九 因式分解法
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1．(2024·永州期中)方程x2＝5x的解是(B)
A．x1＝－5，x2＝0 B．x1＝5，x2＝0
C．x＝5 D．x＝0
【解析】由原方程移项，得x2－5x＝0，
∴x(x－5)＝0，
∴x＝0或x－5＝0，
解得x1＝0，x2＝5.
2．方程(x－2)2＝x－2的解是(A)
A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝1
C．x＝2 D．x＝3
【解析】由原方程移项，得(x－2)2－(x－2)＝0，
∴(x－2)(x－2－1)＝0，
∴x－2＝0或x－3＝0，
解得，x1＝2，x2＝3.
3．(2024·长沙期末)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是(D)
A．x＝2 B．x＝3
C．x＝－1或x＝2 D．x＝－1或x＝3
【解析】由原方程移项，得
(x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0，
∴(x＋1)(x－2－1)＝0，
∴x＋1＝0或x－3＝0，
解得，x＝－1，或x＝3.
4．(2023·镇江中考)一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为__x1＝0，x2＝－1__．
【解析】方程x(x＋1)＝0，可得x＝0或x＋1＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
5．若一元二次方程x2－mx＋n＝0的两个根为－3和4，则x2－mx＋n因式分解的结果为__(x＋3)(x－4)__．
【解析】根据因式分解法解方程可以得到x2－mx＋n＝(x＋3)(x－4).
6．阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案．
解方程x2＋2x＝3x＋6.
解：x(x＋2)＝3(x＋2)，
两边同时除以x＋2，得：x＝3.
【解析】因为不能判断x＋2是否为0，所以方程两边不能同时除以x＋2.
正确得解题过程为x(x＋2)＝3(x＋2)，
x(x＋2)－3(x＋2)＝0，∴(x－3)(x＋2)＝0，
解得x1＝3，x2＝－2.
知识点2 选择合适的方法解一元二次方程
7．(2024·北京质检)用配方法解方程x2＋6x－1＝0，正确的是(D)
A．(x－3)2＝8 B．(x＋3)2＝8
C．(x－3)2＝10 D．(x＋3)2＝10
【解析】x2＋6x－1＝0，x2＋6x＝1，
x2＋6x＋9＝1＋9，(x＋3)2＝10.
8．方程(x－m)(x－3)＝0和方程x2－2x－3＝0同解，m＝__－1__．
【解析】解方程x2－2x－3＝0得：x1＝3，x2＝－1，
解方程(x－m)(x－3)＝0得：x1＝m，x2＝3，
∵方程(x－m)(x－3)＝0和方程x2－2x－3＝0同解，∴m＝－1.
9．分别用因式分解法、配方法、公式法解方程
x2＋4x－5＝0.
【解析】方法一：(因式分解法)(x－1)(x＋5)＝0，x－1＝0或x＋5＝0，∴x1＝1，x2＝－5.
方法二：(配方法)x2＋4x＝5，
x2＋4x＋4＝5＋4，(x＋2)2＝9，
x＋2＝3或x＋2＝－3，∴x1＝1，x2＝－5.
方法三：(公式法)
这里a＝1，b＝4，c＝－5，
b2－4ac＝16＋20＝36，x＝，
∴x1＝1，x2＝－5.
10．(2023·聊城中考)关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为(B)
A．2或4 B．0或4
C．－2或0 D．－2或2
【解析】把x＝－2代入方程x2＋4kx＋2k2＝4得4－8k＋2k2＝4，
整理得k2－4k＝0，解得k1＝0，k2＝4，
即k的值为0或4.
11．如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为(C)
A．2或－1 B．0或1
C．2 D．－1
【解析】x2－x－1＝(x＋1)0，
x2－x－2＝0，(x－2)(x＋1)＝0，
所以x＝2或x＝－1(舍去).
【加固训练】
使分式的值等于零的x是(A)
A．6 B．－1或6
C．－1 D．－6
【解析】分式的值等于零，
∴x2－5x－6＝0，∴(x－6)(x＋1)＝0，
∴x－6＝0或x＋1＝0，∴x1＝6，x2＝－1.
∵x＋1≠0，∴x＝6.
12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为(A)
A．2 B．4
C．8 D．2或4
【解析】x2－6x＋8＝0，(x－4)(x－2)＝0解得：x＝4或x＝2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2.
13．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，－x}＝x2－2的解为__2或－2__．
【解析】当x>－x，即x>0时，方程为x＝x2－2，
解得：x1＝－1，x2＝2，∴x＝2，
当x<－x，即x<0时，方程为－x＝x2－2，
解得x1＝1，x2＝－2，∴x＝－2.
