五 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义及相关概念的应用
1．(2024·娄底期中)下列方程是一元二次方程的是(D)
A．4x－y＋9＝0 B．b－7＝0
C．3x2－y＋8＝0 D．4y2－3y＋1＝0
【解析】A.是二元一次方程；B.是一元一次方程；C.是二元二次方程，故A，B，C选项不符合题意．
2．将方程x(x－1)＝5(x＋2)化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为(B)
A．1，6，10 B．1，－6，－10
C．1，－6，10 D．1，6，－10
【解析】x(x－1)＝5(x＋2)，
x2－x＝5x＋10，
x2－x－5x－10＝0，
x2－6x－10＝0，
所以a＝1，b＝－6，c＝－10.
3．将一元二次方程x(x－2)＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是__x2－2x－15＝0__，其中，一次项系数是__－2__，常数项是__－15__.
【解析】x(x－2)＝5，
方程两边都乘以3，得x(x－2)＝15，
x2－2x－15＝0，
所以将一元二次方程x(x－2)＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是x2－2x－15＝0，一次项系数是－2，常数项是－15.
4．(2023·长沙中考)若关于x的方程x2－kx－12＝0的一个解为3，则k的值为__－1__．
【解析】把x＝3代入方程x2－kx－12＝0得9－3k－12＝0，解得k＝－1.
5．当k__≠－5__时，方程kx2＋x＝2－5x2是关于x的一元二次方程．
【解析】∵方程kx2＋x＝2－5x2是关于x的一元二次方程，∴(k＋5)x2＋x－2＝0，
则k＋5≠0，
解得：k≠－5.
知识点2 根据实际问题列一元二次方程
6．(2023·贵港中考)某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为(B)
A．800(1－x)2＝968 B．800(1＋x)2＝968
C．968(1－x)2＝800 D．968(1＋x)2＝800
【解析】依题意得800(1＋x)2＝968.
【加固训练】
(2024·广州期中)某店举办促销活动，对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动(即两次打折数相同)，优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程(D)
A．500(1－2x)＝320
B．500(1－x)2＝320
C．500＝320
D．500＝320
【解析】依题意得500＝320.
7．(2024·邵阳质检)中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是__x2＋2x＋1＝100__．
【解析】∵羊的只数为x，
∴头数加只数为2x，只数减头数为0，只数乘头数为x2，只数除头数为1，
∴可列方程为x2＋2x＋1＝100.
8．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．
(1)有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．(设十位数字为x)
(2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 cm2，求它的两条直角边的长．
【解析】(1)因为十位数字为x，则个位数字为x＋3，百位数字为x＋2，
根据题意得：[100(x＋2)＋10x＋(x＋3)]－9[(x＋3)2＋x2＋(x＋2)2]＝20，
化简为9x2－7x－22＝0；
(2)设其中一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长为(14－x)cm，
根据题意得：x(14－x)＝24，
整理得：x2－14x＋48＝0.
9．(2024·岳阳质检)下列方程是一元二次方程的是(C)
A．2xy＋1＝0 B．x－＝1
C．x2＝2 D．ax2＋bx＋c＝0
【解析】A.含有2个未知数；
B．是分式方程；
D．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，A，B，D选项不符合题意．
10．如图，一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540 m2，道路宽度为x m，则题中涉及的等量关系式为(A)
A．(32－x)(20－x)＝540
B．(x－32)(20－x)＝540
C．(x－32)(x－20)＝540
D．(32×24)－(32x＋20x)＝540
【解析】若道路宽度为x m，则绿化的部分为长(32－x) m，宽(20－x) m的矩形，
依题意得(32－x)(20－x)＝540.
11．方程3x2－x＋＝0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为(D)
A．3 B．－ C． D．－9
【解析】方程3x2－x＋＝0的二次项系数是3，一次项系数是－，常数项是，3××(－)＝－9.
12．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值等于__－2__.
