十一 一元二次方程根与系数的关系
知识点1 利用根与系数的关系求代数式的值
1．设方程x2－3x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2的值为(A)
A．3 B．－ C． D．－2
【解析】 由x2－3x＋2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝－3，
由根与系数的关系：x1＋x2＝－＝－＝3.
2．(2024·长沙质检)已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则αβ的值为__－4__．
【解析】∵α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，∴αβ＝－4.
3．(2024·邵阳质检)若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是__－10__．
【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，
∴根据根与系数的关系，可得－2＋4＝－b，
－2×4＝c，解得b＝－2，c＝－8，
∴b＋c＝－10.
4．(2023·江西中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，则x1＋x2－x1x2＝__1__.
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝3，
则x1＋x2－x1x2＝4－3＝1.
5．已知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，则m2＋n2＝__6__．
【解析】由题意知，m，n是关于x的方程x2－2x－1＝0的两个根，则m＋n＝2，mn＝－1.
所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝2×2－2×(－1)＝6.
6．(2023·永州中考)若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.现已知一元二次方程px2＋2x＋q＝0的两根分别为m，n.
(1)若m＝2，n＝－4，求p，q的值；
(2)若p＝3，q＝－1，求m＋mn＋n的值．
【解析】(1)根据题意得2－4＝－，2×(－4)＝，所以p＝1，q＝－8；
(2)根据m＋n＝－＝－，mn＝＝－，
所以m＋mn＋n＝m＋n＋mn＝－－＝－1.
知识点2 应用根与系数的关系确定方程中未知系数的值
7．关于x的一元二次方程x2＋(a2－3a)x＋a＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为(C)
A．－3 B．0
C．1 D．－3或0
【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋(a2－3a)x＋a＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1x2＝a＝1.
8．(2024·无锡质检)若一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋x2＝x1x2，则m的值是(B)
A．－1 B．3
C．3或－1 D．－3或1
【解析】∵关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m＋3)2－4m2＝12m＋9>0，∴m>－，
∵x1＋x2＝2m＋3，x1·x2＝m2，
又∵x1＋x2＝x1·x2，∴2m＋3＝m2，
解得m＝－1或m＝3，
∵m>－，∴m＝3.
9．(2024·成都期中)若α2－2α＋k＝0，β2－2β＋k＝0，且α2－α＋β＝5，α≠β，则k＝__－3__．
【解析】∵α2－2α＋k＝0，β2－2β＋k＝0，且α≠β，
∴α和β是方程x2－2x＋k＝0的两个根，
∴α＋β＝2，
∵α2－α＋β＝5，
∴α2－2α＋α＋β＝5，
∴－k＋2＝5，∴k＝－3.
10．关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．
【解析】设方程的另一个根是x1，由一元二次方程根与系数的关系，得
由②，得x1＝－4.
代入①，得＋(－4)＝－，解得m＝10.
所以，方程的另一个根是－4，m的值是10.
11．(2023·怀化中考)对于一元二次方程2x2－3x＋4＝0，则它的根的情况为(A)
A．没有实数根
B．两根之和是3
C．两根之积是－2
D．有两个不相等的实数根
【解析】∵a＝2，b＝－3，c＝4，
∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，
∴一元二次方程2x2－3x＋4＝0没有实数根．
12．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(A)
A．－2 B．3
C．3或－2 D．－3或2
【解析】设x1，x2是x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根，则Δ＝－4m≥0，
∴m≤0，∵x1＋x2＝－2m，x1·x2＝m2＋m，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2
＝4m2－2m2－2m＝2m2－2m＝12，
∴m＝3或m＝－2；又∵m≤0，∴m＝－2.
13．(2023·泸州中考)关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则(x＋2)(x＋2)的值是(B)
A．8 B．32
C．8或32 D．16或40
【解析】由题意得Δ＝(2m)2－4(m2－m)≥0，∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝m2－m＝2，
∴m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1(舍去)，∴x1＋x2＝－4，
(x＋2)(x＋2)＝(x1x2)2＋2(x1＋x2)2－4x1x2＋4，
＝22＋2×(－4)2－4×2＋4＝32.
14．(2024·张家界期中)对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝.例如4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－8x＋15＝0的两个根，则x1*x2＝__10或6__．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2－8x＋15＝0的两个根，
∴(x－5)(x－3)＝0，
解得x＝5或3，
①当x1＝5，x2＝3时，
x1*x2＝52－5×3＝25－15＝10；
②当x1＝3，x2＝5时，x1*x2＝3×5－32＝15－9＝6.
故x1*x2＝10或6.
