七 配方法(第2课时)
知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1．(2024·娄底期中)用配方法将方程x2＋2x＝0进行配方得( )
A．(x＋1)2＝1 B．(x－1)2＝1
C．x2＝1 D．x2－1＝1
2．(2024·株洲期中)用配方法解方程x2－6x＝3，配方正确的是( )
A．(x－3)2＝0 B．(x－3)2＝6
C．(x－3)2＝9 D．(x－3)2＝12
3．若将x2＋6x＝－1改写成(x＋p)2＝q的形式，则q＝__ __．
4．填空：x2－2x＋__ __＝(x－__ __)2.
5．(2024·永州期中)解方程：x2－4x＋1＝0.
知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
6．用配方法解方程4x2－4x＝3时，方程的两边都应加上( )
A．3 B．1 C．2 D．5
7．用配方法解方程：2x2＋4x－3＝0，则配方结果正确的是( )
A．(x＋1)2＝ B．(x－1)2＝
C．(x＋1)2＝ D．(x－1)2＝
8．把一元二次方程2x2－8x－7＝0化成(x＋m)2＝n的形式是__ __．
9．代数式3x2－6x＋2的最小值为__ __．
10．解方程：4x2－8x＋1＝0.
11．(2023·赤峰中考)一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为( )
A．(x－4)2＝18 B．(x－4)2＝14
C．(x－8)2＝64 D．(x－4)2＝1
12．用配方法解下列方程时，配方错误的是( )
A．3x2－12x－1＝0化为(x－2)2＝
B．2t2－4t＋2＝0化为(t－1)2＝0
C．4y2＋4y－1＝0化为＝
D．x2－x－4＝0化为＝
13．M＝3x2－5x－1，N＝ax2－5x－7，其中x为任意数．若M的值总大于N的值，则a可取的数为( )
A．5 B．4 C．π D．2
14．规定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝(2＋3)×3＝15，若2 x＝3，则x＝__ __．
15．(2024·无锡质检)已知点(5－k2，2k＋3)在第四象限内，且在其角平分线上，则k＝__ __.
16．(2023·荆州中考)已知：a是不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2＋2ax＋a＋1＝0.
(选做)
17．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，
∴n＝4，m＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知a2＋6ab＋10b2＋2b＋1＝0，求a－b的值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长；
(3)已知x＋y＝2，xy－z2－4z＝5，求xyz的值．六 配方法(第1课时)
知识点1 解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程
1．一元二次方程x2－81＝0的解为( )
A．x1＝x2＝9 B．x1＝9，x2＝－9
C．x1＝x2＝－9 D．x1＝x2＝81
2．(2024·重庆质检)若代数式3x2－6的值为21，则x的值一定为( )
A．3 B．±3 C．－3 D．±
3．(2024·岳阳期末)一元二次方程64－9x2＝0的解是__ __．
4．若关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋5x＋m2－4＝0有一个根为0，求m的值．
知识点2 解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程
5．关于x的方程(x＋m)2＝b有解的条件是( )
A．m为任意实数，b>0
B．m为任意实数，b≥0
C．m>0，b>0
D．m<0，b>0
6．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是( )
A．x2＝1 B．x2＋1＝0
C．(x－1)2＝0 D．(x＋1)2＝0
7．方程(x＋1)2＝4的根是__ __．
8．(2024·长沙质检)解方程：6(x－1)2－54＝0.