【解析】∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，
∴m2－4＝0，m－2≠0，解得：m＝－2.
13．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽的步数为x，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．
【解析】∵矩形的宽为x，且宽比长少12，∴矩形的长为(x＋12).依题意得x(x＋12)＝864.
14．某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调研，售价为40元，可销售150件，售价每上涨1元，销售量将减少10件，如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利1 560元，设这种商品的售价上涨x元，根据题意，可列方程为__(40－30＋x)(150－10x)＝1__560__．
【解析】根据题意知，每件商品的利润为(40－30＋x)元，销售量为(150－10x)件，
则可列方程为(40－30＋x)(150－10x)＝1 560.
15．如果方程x2＋ax＋1＝0与方程x2－x－a＝0有且只有一个公共解，求a的值．
【解析】∵两个方程有且只有一个公共解，
∴x2＋ax＋1＝x2－x－a，∴ax＋x＋a＋1＝0，
∵当a＝－1时两个方程完全相同，故a≠－1，∴x＝，
∴x＝－1，
当x＝－1时，代入第一个方程可得1－a＋1＝0，解得：a＝2.
(选做)
16．若a是方程x2－2 020x＋1＝0的一个解，求代数式a2－2 021a＋的值．
【解析】∵a是方程x2－2 020x＋1＝0的一个解，
∴a2－2 020a＋1＝0，
∴a2＝2 020a－1，
∴a2－2 021a＋
＝2 020a－1－2 021a＋＝－a＋a－1＝－1.五 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的定义及相关概念的应用
1．(2024·娄底期中)下列方程是一元二次方程的是( )
A．4x－y＋9＝0 B．b－7＝0
C．3x2－y＋8＝0 D．4y2－3y＋1＝0
2．将方程x(x－1)＝5(x＋2)化成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为( )
A．1，6，10 B．1，－6，－10
C．1，－6，10 D．1，6，－10
3．将一元二次方程x(x－2)＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是__ __，其中，一次项系数是__ __，常数项是__ __.
4．(2023·长沙中考)若关于x的方程x2－kx－12＝0的一个解为3，则k的值为__ __．
5．当k__ __时，方程kx2＋x＝2－5x2是关于x的一元二次方程．
知识点2 根据实际问题列一元二次方程
6．(2023·贵港中考)某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为( )
A．800(1－x)2＝968 B．800(1＋x)2＝968
C．968(1－x)2＝800 D．968(1＋x)2＝800
【加固训练】
(2024·广州期中)某店举办促销活动，对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动(即两次打折数相同)，优惠后实际仅售320元，设该店打x折，则可列方程( )
A．500(1－2x)＝320
B．500(1－x)2＝320
C．500＝320
D．500＝320
7．(2024·邵阳质检)中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是__ __．
8．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．
(1)有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．(设十位数字为x)
(2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 cm2，求它的两条直角边的长．
9．(2024·岳阳质检)下列方程是一元二次方程的是( )
A．2xy＋1＝0 B．x－＝1
C．x2＝2 D．ax2＋bx＋c＝0
10．如图，一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540 m2，道路宽度为x m，则题中涉及的等量关系式为( )
A．(32－x)(20－x)＝540
B．(x－32)(20－x)＝540
C．(x－32)(x－20)＝540
D．(32×24)－(32x＋20x)＝540
11．方程3x2－x＋＝0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为( )
A．3 B．－ C． D．－9
12．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值等于__ __.
13．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽的步数为x，则依题意列方程为__ __．
14．某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调研，售价为40元，可销售150件，售价每上涨1元，销售量将减少10件，如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利1 560元，设这种商品的售价上涨x元，根据题意，可列方程为__ __ __．
15．如果方程x2＋ax＋1＝0与方程x2－x－a＝0有且只有一个公共解，求a的值．
(选做)
16．若a是方程x2－2 020x＋1＝0的一个解，求代数式a2－2 021a＋的值．