15．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2－2(m＋1)x＋8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝____．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2＋BO2＝AB2＝52＝25，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2－2(m＋1)x＋8m＝0的两实数根，
∴2AO＋2BO＝2(m＋1)，2AO·2BO＝8m，
∴AO＋BO＝m＋1，AO·BO＝2m，
∴AO2＋BO2＝(AO＋BO)2－2AO×BO＝25，
∴(m＋1)2－4m＝25，解得：m1＝6，m2＝－4，
∴当m＝－4时，AO·BO＝－8<0，不符合题意，舍去，即m＝6，则AO·BO＝12，
AC·BD＝2AO·2BO＝4AO·BO＝48，
∵DH是AB边上的高，∴S菱形ABCD＝AB·DH＝AC·BD，∴5DH＝×48，∴DH＝.
16．已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若xx2＋x1x＝24，求k的值．
【解析】(1)由题意可知，Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0，
整理得：16＋8k－32≥0，解得k≥2，
∴k的取值范围是k≥2.
(2)由题意，得xx2＋x1x＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，
由根与系数的关系可知：x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，故有：(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24，整理得：k2－4k＋3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，
又由(1)中可知k≥2，∴k的值为3.
(选做)
17．阅读下列材料：已知实数p，q满足p2－p－1＝0，1－q－q2＝0，且p·q≠1，求的值．
解：∵1－q－q2＝0，q≠0，
∴每一项都除以q2得－－1＝0，
又∵p2－p－1＝0且p≠，∴p，是方程x2－x－1＝0的两实根，由根与系数关系得p＋＝1，
∴＝＋＝p＋＝1.
根据材料中所提供的方法，解答下列问题：
(1)已知实数a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
(2)已知实数p，q满足p2－2p－1＝0，1－2q－q2＝0且p·q≠1，求p2＋的值．
【解析】(1)∵a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，
∴当a＝b时，原式＝1＋1＝2；
当a≠b时，a，b可看作是方程x2－15x－5＝0的根，
由根与系数关系得a＋b＝15，ab＝－5，
∴＋＝＝－47；
故＋的值为－47或2.
(2)∵1－2q－q2＝0，q≠0，
∴每一项都除以q2得－2·－1＝0，
又p2－2p－1＝0，且p≠，
∴p，是方程x2－2x－1＝0的两实根，
由根与系数关系得p＋＝2，p·＝－1，
∴p2＋＝－2p·＝22－2×(－1)＝6.十一 一元二次方程根与系数的关系
知识点1 利用根与系数的关系求代数式的值
1．设方程x2－3x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2的值为( )
A．3 B．－ C． D．－2
2．(2024·长沙质检)已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则αβ的值为__ __．
3．(2024·邵阳质检)若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是__ __．
4．(2023·江西中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，则x1＋x2－x1x2＝__ __.
5．已知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，则m2＋n2＝__ __．
6．(2023·永州中考)若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.现已知一元二次方程px2＋2x＋q＝0的两根分别为m，n.
(1)若m＝2，n＝－4，求p，q的值；
(2)若p＝3，q＝－1，求m＋mn＋n的值．
知识点2 应用根与系数的关系确定方程中未知系数的值
7．关于x的一元二次方程x2＋(a2－3a)x＋a＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为( )
A．－3 B．0
C．1 D．－3或0
8．(2024·无锡质检)若一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－1 B．3
C．3或－1 D．－3或1
9．(2024·成都期中)若α2－2α＋k＝0，β2－2β＋k＝0，且α2－α＋β＝5，α≠β，则k＝__ __．
10．关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．
11．(2023·怀化中考)对于一元二次方程2x2－3x＋4＝0，则它的根的情况为( )
A．没有实数根
B．两根之和是3
C．两根之积是－2
D．有两个不相等的实数根
12．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为( )
A．－2 B．3
C．3或－2 D．－3或2
13．(2023·泸州中考)关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则(x＋2)(x＋2)的值是( )
A．8 B．32
C．8或32 D．16或40
14．(2024·张家界期中)对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝.例如4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－8x＋15＝0的两个根，则x1*x2＝__ __．
15．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2－2(m＋1)x＋8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝__ __．
16．已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若xx2＋x1x＝24，求k的值．
(选做)
17．阅读下列材料：已知实数p，q满足p2－p－1＝0，1－q－q2＝0，且p·q≠1，求的值．
解：∵1－q－q2＝0，q≠0，
∴每一项都除以q2得－－1＝0，
又∵p2－p－1＝0且p≠，∴p，是方程x2－x－1＝0的两实根，由根与系数关系得p＋＝1，
∴＝＋＝p＋＝1.
根据材料中所提供的方法，解答下列问题：
(1)已知实数a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
(2)已知实数p，q满足p2－2p－1＝0，1－2q－q2＝0且p·q≠1，求p2＋的值．
