十七 相似图形
知识点1 相似图形
1．下列图形不是相似图形的是( )
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C．某人的侧身照片和正面像
D．一棵树与它倒影在水中的像
2．下面给出的图形中，是相似图形的是( )
A．刚买的一副手套的左右两只
B．仅仅宽度不同的两块长方形木板
C．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形
D．各有一个角是40°的两个等腰三角形
3．观察下列图形，并填空：
与A相似的有__ __，与B相似的有__ __，与C相似的有__ __．
知识点2 相似三角形的概念及性质
4．如图，在正方形网格上有两个相似三角形，△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为( )
A.105° B．115° C．125° D．135°
5．(2024·张家界质检)若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是( )
A．△ABC∽△A′B′C′
B．△ABC与△A′B′C′的相似比为
C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等
D．△ABC与△A′B′C′的相似比为
6．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3 cm，4 cm，6 cm，另一个三角形的最短边长为4 cm，则它的最长边长为( )
A． cm B．8 cm C． cm D．12 cm
7．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x，y的长度和角α，β的大小．
8．设四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形．且A与E，B与F，C与G，D与H是对应点．已知AB＝10，BC＝8，CD＝8，AD＝6，EF＝8，求四边形EFGH的周长．
9．下列命题中的真命题是( )
A．两个矩形相似
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．有一个角对应相等的菱形相似
D．各边对应成比例的两个五边形相似
10．在下面给出的五组图形中，相似的有__ __．(只填序号)
11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫作这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝__ __度．
【加固训练】
已知四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是相似的图形，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知BC＝4，CD＝3.6，A′B′＝3.3，B′C′＝3，∠B＝75°，∠C＝105°，∠D＝95°，求AB，C′D′的长和∠A′的度数．
12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
13．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的大小．
(2)说明线段AC，CD，BD之间的数量关系．
(选做)
14．一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它们各边的中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)…，依此规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为Sn.请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn＋1(n>1)之间关系的等式．十七 相似图形
知识点1 相似图形
1．下列图形不是相似图形的是(C)
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C．某人的侧身照片和正面像
D．一棵树与它倒影在水中的像
【解析】A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，不合题意；
B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是相似图形，不合题意；
C．某人的侧身照片和正面像，不是相似图形，符合题意；
D．一棵树与它倒影在水中的像，是相似图形，不合题意．
2．下面给出的图形中，是相似图形的是(A)
A．刚买的一副手套的左右两只
B．仅仅宽度不同的两块长方形木板
C．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形
D．各有一个角是40°的两个等腰三角形
【解析】A.刚买的一副手套的左右两只，形状相同，大小相等，是全等形，符合相似图形的定义，符合题意；
B．仅仅宽度不同的两块长方形木板，对应长、宽的比值不相等，不符合相似图形的定义，不符合题意；
C．两条边之比都是2∶3的两个直角三角形不一定相似，应该说明是两直角边之比，故本选项错误；
D．各有一个角是40°的两个等腰三角形不一定相似，没有说明40°的角是顶角还是底角，故本选项错误．
3．观察下列图形，并填空：
与A相似的有__⑦__，与B相似的有__⑧__，与C相似的有__④__．
【解析】观察图形，根据相似图形的定义可知：
与A相似的图形有⑦；
与B相似的图形有⑧；
与C相似的图形有④.
知识点2 相似三角形的概念及性质
4．如图，在正方形网格上有两个相似三角形，△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为(D)
A.105° B．115° C．125° D．135°
【解析】∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°＋45°＝135°，
∴∠BAC＝135°.
5．(2024·张家界质检)若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是(B)
A．△ABC∽△A′B′C′
B．△ABC与△A′B′C′的相似比为
C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等
D．△ABC与△A′B′C′的相似比为
【解析】A.因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确；
B．由题意可知△ABC与△A′B′C′的相似比为，不是，错误；
C．因为△ABC∽△A′B′C′，所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确；
D．因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为，正确．
6．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3 cm，4 cm，6 cm，另一个三角形的最短边长为4 cm，则它的最长边长为(B)
A． cm B．8 cm C． cm D．12 cm
【解析】设另一个三角形的最长边长为x cm，∵两个三角形框架形状相同，∴＝，解得，x＝8.
7．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x，y的长度和角α，β的大小．
【解析】由题可知：β＝∠D′＝∠D＝55°，α＝∠A＝360°－55°－90°－60°＝155°，
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝，∴x＝6，y＝15.
8．设四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形．且A与E，B与F，C与G，D与H是对应点．已知AB＝10，BC＝8，CD＝8，AD＝6，EF＝8，求四边形EFGH的周长．
【解析】四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋8＋8＋6＝32，
∵四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形，
∴四边形ABCD的周长∶四边形EFGH的周长＝AB∶EF，
∴四边形EFGH的周长＝×32＝25.6.
9．下列命题中的真命题是(C)
A．两个矩形相似
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．有一个角对应相等的菱形相似
D．各边对应成比例的两个五边形相似
【解析】A.两个矩形，只是对应的角相等，对应边未必成比例，不一定相似，故本选项错误；
B．有一个角相等，这个角必须都是顶角或都是底角，否则两个等腰三角形不相似，故本选项错误；
C．一个角对应相等的菱形，形状相同，相似，故本选项正确；
D．各边对应成比例的两个五边形，各相应的角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
10．在下面给出的五组图形中，相似的有__②③__．(只填序号)
【解析】①形状不同，不相似，不符合题意；
②形状相同，大小不同，相似，符合题意；
③形状相同，大小不同，相似，符合题意；
④形状不同，不相似，不符合题意；
⑤形状不同，不相似，不符合题意．
11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫作这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝__145__度．
【解析】∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵对角线BD是它的相似对角线，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，
∴∠A＋∠C＝∠ADC，
又∵∠A＋∠C＋∠ADC＝360°－70°＝290°，
∴∠ADC＝145°.
【加固训练】
已知四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是相似的图形，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知BC＝4，CD＝3.6，A′B′＝3.3，B′C′＝3，∠B＝75°，∠C＝105°，∠D＝95°，求AB，C′D′的长和∠A′的度数．
【解析】在四边形ABCD中，∠A＝360°－75°－105°－95°＝85°，
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴AB∶A′B′＝CD∶C′D′＝BC∶B′C′＝4∶3，∠A′＝∠A＝85°，
∵A′B′＝3.3，CD＝3.6，
∴AB＝4.4，C′D′＝2.7.
12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
【解析】∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴＝，即＝，解得DF＝3，
∴EF＝＝＝.
13．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的大小．
(2)说明线段AC，CD，BD之间的数量关系．
【解析】(1)∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A＋∠APC＝60°.
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A＋∠B＝60°，
∴∠APB＝120°.
(2)∵△ACP∽△PDB，
∴＝.
又∵△PCD是等边三角形，
∴CD2＝AC·BD.
(选做)
14．一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它们各边的中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)…，依此规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为Sn.请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn＋1(n>1)之间关系的等式．
【解析】设△DEF的面积是a，
则Sn－1＝，Sn＝，Sn＋1＝，
根据＝·，
因而Sn－1，Sn，Sn＋1三者之间的表达式是S＝Sn－1·Sn＋1.
