一 反比例函数
知识点1 反比例函数的概念
1．(2024·泰安质检)下列函数中，不是反比例函数的是(C)
A．y＝ B．y＝3x－1
C．y＝ D．xy＝
【解析】由反比例函数的定义可知，函数y＝，y＝3x－1，xy＝是反比例函数，而在y＝中，y是x的一次函数．
2．已知反比例函数的表达式为y＝，则a的取值范围是(C)
A．a≠2 B．a≠－2
C．a≠±2 D．a＝±2
【解析】根据反比例函数的定义可得|a|－2≠0，解得a≠±2.
3．如果函数y＝x2m－2为反比例函数，则m的值是．
【解析】因为y＝x2m－2为反比例函数，
所以2m－2＝－1，
解得m＝.
4．(2024·娄底期中)若函数y＝是关于x的反比例函数，则a满足的条件是__a≠－3__．
【解析】由题可得，a＋3≠0，
解得a≠－3.
5．(2024·上海期中)已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1·k2≠0，则y关于x成__反__比例．(填“正”或“反”)
【解析】因为y与2z成反比例，比例系数为k1，
所以y＝，
因为z与x成正比例，比例系数为k2，
所以z＝k2×x＝k2x，
所以y＝＝＝，
因为k1和k2是已知数，且k1·k2≠0，
所以y关于x成反比例．
知识点2 确定反比例函数表达式
6．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为(C)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
【解析】因为等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，所以xy＝10，
所以y与x的函数关系式为y＝.
7．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/小时)与时间t(小时)的函数表达式是(B)
A．v＝320t B．v＝
C．v＝20t D．v＝
【解析】由题意vt＝80×4，则v＝.
8．(2024·娄底质检)如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数．当R＝4 Ω时，I＝3 A．若电阻R增大2 Ω，则电流I为(B)
A.1 A B．2 A C．3 A D．5 A
【解析】设I＝，当R＝4 Ω，I＝3 A时，
则3＝，解得U＝12，故I＝，
若电阻R增大2 Ω，则电流为I＝＝2(A).
9．已知y与x＋1成反比例，且当x＝3时， y＝－2 ，求y与x的函数表达式．
【解析】因为y与x＋1成反比例，
所以y＝(k≠0)，
当x＝3时，y＝－2，则k＝－2×(3＋1)＝－8，
所以y与x的函数表达式为y＝－.
10．下列函数是反比例函数的是(C)
A．y＝(k为常数)
B．y＝(k为常数)
C．y＝
D．y＝(k≠0的常数)
【解析】对于选项A，B，当k为常数时，不能总保证比例系数不为零，不符合反比例函数的定义；D不是反比例函数，C选项，无论k为何值，k2＋1≥1，比例系数不为零恒成立，是反比例函数．
11．下列选项中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是(C)
A．小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系
B．菱形的面积为48 cm2，它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系
C．一个玻璃容器的体积为30 L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D．压力为600 N时，压强p与受力面积S之间的关系
【解析】A.根据速度和时间的关系式得，t＝；
B．因为菱形的对角线互相垂直平分，所以xy＝48，即y＝；
C．根据题意得，m＝ρV，可见m＝ρV中，m和V不是反比例关系；
D．根据压强公式，p＝.
12．已知函数y＝当函数值为3时，自变量x的值为(A)
A．－2 B．－
C．－2或－ D．－2或－
【解析】若x＜2，当y＝3时，－x＋1＝3，
解得x＝－2；
若x≥2，当y＝3时，－＝3，
解得x＝－，不合题意舍去，所以x＝－2.
13．已知反比例函数的表达式为y＝，则最小整数k＝__1__．
【解析】由反比例函数的表达式y＝，
得2k－1＞0，解得k＞，
所以k的最小整数值为1.
14．反比例函数y＝(a－3)xa＋1的函数值为4时，自变量x的值是．
【解析】因为y＝(a－3)xa＋1是反比例函数，
所以a＋1＝－1，解得a＝－2，
当a＝－2时，a－3＝－2－3＝－5≠0，
所以反比例函数表达式为y＝－.
所以4＝－，从而x＝－.
