二十二 相似三角形的应用
知识点1 测量宽度
1.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：
①BC，CD，DE；②CD，BC，EF；
③EF，DE，BD；④EF，FD，BC.
能根据所测数据，求出A，B间距离的有(A)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解析】①仅知道DE，DC，BC无法求出AB；
②仅知道CD，BC，EF无法求出AB；
③由于已知EF，DE，BD，
根据△FED∽△ABD即可求出AB的长；
④仅知道EF，FD，BC无法求出AB.
2．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O.若线段AB＝4 cm，则线段CD长为(C)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE，OF分别是△AOB，△DOC的高线，
∵作业本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，即＝，
∴CD＝6 cm.
3．(2024·常德质检)一把剪刀如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，当手握的地方EC张开3 cm时，剪刀的尖端A，D两点的距离为__6__ cm.
【解析】∵AB＝2BC，BD＝2BE，
∴＝2，＝2，∴＝，
又∵∠ABD＝∠CBE，∴△ADB∽△CEB，
∴＝，∴＝2，
解得：AD＝6 cm.
4．如图的比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果螺丝钉点O的位置使OA＝3OD，OB＝3OC，那么，当A，B两点间的距离为5时，C，D两点间的距离为____.
【解析】∵∠COD＝∠BOA，OA＝3OD，OB＝3OC，
∴△ABO∽△DCO，
∴＝，即＝，∴CD＝.
【加固训练】
如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D.这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm.求点A与点B之间的距离．
【解析】连接AB交直线OC于点E，
∵这个侧面图是轴对称图形，得AB⊥OE，AE＝BE，
∴OC＝＝
＝26(mm).
∵∠AOE＝∠COD，∠OEA＝∠ODC＝90°，
∴△OAE∽△OCD.
∴＝，即＝，∴AE＝15 mm，
∴AB＝2AE＝30 mm.
知识点2 测量高度
5.如图，铁道口的栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m，当短臂外端A下降0.5 m时，长臂外端B升高(B)
A．2 m B．4 m C．4.5 m D．8 m
【解析】如图所示，
由题意知OC＝OA＝1，OD＝OB＝8，CE＝0.5，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE∥DF，
∴△OCE∽△ODF，
∴＝，即＝，
解得DF＝4，即长臂外端B升高4 m．
6．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30 cm，光源到屏幕的距离为90 cm，且幻灯片中的图形的高度为7 cm，则屏幕上图形的高度为(A)
A．21 cm B．14 cm C．6 cm D．24 cm
【解析】如图所示，∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，∴＝，
设屏幕上的图形高是x cm，则＝，
解得x＝21.
故屏幕上图形的高度为21 cm.
7．如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？
【解析】过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H，M为垂足，则∠A＋∠AEH＝90°.
∵∠AEC＝90°，∴∠AEH＋∠CEM＝90°，
∴∠A＝∠CEM.
∵∠AHE＝∠CME＝90°，
∴△AHE∽△EMC，
∴＝，即＝，解得CM＝6，
∴CD＝CM＋DM＝6＋1.5＝7.5(米).
8．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了(A)
A．0.5米 B．0.6米
C．0.3米 D．0.9米
【解析】如图：∵AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD∶DE＝AB∶EF，
∴0.6∶1＝0.3∶EF，
∴EF＝0.5米．
∴捣头点E上升了0.5米．
9．如图是小明做的一个风筝支架示意图，已知BC∥DE，AB∶BD＝3∶5，BC＝30 cm，则DE的长是(D)
A．50 cm B．60 cm C．70 cm D．80 cm
【解析】∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵AB∶BD＝3∶5，∴＝，
∵BC＝30 cm，∴＝，∴DE＝80 cm.
10．(2024·益阳质检)如图1，小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架，如图2是晒衣架的侧面示意图，经测量：OC＝OD＝126 cm，OA＝OB＝56 cm，且AB＝32 cm，则此时C，D两点间的距离是__72__ cm.
【解析】如图，连接CD，由题意可得：AB∥CD，则△OAB∽△OCD，故＝＝，
则＝，解得：CD＝72 cm.
11.如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形).已知桌面的直径为1.2 m，桌面距地面1 m，若灯泡距离地面3 m，则地上阴影部分的面积为__0.81π__m2.
【解析】构造几何模型如图：
依题意知DE＝1.2 m，FG＝1 m，OG＝3 m，
由△DOE∽△BOC得＝，
即＝，
得BC＝1.8，
∴S圆＝·π＝·π＝0.81π.
12．如图所示，D，E之间要挖建一条直线隧道，为计算隧道长度，工程人员在线段AD和AE上选择了测量点B，C，已知测得AD＝100，AE＝200，AB＝40，AC＝20，BC＝30，则通过计算可得DE长为__150__．
【解析】∵AD＝100，AE＝200，AB＝40，AC＝20，
∴＝＝，＝＝，∴＝，
而∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，
∴＝，∴DE＝5BC＝5×30＝150.
【加固训练】
1.如图，四边形ABCD是某校一块学农基地，其中△ABD是蔬菜园，△CDB是水果园，已知AB∥CD，AB＝40 m，BD＝60 m，CD＝90 m.