14．(2023·嘉兴中考)小敏与小霞两位同学解方程
3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：
小敏：两边同除以(x－3)，得3＝x－3，则x＝6. 小霞：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.则x－3＝0或3－x－3＝0，解得x1＝3，x2＝0.
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【解析】小敏：×；小霞：×.
正确的解答方法：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
则x－3＝0或3－x＋3＝0，
解得，x1＝3，x2＝6.
15．(2024·青岛质检)解方程．
(1)x2－2x－4＝0(用配方法)；
(2)2x2＋3x－1＝0(用公式法)；
(3)3x＋6＝(x＋2)2；
(4)9(x＋1)2＝4(2x－1)2.
【解析】(1)方程整理得：x2－2x＝4，
配方得：x2－2x＋1＝5，即(x－1)2＝5，
开方得：x－1＝±，
解得，x1＝1＋，x2＝1－；
(2)这里a＝2，b＝3，c＝－1，
∵b2－4ac＝9＋8＝17>0，∴x＝，
解得，x1＝，x2＝；
(3)方程整理得：3(x＋2)－(x＋2)2＝0，
因式分解得：(x＋2)[3－(x＋2)]＝0，
所以x＋2＝0或3－(x＋2)＝0，
解得，x1＝－2，x2＝1；
(4)方程移项得：9(x＋1)2－4(2x－1)2＝0，
因式分解得：[3(x＋1)＋2(2x－1)][3(x＋1)－2(2x－1)]＝0，
所以3(x＋1)＋2(2x－1)＝0或3(x＋1)－2(2x－1)＝0，解得，x1＝－，x2＝5.
(选做)
16．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
请你按照上述解题思想解方程(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.
【解析】设y＝x2＋x，则由原方程，
得y2－4y－12＝0，
整理，得(y－6)(y＋2)＝0，
解得，y＝6或y＝－2，
当y＝6时，x2＋x＝6，即(x＋3)(x－2)＝0，
解得，x1＝－3，x2＝2.
当y＝－2时，x2＋x＝－2，即x2＋x＋2＝0，该方程无实数解．
综上所述，该方程的解为x1＝－3，x2＝2.九 因式分解法
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1．(2024·永州期中)方程x2＝5x的解是( )
A．x1＝－5，x2＝0 B．x1＝5，x2＝0
C．x＝5 D．x＝0
2．方程(x－2)2＝x－2的解是( )
A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝1
C．x＝2 D．x＝3
3．(2024·长沙期末)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )
A．x＝2 B．x＝3
C．x＝－1或x＝2 D．x＝－1或x＝3
4．(2023·镇江中考)一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为__ __．
5．若一元二次方程x2－mx＋n＝0的两个根为－3和4，则x2－mx＋n因式分解的结果为__ __．
6．阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案．
解方程x2＋2x＝3x＋6.
解：x(x＋2)＝3(x＋2)，
两边同时除以x＋2，得：x＝3.
知识点2 选择合适的方法解一元二次方程
7．(2024·北京质检)用配方法解方程x2＋6x－1＝0，正确的是( )
A．(x－3)2＝8 B．(x＋3)2＝8
C．(x－3)2＝10 D．(x＋3)2＝10
8．方程(x－m)(x－3)＝0和方程x2－2x－3＝0同解，m＝__ __．
9．分别用因式分解法、配方法、公式法解方程
x2＋4x－5＝0.
10．(2023·聊城中考)关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为( )
A．2或4 B．0或4
C．－2或0 D．－2或2
11．如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( )
A．2或－1 B．0或1
C．2 D．－1
【加固训练】
使分式的值等于零的x是( )
A．6 B．－1或6
C．－1 D．－6
12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 B．4
C．8 D．2或4
13．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，－x}＝x2－2的解为__ __．
14．(2023·嘉兴中考)小敏与小霞两位同学解方程
3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：
小敏：两边同除以(x－3)，得3＝x－3，则x＝6. 小霞：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.则x－3＝0或3－x－3＝0，解得x1＝3，x2＝0.
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
15．(2024·青岛质检)解方程．
(1)x2－2x－4＝0(用配方法)；
(2)2x2＋3x－1＝0(用公式法)；
(3)3x＋6＝(x＋2)2；
(4)9(x＋1)2＝4(2x－1)2.
(选做)
16．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
请你按照上述解题思想解方程(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.