9．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．
解方程：(x－1)2＝4
解：∵(x－1)2＝4， ①
∴x－1＝2， ②
∴x＝3. ③
上述过程中有没有错误？若有，错在步骤________(填序号)
原因是______________________．
请写出正确的解答过程．
10．若方程(x－5)2＝19的两根分别为a，b，且a>b，则下列结论中正确的是( )
A．a是19的算术平方根
B．b是19的平方根
C．a－5是19的算术平方根
D．b＋5是19的平方根
11．若2x＋1与2x－1互为倒数，则实数x为( )
A．x＝± B．x＝±1
C．± D．±
12．规定运算：对于函数y＝xn(n为正整数)，规定y′＝nxn－1.例如：对于函数y＝x4，有y′＝4x3.已知函数y＝x3，满足y′＝18的x的值为( )
A．x1＝3，x2＝－3
B．x1＝x2＝0
C．x1＝，x2＝－
D．x1＝3，x2＝－3
13．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根是3m＋1与m－9，则＝__ __．
14．(2024·南京期中)若关于x的一元二次方程ax2＋k＝0的一个根为1，则方程a(x－1)2＋k＝0的解为__ __．
15．解方程：
(1)25x2－36＝0.
(2)12(3－2x)2－3＝0.
(选做)
16．已知方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．七 配方法(第2课时)
知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1．(2024·娄底期中)用配方法将方程x2＋2x＝0进行配方得(A)
A．(x＋1)2＝1 B．(x－1)2＝1
C．x2＝1 D．x2－1＝1
【解析】x2＋2x＝0，方程两边同加上1得，x2＋2x＋1＝1，
配方得(x＋1)2＝1.
2．(2024·株洲期中)用配方法解方程x2－6x＝3，配方正确的是(D)
A．(x－3)2＝0 B．(x－3)2＝6
C．(x－3)2＝9 D．(x－3)2＝12
【解析】∵x2－6x＝3，∴x2－6x＋9＝3＋9，即(x－3)2＝12.
3．若将x2＋6x＝－1改写成(x＋p)2＝q的形式，则q＝__8__．
【解析】方程x2＋6x＝－1，
配方得：x2＋6x＋9＝8，即(x＋3)2＝8，则q＝8.
4．填空：x2－2x＋__1__＝(x－__1__)2.
【解析】x2－2x＋1＝(x－1)2.
5．(2024·永州期中)解方程：x2－4x＋1＝0.
【解析】x2－4x＋1＝0，
x2－4x＝－1，
x2－4x＋4＝3，即(x－2)2＝3，
∴x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
6．用配方法解方程4x2－4x＝3时，方程的两边都应加上(B)
A．3 B．1 C．2 D．5
【解析】用配方法解方程4x2－4x＝3时，方程的两边都应加上1.
7．用配方法解方程：2x2＋4x－3＝0，则配方结果正确的是(A)
A．(x＋1)2＝ B．(x－1)2＝
C．(x＋1)2＝ D．(x－1)2＝
【解析】方程整理得：x2＋2x＝，
配方得：x2＋2x＋1＝，即(x＋1)2＝.
8．把一元二次方程2x2－8x－7＝0化成(x＋m)2＝n的形式是__(x－2)2＝__．
【解析】方程整理得：x2－4x＝，
配方得：x2－4x＋4＝，即(x－2)2＝.
9．代数式3x2－6x＋2的最小值为__－1__．
【解析】∵(x－1)2≥0，
∴3x2－6x＋2＝3(x2－2x)＋2＝3(x2－2x＋1)－1＝3(x－1)2－1≥－1，
∴代数式3x2－6x＋2的最小值为－1.
10．解方程：4x2－8x＋1＝0.
【解析】4x2－8x＋1＝0，x2－2x＋＝0，
x2－2x＝－，x2－2x＋1＝，(x－1)2＝，
∴x－1＝±，
解得x1＝，x2＝.
11．(2023·赤峰中考)一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为(A)
A．(x－4)2＝18 B．(x－4)2＝14
C．(x－8)2＝64 D．(x－4)2＝1
【解析】∵x2－8x－2＝0，∴x2－8x＝2，
则x2－8x＋16＝2＋16，即(x－4)2＝18.