15．将x＝代入反比例函数y＝－中，所得函数值记为y1，又将x＝y1＋1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x＝y2＋1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去．
(1)完成下表
y1 y2 y3 y4 y5
－
(2)观察上表，你发现了什么规律？猜想y2 023＝________．
【解析】(1)x＝，y1＝－＝－；x＝－＋1＝－，y2＝－＝2；x＝2＋1＝3，
y3＝－；x＝－＋1＝，y4＝－＝－；x＝－＋1＝－，y5＝－＝2，
填表如下：
y1 y2 y3 y4 y5
－ 2 － － 2
(2)由(1)计算结果可知，结果依次为－，2，－，－，2，…，三个数循环，所以，y2 023＝y674×3＋1＝y1＝－.
16．如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24平方米的矩形饲养场地ABCD.设BC为x米，AB为y米．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)延长BC至E，使CE比BC少1米，围成一个新的矩形ABEF，结果场地的面积增加了16平方米，求BC的长．
【解析】(1)xy＝24，即y＝；
(2)列方程组，
①÷②得＝，
即2x＝3x－3，解得x＝3.
检验知，x＝3是分式方程的解．
答：BC的长为3米．
(选做)
17．已知函数 y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)，
(1)当m，n为何值时，为一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数？
【解析】(1)当函数y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是一次函数时，2－n＝1，且5m－3≠0，解得n＝1且m≠，
所以当m≠，n＝1时是一次函数．
(2)当函数y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是正比例函数时，
解得
所以当m＝－1，n＝1时是正比例函数．
(3)当函数y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是反比例函数时，
解得
所以当m＝－3，n＝3时是反比例函数．一 反比例函数
知识点1 反比例函数的概念
1．(2024·泰安质检)下列函数中，不是反比例函数的是( )
A．y＝ B．y＝3x－1
C．y＝ D．xy＝
2．已知反比例函数的表达式为y＝，则a的取值范围是( )
A．a≠2 B．a≠－2
C．a≠±2 D．a＝±2
3．如果函数y＝x2m－2为反比例函数，则m的值是 ．
4．(2024·娄底期中)若函数y＝是关于x的反比例函数，则a满足的条件是__ __．
5．(2024·上海期中)已知y与2z成反比例，比例系数为k1，z与x成正比例，比例系数为k2，k1和k2是已知数，且k1·k2≠0，则y关于x成__ __比例．(填“正”或“反”)
知识点2 确定反比例函数表达式
6．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
7．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/小时)与时间t(小时)的函数表达式是( )
A．v＝320t B．v＝
C．v＝20t D．v＝
8．(2024·娄底质检)如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I( )是电阻R(Ω)的反比例函数．当R＝4 Ω时，I＝3 A．若电阻R增大2 Ω，则电流I为( )
A.1 A B．2 A C．3 A D．5 A
9．已知y与x＋1成反比例，且当x＝3时， y＝－2 ，求y与x的函数表达式．
10．下列函数是反比例函数的是( )
A．y＝(k为常数)
B．y＝(k为常数)
C．y＝
D．y＝(k≠0的常数)
11．下列选项中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是( )
A．小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系
B．菱形的面积为48 cm2，它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系
C．一个玻璃容器的体积为30 L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D．压力为600 N时，压强p与受力面积S之间的关系
12．已知函数y＝当函数值为3时，自变量x的值为( )
A．－2 B．－
C．－2或－ D．－2或－
13．已知反比例函数的表达式为y＝，则最小整数k＝__ __．
14．反比例函数y＝(a－3)xa＋1的函数值为4时，自变量x的值是 ．
15．将x＝代入反比例函数y＝－中，所得函数值记为y1，又将x＝y1＋1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x＝y2＋1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去．
(1)完成下表
y1 y2 y3 y4 y5
－
(2)观察上表，你发现了什么规律？猜想y2 023＝________．
16．如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24平方米的矩形饲养场地ABCD.设BC为x米，AB为y米．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)延长BC至E，使CE比BC少1米，围成一个新的矩形ABEF，结果场地的面积增加了16平方米，求BC的长．
(选做)
17．已知函数 y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)，
(1)当m，n为何值时，为一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数？