(1)求证：△ABD∽△BDC；
(2)若蔬菜园△ABD的面积为800 m2，求水果园△CDB的面积．
【解析】(1)∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，
又∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴△ABD∽△BDC；
(2)∵△ABD∽△BDC，
∴＝＝，
∴S△CDB＝800÷＝1 800(m2).
2.如图，小明要测量操场旗杆高度AH.立两根高1米的标杆BC和DE，两杆相距BD＝15米，D，B，H在同一直线上，小明从BC退行2米到F，从F观察A，此时A，C，F三点共线；从DE退行3米到G，从G看A，此时A，E，G三点也共线．请你帮小明算出旗杆的高度AH及HB的距离．
【解析】设BH＝x米，AH＝y米，
根据题意可得：BC∥AH，DE∥AH，
则△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，
故＝，＝，
即＝，＝，
则＝，
解得：x＝30，y＝16，
答：旗杆的高度AH为16米，HB的距离为30米．
(选做)
13．某中学的图书馆与实验楼中间有一地标牌AB，小鸣和小夕两位同学分别在图书馆和实验楼的C，E两点处观测地标牌的顶端A，他们的视线如图所示，小鸣从点C处可以看到地面上距离图书馆底部10米远的点G处，小夕从点E处恰好可以看到图书馆的底部D处，已知图中的所有点均在同一平面内，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，CD＝6米，EF＝3米，DF＝25米，请你根据以上数据，求该地标牌的高度AB及它与图书馆之间的距离BD.(结果精确到0.1米)
【解析】设AB＝x米，BD＝y米，
∵CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，
∴AB∥CD∥EF，
∴△ABG∽△CDG，
△DAB∽△DEF，
∴＝，＝，
∵CD＝6米，EF＝3米，DF＝25米，DG＝10米，
∴解得
∴x＝1，y≈8.3.
答：地标牌的高度AB的长为1米，它与图书馆之间的距离BD的长约为8.3米．二十二 相似三角形的应用
知识点1 测量宽度
1.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：
①BC，CD，DE；②CD，BC，EF；
③EF，DE，BD；④EF，FD，BC.
能根据所测数据，求出A，B间距离的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O.若线段AB＝4 cm，则线段CD长为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
3．(2024·常德质检)一把剪刀如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，当手握的地方EC张开3 cm时，剪刀的尖端A，D两点的距离为__ __ cm.
4．如图的比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果螺丝钉点O的位置使OA＝3OD，OB＝3OC，那么，当A，B两点间的距离为5时，C，D两点间的距离为__ __.
【加固训练】
如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D.这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm.求点A与点B之间的距离．
知识点2 测量高度
5.如图，铁道口的栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m，当短臂外端A下降0.5 m时，长臂外端B升高( )
A．2 m B．4 m C．4.5 m D．8 m
6．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30 cm，光源到屏幕的距离为90 cm，且幻灯片中的图形的高度为7 cm，则屏幕上图形的高度为( )
A．21 cm B．14 cm C．6 cm D．24 cm
7．如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？
8．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了( )
A．0.5米 B．0.6米
C．0.3米 D．0.9米
9．如图是小明做的一个风筝支架示意图，已知BC∥DE，AB∶BD＝3∶5，BC＝30 cm，则DE的长是( )
A．50 cm B．60 cm C．70 cm D．80 cm
10．(2024·益阳质检)如图1，小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架，如图2是晒衣架的侧面示意图，经测量：OC＝OD＝126 cm，OA＝OB＝56 cm，且AB＝32 cm，则此时C，D两点间的距离是__ __ cm.
11.如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形).已知桌面的直径为1.2 m，桌面距地面1 m，若灯泡距离地面3 m，则地上阴影部分的面积为__ __m2.
12．如图所示，D，E之间要挖建一条直线隧道，为计算隧道长度，工程人员在线段AD和AE上选择了测量点B，C，已知测得AD＝100，AE＝200，AB＝40，AC＝20，BC＝30，则通过计算可得DE长为__ __．
【加固训练】
1.如图，四边形ABCD是某校一块学农基地，其中△ABD是蔬菜园，△CDB是水果园，已知AB∥CD，AB＝40 m，BD＝60 m，CD＝90 m.
(1)求证：△ABD∽△BDC；
(2)若蔬菜园△ABD的面积为800 m2，求水果园△CDB的面积．
2.如图，小明要测量操场旗杆高度AH.立两根高1米的标杆BC和DE，两杆相距BD＝15米，D，B，H在同一直线上，小明从BC退行2米到F，从F观察A，此时A，C，F三点共线；从DE退行3米到G，从G看A，此时A，E，G三点也共线．请你帮小明算出旗杆的高度AH及HB的距离．
(选做)
13．某中学的图书馆与实验楼中间有一地标牌AB，小鸣和小夕两位同学分别在图书馆和实验楼的C，E两点处观测地标牌的顶端A，他们的视线如图所示，小鸣从点C处可以看到地面上距离图书馆底部10米远的点G处，小夕从点E处恰好可以看到图书馆的底部D处，已知图中的所有点均在同一平面内，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，CD＝6米，EF＝3米，DF＝25米，请你根据以上数据，求该地标牌的高度AB及它与图书馆之间的距离BD.(结果精确到0.1米)
