为的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥简的高为______．
15.在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______．
16.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
在三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知．
求角的大小；
若，三角形的面积为，求三角形的周长．
19.本小题分
某高中随机抽取名学生，测得他们的身高单位：，按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
求身高不低于的学生人数；
将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取人．
求从这三个组分别抽取的学生人数；
若要从名学生中抽取人，求组中至少有人被抽中的概率．
20.本小题分
近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”现计划在一块边长为米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”如图所示，以中点为圆心，为半径的扇形草坪区，点在弧上不与端点重合，、弧、、、、为步行道，其中与垂直，与垂直．设．
如果点位于弧的中点，求三条步行道、、的总长度；
“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用．为此街道允许在步行道、、开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米万元、万元及万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？精确到万元
21.本小题分
如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上．
求线段的长；
若线段的中点在轴上，求的面积；
是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面C.
由知，，两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
由已知，，
则，，，，，
设，
所以，
因为，所以，即，
所以平面的一个法向量为．
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则
所以直线与平面所成角的大小为．
18.解：由正弦定理得，所以，
所以，整理得，
因为，所以，因此，所以，
所以；
由的面积为，得，解得，
又，则，，
由余弦定理得，解得，，
所以的周长为．
19.解：由频率分布直方图可知
，所以．
身高在以上的学生人数为人．
，，三组的人数分别为人，人，人．
因此应该从，，三组中每组各抽取人，人，人．
设组的位同学为，，，组的位同学为，，组的位同学为，则从名学生中抽取人有种可能：
，，，，，，，
，，，，，，
其中组的位学生至少有人被抽中有种可能：，，，，
，，，，
所以组中至少有人被抽中的概率为．
20.解：由题意得，
点位于弧的中点，点位于的角平分线上，
，
，
，，为等边三角形，
，三条步行道、、的总长度为：
米．
，
，
，
，
由余弦定理得：
，
，
设三条步行道每年能产生的经济总效益，
则，
当，即时，取最大值，最大值为．
三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为万元．
21.解：依题意得：，由轴，得：，
代入椭圆方程得：，
所以线段的长为分
显然，线段的中点在轴上，则，即轴，
，，分
所以分
假设存在以，为邻边的矩形，使得点在椭圆上，显然，设，，
则，，
因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，
代入计算得，
由题意知，在椭圆上及，
代入，得，即，分
将代入并化简得，，
再结合，得，即或．
若，则；分
若，则联立，得，
消去，得，解得，
由于，故分
综上，存在满足题意的点，其纵坐标为或分
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