二十一 相似三角形的性质
知识点1 相似三角形的重要线段
1．(2024·衡阳质检)下列有关相似三角形的性质，正确的是(B)
A．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们对应角平分线的比为16∶81
B．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们的对应高的比为4∶9
C．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们的面积的比为2∶3
D．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们对应中线的比为2∶3
【解析】A.如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们对应角平分线的比为4∶9；对应高的比为4∶9，它们的面积的比为16∶81，对应中线的比为4∶9，∴B正确，A，C，D错误．
2．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A，B，C分别与A1，B1，C1对应，AC＝12，A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1为__4__.
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12，
A1C1＝8，
∴相似比为＝，
∵△ABC的高AD为6，
∴△A1B1C1的高A1D1为6×＝4.
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D ，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.若AC＝3，AB＝5，求DE∶DF的值．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝4，∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，
∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴＝＝.
知识点2 相似三角形的周长和面积
4．如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是(A)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【解析】∵△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，
∴＝，A正确；∴＝，B错误；
∴＝，C错误；＝，D错误．
5．(2023·遂宁中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3 cm2，则四边形BDEC的面积为(B)
A．12 cm2 B．9 cm2 C．6 cm2 D．3 cm2
【解析】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵S△ADE＝3，∴S△ABC＝12，
∴S四边形BDEC＝12－3＝9(cm2).
6．如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为__12__.
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是AB的中点，
∴＝，∴＝，
∵△ADE的周长为6，∴△ABC的周长为12.
7．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
【解析】(1)∵＝，
∴△DEF的周长＝12×＝8(cm).
(2)∵＝，
∴△DEF的面积＝30×＝(cm2).
8．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为(C)
A．2a B．a C．3a D．a
【解析】∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝2，
即＝，
解得△BCA的面积为4a，
∴△ABD的面积为：4a－a＝3a.
9．一个三角形三边长分别为5，5，6，与它相似的三角形最长边为9，则后一个三角形面积是(C)
A．18 B．28 C．27 D．24
【解析】如图，AB＝AC＝5，BC＝6，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝BC＝3，
在Rt△ABD中，AD＝＝4，
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×4＝12，
∵与△ABC相似的三角形最长边为9，
∴相似比为6∶9＝2∶3，
∴面积比为4∶9，
∴后一个三角形的面积为12×＝27.
10．(2024·邵阳质检)已知△ABC∽△DEF，S△ABC＝5S△DEF，C△ABC∶C△DEF＝m∶1(注：S表示面积，C表示周长)，则的值是(C)
A．1 B． C． D．5
【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC＝5S△DEF，
∴＝，∴C△ABC∶C△DEF＝∶1，
∴m＝，∴＝＝.
11．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB，AC，BC，则S△ABO∶S△AOC∶S△BOC ＝(B)
A．6∶2∶1 B．3∶2∶1
C．6∶3∶2 D．4∶3∶2
【解析】连接BF.设平行四边形AFEO的面积为4m.
∵FO∶OC＝3∶1，BE＝OB，AF∥OE，
∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，
S△AOC＝m，
∴S△ABO∶S△AOC∶S△BOC＝m∶m∶m＝3∶2∶1.
12．如果两个相似三角形的面积比为k2，周长比为(1－k)，那么k＝____．
【解析】根据题意得k2＝(1－k)2，
解得k＝，即k的值为.
【加固训练】
(2023·镇江中考)如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝____.
【解析】∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM，AN分别为△ADE，△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝.
13．(2023·黄冈中考)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
【解析】(1)∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；
(2)∵△ABC∽△DEC，
∴＝＝，
又∵BC＝6，∴CE＝9.∴EC的长为9.
【加固训练】
如图，在 ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且AF＝2FD.
(1)求证：△ABF∽△CEB.
(2)若△CEB的面积为9，求 ABCD的面积．
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵AF＝2FD，∴AD＝3FD，
∴DF∶BC＝1∶3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，
∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2，S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2，
∵△CEB的面积为9，∴△FDE的面积为1，
∴△ABF的面积为4，
∴ ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
(选做)
14．如图，已知G，H分别是 ABCD对边AD，BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E，F.
(1)当＝时，求的值．
(2)连接BD交EF于点M，求证：MG·ME＝MF·MH.
【解析】(1)∵＝，∴＝.
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴△CFH∽△DFG，∴＝()2＝.
∴＝.
(2)∵在 ABCD中，AD∥BC，∴＝.
∵在 ABCD中，AB∥CD，
∴＝，∴＝.
∴MG·ME＝MF·MH.二十一 相似三角形的性质
知识点1 相似三角形的重要线段
1．(2024·衡阳质检)下列有关相似三角形的性质，正确的是( )
A．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们对应角平分线的比为16∶81
B．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们的对应高的比为4∶9
C．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们的面积的比为2∶3
D．如果两个相似三角形的相似比为4∶9，那么它们对应中线的比为2∶3
2．已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A，B，C分别与A1，B1，C1对应，AC＝12，A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1为__ __.
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D ，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.若AC＝3，AB＝5，求DE∶DF的值．
知识点2 相似三角形的周长和面积
4．如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
5．(2023·遂宁中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3 cm2，则四边形BDEC的面积为( )
A．12 cm2 B．9 cm2 C．6 cm2 D．3 cm2
6．如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为__ __.
7．已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
8．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为( )
A．2a B．a C．3a D．a
9．一个三角形三边长分别为5，5，6，与它相似的三角形最长边为9，则后一个三角形面积是( )
A．18 B．28 C．27 D．24
10．(2024·邵阳质检)已知△ABC∽△DEF，S△ABC＝5S△DEF，C△ABC∶C△DEF＝m∶1(注：S表示面积，C表示周长)，则的值是( )
A．1 B． C． D．5
11．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB，AC，BC，则S△ABO∶S△AOC∶S△BOC ＝( )
A．6∶2∶1 B．3∶2∶1
C．6∶3∶2 D．4∶3∶2
12．如果两个相似三角形的面积比为k2，周长比为(1－k)，那么k＝__ __．
【加固训练】
(2023·镇江中考)如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__ __.
13．(2023·黄冈中考)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
【加固训练】
如图，在 ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且AF＝2FD.
(1)求证：△ABF∽△CEB.
(2)若△CEB的面积为9，求 ABCD的面积．
(选做)
14．如图，已知G，H分别是 ABCD对边AD，BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E，F.
(1)当＝时，求的值．
(2)连接BD交EF于点M，求证：MG·ME＝MF·MH.
