十五 成比例线段
1．如图，C是线段AB上的一点，且AC∶CB＝2∶3，那么AB∶BC等于(B)
A．2∶3 B．5∶3 C．3∶2 D．3∶5
【解析】∵AC∶CB＝2∶3，
∴设AC＝2x，则CB＝3x，AB＝5x，则AB∶BC＝5∶3.
2．下列a，b，c，d四条线段，不是成比例线段的是(B)
A．a＝2，b＝5，c＝5，d＝12.5
B．a＝0.5，b＝0.02，c＝0.7，d＝0.3
C．a＝30，b＝2，c＝12，d＝
D．a＝5，b＝3，c＝5，d＝3
【解析】A.2×12.5＝5×5，故A选项不符合题意；
B．0.5×0.3≠0.02×0.7，故B选项符合题意；
C．×30＝2×12，故C选项不符合题意；
D．3×5＝3×5，故D选项不符合题意．
3．(2024·娄底期中)校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10 cm，那么AP的长度为________cm.(C)
A．－1 B．2－2
C．5－5 D．10－10
【解析】∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB＝10 cm，
∴AP＝AB＝×10＝5－5(cm).
4．已知线段a，b，c的长度分别为a＝1，b＝2，c＝3，如果线段d和已知的三个线段是成比例线段，那么线段d的长度不等于(D)
A．6 B． C． D．
【解析】A.1×6＝2×3，故线段d的长度能与a，b，c构成比例线段；
B．1×3＝2×，故线段d的长度能与a，b，c构成比例线段；
C．1×2＝3×，故线段d的长度能与a，b，c构成比例线段；
D．1×≠2×3，故线段d的长度不能与a，b，c构成比例线段．
5．央视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人至少应走到离A点________米处．(D)
A．10 B．15
C．10 D．30－10
【解析】由题意得主持人至少应走到离A点20－20×＝(30－10)米处．
6．(2024·长沙质检)已知四条线段a，2，a＋1，6成比例，则a的值为____．
【解析】∵四条线段a，2，a＋1，6成比例，
∴＝，∴6a＝2(a＋1)，∴6a＝2a＋2，∴4a＝2，∴a＝.
7．如图，4×4方格中的四条线段AB，CD，EF，GH是不是比例线段？请说明理由．
【解析】AB，CD，EF，GH不是比例线段，理由如下：AB＝＝，CD＝＝，EF＝2，GH＝4，∵∶≠2∶4，
∴AB，CD，EF，GH不是比例线段．
8．如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，称矩形ABCD为“黄金矩形”．在“黄金矩形”ABCD中，若AD＝2，求BE的长．
【解析】∵四边形AEFD是正方形，
∴AE＝AD＝EF＝2，
∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴＝，即＝
解得：BE＝－1，BE＝－－1(舍去).
【加固训练】
如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数．
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由．
②求AD的长．
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A，B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，并简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵BD＝DC＝AC，
∴∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A.
设∠B＝x，
则∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x.
又∠ACE＝108°，
∴∠B＋∠A＝108°，
∴x＋2x＝108°，
∴x＝36°，即∠B＝36°.
(2)①图中有3个黄金三角形，
即△BDC，△ADC，△BAC.
∵DB＝DC，∠B＝36°，
∴△BDC是黄金三角形．
∵CD＝CA，∠ACD＝180°－∠ACE－∠DCB＝36°，
∴△ADC是黄金三角形．
∵∠ACE＝108°，
∴∠ACB＝72°.
又∵∠A＝∠CDA＝2∠B＝72°，
∴∠A＝∠ACB，
∴BA＝BC.
又∵∠B＝36°，
∴△BAC是黄金三角形．
②∵△BAC是黄金三角形，
∴＝.
∵BC＝2，
∴AC＝－1.
∵BA＝BC＝2，BD＝AC＝－1，
∴AD＝BA－BD＝2－(－1)＝3－.
③存在，有三个符合条件的点P，
即P1，P2，P3，如图．
(ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线与直线AB，BC分别交于点P1，P2.
(ⅱ)以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3.十五 成比例线段
1．如图，C是线段AB上的一点，且AC∶CB＝2∶3，那么AB∶BC等于( )
A．2∶3 B．5∶3 C．3∶2 D．3∶5
2．下列a，b，c，d四条线段，不是成比例线段的是( )
A．a＝2，b＝5，c＝5，d＝12.5
B．a＝0.5，b＝0.02，c＝0.7，d＝0.3
C．a＝30，b＝2，c＝12，d＝
D．a＝5，b＝3，c＝5，d＝3
3．(2024·娄底期中)校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10 cm，那么AP的长度为________cm.( )
A．－1 B．2－2
C．5－5 D．10－10
4．已知线段a，b，c的长度分别为a＝1，b＝2，c＝3，如果线段d和已知的三个线段是成比例线段，那么线段d的长度不等于( )
A．6 B． C． D．
5．央视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人至少应走到离A点________米处．( )
A．10 B．15
C．10 D．30－10
6．(2024·长沙质检)已知四条线段a，2，a＋1，6成比例，则a的值为__ __．
7．如图，4×4方格中的四条线段AB，CD，EF，GH是不是比例线段？请说明理由．
8．如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，称矩形ABCD为“黄金矩形”．在“黄金矩形”ABCD中，若AD＝2，求BE的长．
【加固训练】
如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.
(1)求∠B的度数．
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由．
②求AD的长．
③在直线AB或BC上是否存在点P(点A，B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，并简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，请说明理由．
