24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时） 课件（共35张PPT）——初中数学人教版（2012）九年级上册

(共35张PPT)
24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)
人教版（2012）九年级上册
学习目录
Part One
壹
学习目录
了解切线长的定义及切线长定理
1
会运用切线长定理进行计算与证明
2
认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质
3
探索新知
Part Two
贰
知识回顾
还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？
∟
o
P
l
在同一个平面内，有一点P和☉O，过点P能否作☉O的切线？如果能，可以作几条切线？如果不能，说明理由.
知识回顾
点P和⊙O的位置关系
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
知识回顾
1. 点P在⊙O内
过点P 的直线都与圆相交，所以不存在过P点的直线与⊙O相切.
知识回顾
2. 点P在⊙O上
作法：
①连接OP；
②过P点作已知线段OP的垂线l，
直线l即为⊙O的切线.
作图依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
知识回顾
3. 点P在⊙O外
作法：
连接OP,
①作线段OP的中点M；
②作以M为圆心，OM长为半径的⊙M ，与⊙O交于A，B两点；
③作直线PA，PB，则直线PA，PB即
为⊙O的两条切线.
作图依据？
知识回顾
3. 点P在⊙O外
作图依据：
①直径所对的圆周角是直角；
②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
③两点确定一条直线.
知识回顾
总结：
点P在⊙O内，过P点，不存在圆的切线；
点P在⊙O上，过P点，可以作圆的一条切线；
点P在⊙O外，过P点，可以作圆的两条切线.
探索新知 知识点1 切线长定理及其应用
A
P
O
B
如图，线段PA，PB的长就是点P到☉O的切线长．
切线长：经过圆外一点的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
切线是直线，不能度量.
切线长是圆外一点和切点之间的线段的长，可以度量．
1
2
探索新知 知识点1 切线长定理及其应用
探究
如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B. 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
PA=PB
∠APO=∠BPO
你能证明你的结论吗？
猜想：
探索新知 知识点1 切线长定理及其应用
探究
如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B. 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
证明：连接OA，OB
∵PA和PB是☉O 的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌ Rt△BOP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
∟
∟
思考
你能用简洁的语言把这一结论总结出来吗？
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号表示：
∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B，
∴ PA = PB ，
∠OPA=∠OPB.
探索新知 知识点1 切线长定理及其应用
思考
若连接两切点 A，B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出什么新的结论 请给出证明.
探索新知 知识点1 切线长定理及其应用
解：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是 ☉O 的切线，
点 A，B 是切点，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
∴ △PAB 是等腰三角形，
PM 为顶角的平分线.
∴ OP 垂直平分 AB.
M
O
P
A
B
PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
探索新知 知识点1 切线长定理及其应用
延伸
B
P
O
A
C
E
D
（1）图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角：
∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC.
∠AOC＝∠BOC＝∠PAC＝∠PBC
（3）图中所有的相等的线段：
PA＝PB，AC ＝BC，OA ＝OB.
（4）图中所有的全等三角形:
△AOP≌ △BOP，
△AOC≌ △BOC，
△ACP≌ △BCP.
（5）图中所有的等腰三角形:
△ABP ，△AOB
探索新知 知识点2 三角形的内切圆及其作法
思考
如图，下面是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？请动手画一画．
作圆的关键是什么？
确定圆心和半径．
怎样确定圆心的位置？
作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．
圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？
过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长
就是圆的半径．
圆心到三条边的距离相等
角平分线上的点到角的两边的距离相等
相切时圆心到直线的距离等于半径
探索新知 知识点2 三角形的内切圆及其作法
已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三条边都相切．
I
M
N
∟
D
　　作法：
　　1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I；
　　2．过点I作ID⊥BC，垂足为D；
　　3．以I为圆心，ID为半径作☉I，☉I就是所求．
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
三角形的内切圆
三角形的内心
三角形内心的性质
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
B
A
C
I
E
F
G
AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE=IF=IG.
探索新知 知识点2 三角形的内切圆及其作法
例2 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF、BD、CE的长.
根据切线长定理可以得到：AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE.如果设AF＝x，那么其他线段就都可以用含x的式子来表示，然后利用线段之间的和差关系建立方程即可求出.
分析：
A
C
E
D
F
O
B
例2 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF、BD、CE的长.
解：设AF＝x，则AE＝x，
CD＝CE＝AC AE＝13 x，
BD＝BF＝AB AF＝9 x.
由BD+CD＝BC，可得
(9 x)+(13 x)＝14.
解得x＝4.
因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.
A
C
E
D
F
O
B
x
x
13 x
13 x
9 x
9 x
14
方程思想
有关三角形内切圆的两个重要结论
延伸
探索新知 知识点2 三角形的内切圆及其作法
若已知△ABC的面积为 ，求△ABC内切圆的半径.
解：
有关三角形内切圆的两个重要结论
延伸
探索新知 知识点2 三角形的内切圆及其作法
其中a，b为直角三角形的直角边长；c为斜边长.
探索新知 知识点2 三角形的内切圆及其作法
三角形的外接圆与三角形的内切圆，有什么区别呢？
图形 名称 性质 位置 角度关系

外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）.
三角形外心到三角形的三个顶点的距离相等.即OA=OB=OC.
锐角三角形的外心在形内；
直角三角形的外心在斜边中点；
钝角三角形的外心在形外.
内心：三角形内切圆的圆心（或三角形三内角平分线的交点）.
三角形内心到三角形的三边的距离相等.即ID=IE=IF.
三角形的内心一定在三角形内.
当堂检测
Part Three
叁
D
B
B
C
A
课堂总结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
THANKS
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演讲人：
20XX