12．用配方法解下列方程时，配方错误的是(D)
A．3x2－12x－1＝0化为(x－2)2＝
B．2t2－4t＋2＝0化为(t－1)2＝0
C．4y2＋4y－1＝0化为＝
D．x2－x－4＝0化为＝
【解析】x2－x－4＝0化为＝，本选项符合题意．
13．M＝3x2－5x－1，N＝ax2－5x－7，其中x为任意数．若M的值总大于N的值，则a可取的数为(D)
A．5 B．4 C．π D．2
【解析】∵M＝3x2－5x－1，N＝ax2－5x－7，
∴M－N＝(3x2－5x－1)－(ax2－5x－7)＝(3－a)x2＋6，
∵M的值总大于N的值，
∴3－a≥0，即a≤3.
14．规定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝(2＋3)×3＝15，若2 x＝3，则x＝__1或－3__．
【解析】依题意得(2＋x)x＝3，
整理，得x2＋2x＝3，
所以(x＋1)2＝4，
所以x＋1＝±2，
所以x＝1或x＝－3.
15．(2024·无锡质检)已知点(5－k2，2k＋3)在第四象限内，且在其角平分线上，则k＝__－2__.
【解析】∵点(5－k2，2k＋3)在第四象限的角平分线上，
∴5－k2＝－2k－3，即k2－2k－8＝0，
∴k1＝4，k2＝－2.
当k＝4时，5－k2＝－11＜0，不合题意，舍去．
∴k的值为－2.
16．(2023·荆州中考)已知：a是不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2＋2ax＋a＋1＝0.
【解析】解不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7，得a>－3，
∴不等式的最小整数解为－2，
将a＝－2代入方程x2＋2ax＋a＋1＝0，得x2－4x－1＝0，配方，得(x－2)2＝5.
直接开平方，得x－2＝±.
解得x1＝2＋，x2＝2－.
(选做)
17．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，
∴n＝4，m＝4.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知a2＋6ab＋10b2＋2b＋1＝0，求a－b的值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求△ABC的周长；
(3)已知x＋y＝2，xy－z2－4z＝5，求xyz的值．
【解析】(1)∵a2＋6ab＋10b2＋2b＋1＝0，
∴a2＋6ab＋9b2＋b2＋2b＋1＝0，
∴(a＋3b)2＋(b＋1)2＝0，
∴a＋3b＝0，b＋1＝0，
解得b＝－1，a＝3，则a－b＝4.
(2)∵2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，
∴2a2－4a＋2＋b2－6b＋9＝0，
∴2(a－1)2＋(b－3)2＝0，
则a－1＝0，b－3＝0，解得，a＝1，b＝3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1，3，3，
∴△ABC的周长为1＋3＋3＝7.
(3)∵x＋y＝2，∴y＝2－x，则x(2－x)－z2－4z＝5，
∴x2－2x＋1＋z2＋4z＋4＝0，
∴(x－1)2＋(z＋2)2＝0，则x－1＝0，z＋2＝0，
解得x＝1，y＝1，z＝－2，∴xyz＝－2.六 配方法(第1课时)
知识点1 解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程
1．一元二次方程x2－81＝0的解为(B)
A．x1＝x2＝9 B．x1＝9，x2＝－9
C．x1＝x2＝－9 D．x1＝x2＝81
【解析】x2－81＝0，则x2＝81，
解得x1＝9，x2＝－9.
2．(2024·重庆质检)若代数式3x2－6的值为21，则x的值一定为(B)
A．3 B．±3 C．－3 D．±
【解析】根据题意得3x2－6＝21，
3x2＝27，
x2＝9，
x＝±3.
3．(2024·岳阳期末)一元二次方程64－9x2＝0的解是__x1＝，x2＝－__．
【解析】64－9x2＝0，
9x2＝64，x2＝，
开方得x＝±，
解得x1＝，x2＝－.
4．若关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋5x＋m2－4＝0有一个根为0，求m的值．
【解析】将x＝0代入方程(m＋2)x2＋5x＋m2－4＝0，得m2－4＝0，解得m＝±2.
∵m＋2≠0，
∴m≠－2，
综上所述：m＝2.
