十 一元二次方程根的判别式
知识点1 根据判别式判断根的情况
1．方程x2－x－6＝0的根的情况是( )
A．没有实根
B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根
D．无法确定．
2．(2024·邵阳质检)下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A．2x2－4x＋3＝0 B．x2＋4x－1＝0
C．x2－2x＝0 D．3x2＝5x－2
3．一元二次方程x2＋3x－1＝0根的判别式的值为__ __．
4．(2024·娄底期中)方程x2－2x－8＝0有__ __个实数根．
5．已知关于x的方程(m2－1)x2－(m－3)x＋m＝0.
(1)m为何值时，方程为一元二次方程？
(2)当m＝2时，不解方程，请判断该方程是否有实数根？
知识点2 由一元二次方程根的情况确定字母的取值
6．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m>1 C．m≤1 D．m≥1
7．(2023·河南中考)若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．
8．(2023·连云港中考)若关于x的方程x2－3x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝__ __．
9．(2024·邵阳质检)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，
(1)求m的取值范围；
(2)当m＝－1时，求出此时方程的两个根．
10．(2023·泰安中考)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x＋k－2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k>－ B．k<
C．k>－且k≠0 D．k<且k≠0
11．(2023·张家界中考)对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2－ab，例如3☆2＝3×22－3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
12．已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于( )
A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6
13．(2024·娄底质检)若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是__ __．
14．已知，关于x的方程(m－1)x2－(m－2)x＋m＝0.
(1)当m取何值时方程有一个实数根？
(2)当m取何值时方程有两个实数根？
(3)请你在(2)的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解．
15．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0.其中m，n是常数．
(1)若m＝n＋3，试判断该一元二次方程根的情况；
(2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点(m，n)关于原点的对称点在直线y＝x＋2上，求m的值．
(选做)
16．(2024·十堰期中)已知关于x的一元二次方程(b－c)x2－2ax＋(c＋b)＝0.其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．十 一元二次方程根的判别式
知识点1 根据判别式判断根的情况
1．方程x2－x－6＝0的根的情况是(B)
A．没有实根
B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根
D．无法确定
【解析】根据题意得：
Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0，
即该方程有两个不相等的实数根．
2．(2024·邵阳质检)下列一元二次方程中，没有实数根的是(A)
A．2x2－4x＋3＝0 B．x2＋4x－1＝0
C．x2－2x＝0 D．3x2＝5x－2
【解析】A．Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，方程没有的实数根，符合题意；B.Δ＝42－4×1×(－1)＝20>0；C.Δ＝(－2)2－4×1×0＝4>0；D.Δ＝(－5)2－4×3×2＝1>0，所以B，C，D选项的方程都有两个不相等的实数根，不符合题意．
3．一元二次方程x2＋3x－1＝0根的判别式的值为__13__．
【解析】∵a＝1，b＝3，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝9＋4＝13.
所以一元二次方程x2＋3x－1＝0根的判别式的值为13.
4．(2024·娄底期中)方程x2－2x－8＝0有__2__个实数根．
【解析】∵Δ＝4－4×(－8)＝36>0，
∴方程x2－2x－8＝0有2个实数根．
5．已知关于x的方程(m2－1)x2－(m－3)x＋m＝0.
(1)m为何值时，方程为一元二次方程？
(2)当m＝2时，不解方程，请判断该方程是否有实数根？
【解析】(1)根据题意，得m2－1≠0，即m≠±1，
故m≠±1时，此方程为一元二次方程；
(2)当m＝2时，方程为3x2＋x＋2＝0，
∵Δ＝12－4×3×2＝－23＜0，
∴该方程没有实数根．
知识点2 由一元二次方程根的情况确定字母的取值
6．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是(C)
A．m＜1 B．m>1 C．m≤1 D．m≥1
【解析】由题意可知：Δ＝4－4m≥0，∴m≤1.
7．(2023·河南中考)若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是(D)
A．－1 B．0 C．1 D．
【解析】∵关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，
∴Δ＝(－2)2－4×1×m＝4－4m＜0，
解得m>1，∴m可以是.
8．(2023·连云港中考)若关于x的方程x2－3x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝____．
【解析】∵关于x的方程x2－3x＋k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4×1×k＝0，解得：k＝.
9．(2024·邵阳质检)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，
(1)求m的取值范围；
(2)当m＝－1时，求出此时方程的两个根．
【解析】(1)根据题意得Δ＝(－4)2－4(m＋1)>0，解得m＜3；
(2)当m＝－1时，方程变形为x2－4x＝0，
x(x－4)＝0，x＝0或x－4＝0，
所以x1＝0，x2＝4.
10．(2023·泰安中考)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x＋k－2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(C)
A．k>－ B．k<
C．k>－且k≠0 D．k<且k≠0
【解析】根据题意得k≠0且Δ＝(2k－1)2－4k·(k－2)>0，解得k>－且k≠0.
11．(2023·张家界中考)对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2－ab，例如3☆2＝3×22－3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为(D)
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【解析】∵1☆x＝2，
∴1·x2－1·x＝2，
∴x2－x－2＝0，
∴Δ＝(－1)2－4×1×(－2)＝9>0，
∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．
12．已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B)
A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6
【解析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42－6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，
当m＝n时，即Δ＝(－6)2－4×(k＋2)＝0，解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7.
13．(2024·娄底质检)若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是__k≤4且k≠0__．
【解析】∵|b－1|＋＝0，
∴b－1＝0，＝0，解得，b＝1，a＝4；
又∵一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，
∴Δ＝a2－4kb≥0且k≠0，
即16－4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0.
14．已知，关于x的方程(m－1)x2－(m－2)x＋m＝0.
(1)当m取何值时方程有一个实数根？
(2)当m取何值时方程有两个实数根？
(3)请你在(2)的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解．
【解析】(1)当m－1＝0，即m＝1时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根：x＝－.
(2)当m－1≠0，即m≠1时，该方程为一元二次方程；
当Δ＝[－(m－2)]2－4(m－1)×m≥0时，方程有两个实数根．
解得：m≤，且m≠1，
∴当m≤，且m≠1时方程有两个实数根．
(3)当m＝0时，方程可化为－x2＋2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2.(答案不唯一)
15．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0.其中m，n是常数．
(1)若m＝n＋3，试判断该一元二次方程根的情况；
(2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点(m，n)关于原点的对称点在直线y＝x＋2上，求m的值．
【解析】(1)∵m＝n＋3，∴Δ＝m2－4×2n＝(n＋3)2－8n＝n2－2n＋9＝(n－1)2＋8，而(n－1)2≥0，∴(n－1)2＋8>0，即Δ>0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；
(2)根据题意得Δ＝m2－4×2n＝0，
∵点(m，n)关于原点的对称点为(－m，－n)，
∴－n＝－m＋2，即n＝m－2，
把n＝m－2代入m2－8n＝0得m2－8(m－2)＝0，
整理得m2－8m＋16＝0，解得m1＝m2＝4，
即m的值为4.
(选做)
16．(2024·十堰期中)已知关于x的一元二次方程(b－c)x2－2ax＋(c＋b)＝0.其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解析】(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵x＝1是一元二次方程(b－c)x2－2ax＋(b＋c)＝0的根，
∴(b－c)－2a＋(b＋c)＝0，
∴a＝b，
∵b－c≠0，
∴b≠c，
∴△ABC为等腰三角形；
(2)△ABC为直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－2a)2－4(b－c)(b＋c)＝0，
∴a2＋c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形．