知识点2 解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程
5．关于x的方程(x＋m)2＝b有解的条件是(B)
A．m为任意实数，b>0
B．m为任意实数，b≥0
C．m>0，b>0
D．m<0，b>0
【解析】根据平方根的意义可知，只有非负数才有平方根，所以b≥0.
6．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是(C)
A．x2＝1 B．x2＋1＝0
C．(x－1)2＝0 D．(x＋1)2＝0
【解析】A.x2＝1的根为x1＝1，x2＝－1；
B．x2＋1＝0无实数根；
C．(x－1)2＝0的根为x1＝x2＝1；
D．(x＋1)2＝0的根为x1＝x2＝－1.
7．方程(x＋1)2＝4的根是__x1＝1，x2＝－3__．
【解析】由原方程，得x＋1＝±2.
解得x1＝1，x2＝－3.
8．(2024·长沙质检)解方程：6(x－1)2－54＝0.
【解析】∵6(x－1)2－54＝0，
∴6(x－1)2＝54，
∴(x－1)2＝9，
得x－1＝3或x－1＝－3，
解得x1＝4，x2＝－2.
9．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．
解方程：(x－1)2＝4
解：∵(x－1)2＝4， ①
∴x－1＝2， ②
∴x＝3. ③
上述过程中有没有错误？若有，错在步骤________(填序号)
原因是______________________．
请写出正确的解答过程．
【解析】有，错在步骤②，原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数．
答案：② 正数的平方根有两个，它们互为相反数
正确的解答过程为(x－1)2＝4，
x－1＝±2，
x1＝3，x2＝－1.
10．若方程(x－5)2＝19的两根分别为a，b，且a>b，则下列结论中正确的是(C)
A．a是19的算术平方根
B．b是19的平方根
C．a－5是19的算术平方根
D．b＋5是19的平方根
【解析】∵方程(x－5)2＝19的两根分别为a，b，∴a－5和b－5是19的两个平方根，且它们互为相反数．
∵a>b，∴a－5是19的算术平方根．
11．若2x＋1与2x－1互为倒数，则实数x为(C)
A．x＝± B．x＝±1
C．± D．±
【解析】由题意得(2x＋1)(2x－1)＝1，
即4x2－1＝1，解得x＝±.
12．规定运算：对于函数y＝xn(n为正整数)，规定y′＝nxn－1.例如：对于函数y＝x4，有y′＝4x3.已知函数y＝x3，满足y′＝18的x的值为(C)
A．x1＝3，x2＝－3
B．x1＝x2＝0
C．x1＝，x2＝－
D．x1＝3，x2＝－3
【解析】根据题意得3x2＝18，即x2＝6，
所以x1＝，x2＝－.
13．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根是3m＋1与m－9，则＝__49__．
【解析】∵ax2＝b(ab>0)，∴x2＝(ab>0)，
∴x＝±(ab>0)，
∴方程的两根互为相反数，
∴3m＋1＋m－9＝0，解得m＝2，
∴方程的两根分别为7与－7，
∴49a＝b，∴＝49.
14．(2024·南京期中)若关于x的一元二次方程ax2＋k＝0的一个根为1，则方程a(x－1)2＋k＝0的解为__x1＝0，x2＝2__．
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2＋k＝0的一个根为1，∴x2＝－＝1，
∵方程a(x－1)2＋k＝0，
∴(x－1)2＝－＝1，
∴x－1＝±1，
∴x1＝0，x2＝2.
15．解方程：
(1)25x2－36＝0.
(2)12(3－2x)2－3＝0.
【解析】(1)由原方程，得x2＝，则x＝±.
所以x1＝，x2＝－.
(2)移项，得12(3－2x)2＝3，
即(3－2x)2＝.
∵3－2x是的平方根，
∴3－2x＝±.
即3－2x＝，3－2x＝－，
∴x1＝，x2＝.
(选做)
16．已知方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．
【解析】∵方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，
∴9＋3(m－1)＋m－10＝0，
即4m－4＝0，解得m＝1，
可得方程x2－9＝0，
解得x＝±3，
所以方程的另一个根为－3.
