二十八 正切
知识点1 正切
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的正切值为( )
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则BC的长为( )
A．2 B．6 C．8 D．10
3．(2024·永州质检)如图，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为( )
A． B． C．2 D．3
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则tan A＝__ __．
5.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan ∠ADC的值．
知识点2 锐角三角函数的计算
6．(2024·常德期中)下面结论中正确的是( )
A．sin 60°＝ B．tan 60°＝
C．sin 45°＝ D．cos 30°＝
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则∠B的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．在Rt△ABC中，∠α为锐角，且sin (α－15°)＝，则tan α的值为( )
A． B． C．1 D．
9．计算：2sin 60°－tan 60°＋cos 45°＝____．
10．求下列各式的值．
(1)sin 45°·cos 45°＋tan 60°·sin 60°；
(2)sin 30°－tan245°＋tan230°－cos60°.
11．在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，则下列结论正确的是( )
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．tan B＝
12．(2024·娄底质检)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是( )
A． B． C．2 D．
【加固训练】
如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )
A． B． C． D．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，BC＝3，则AC的长为__ __．(用科学计算器计算，结果精确到0.01)
14．在△ABC中，若＋(－tan B)2＝0，则∠C的度数是__ __．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB长为5，S△ABC＝6，则tan A＋tan B的值为__．
16．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三角函数值．
17．(2023·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；
(2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值．
(选做)
18．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan 15°的值．(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)二十八 正切
知识点1 正切
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的正切值为(D)
A． B． C． D．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，∴设BC＝3x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝4x，
∴tan A＝＝＝，即∠A的正切值为.
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则BC的长为(B)
A．2 B．6 C．8 D．10
【解析】设BC＝3x，∵tan A＝，
∴＝，∴AC＝4x，由勾股定理得，
BC2＋AC2＝AB2，即(3x)2＋(4x)2＝102，
解得x＝2，∴BC＝3x＝6.
3．(2024·永州质检)如图，在4×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为(C)
A． B． C．2 D．3
【解析】∵每个小正方形的边长都是1，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，则AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，
∴tan ∠ACB＝＝2.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则tan A＝__2__．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC∶BC＝1∶2，∴tan A＝＝2.
5.已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan ∠ADC的值．
【解析】根据题意可得，AC＝BC＝，CD＝CE＝，AD＝BE＝5，
∴△ACD≌△BCE.∴∠ADC＝∠BEC.
∴tan ∠ADC＝tan ∠BEC＝.
知识点2 锐角三角函数的计算
6．(2024·常德期中)下面结论中正确的是(B)
A．sin 60°＝ B．tan 60°＝
C．sin 45°＝ D．cos 30°＝
【解析】A.sin 60°＝；C.sin 45°＝；D.cos 30°＝，选项A，C，D错误．
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则∠B的度数是(C)
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解析】∵tan 30°＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
8．在Rt△ABC中，∠α为锐角，且sin (α－15°)＝，则tan α的值为(C)
A． B． C．1 D．
【解析】∵sin (α－15°)＝，
∴α－15°＝30°，∴α＝45°，∴tan α＝1.
9．计算：2sin 60°－tan 60°＋cos 45°＝____．
【解析】原式＝2×－＋×
＝－＋＝.
10．求下列各式的值．
(1)sin 45°·cos 45°＋tan 60°·sin 60°；
(2)sin 30°－tan245°＋tan230°－cos60°.
【解析】(1)原式＝×＋×＝＋＝2；
(2)原式＝－12＋×－
＝－1＋－＝－.
11．在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，则下列结论正确的是(C)
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．tan B＝
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，所以＝＝tan A，设BC＝4k，则AC＝3k，AB＝＝5k，所以sin A＝＝，
cos A＝＝，tan B＝＝.
12．(2024·娄底质检)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是(D)
A． B． C．2 D．
【解析】如图所示，连接BD.则BD＝，AD＝2，AB＝，
∴AD2＋BD2＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴tan A＝＝＝.
【加固训练】
如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(B)
A． B． C． D．
【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为点D.
根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.
在Rt△BCD中，tan B＝＝，
∴tan B′＝tan B＝.
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，BC＝3，则AC的长为__8.16__．(用科学计算器计算，结果精确到0.01)
【解析】tan 42°≈0.900 4，≈0.900 4，AC≈8.16.
14．在△ABC中，若＋(－tan B)2＝0，则∠C的度数是__75°__．
【解析】∵＋(－tan B)2＝0，
∴sin A－＝0，－tan B＝0，则sin A＝，tan B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB长为5，S△ABC＝6，则tan A＋tan B的值为____．
【解析】在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2＝25，
tan A＝，tan B＝，
∵S△ABC＝6，即BC×AC＝6，∴BC×AC＝12.
∴tan A＋tan B＝＋＝＝.
16．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5.求∠A的三角函数值．
【解析】在Rt△BCD中，∵CD＝3，BD＝5，
∴BC＝＝＝4，
又AC＝AD＋CD＝8，
∴AB＝＝＝4，
则sin A＝＝＝，
cos A＝＝＝，
tan A＝＝＝.
17．(2023·广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；
(2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值．
【解析】(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，
C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1.
(2)设AD＝x，则BD＝3x，
∵BD＝CD，
∴AC＝AD＋CD＝4x，
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2x.
∴tan ∠ABC＝＝＝.
(选做)
18．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan 15°的值．(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)
【解析】(1)过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠C＝150°，∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
CD＝AC·cos 30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tan B＝＝＝，
∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－2.
(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan 15°＝tan ∠AMD＝＝＝＝2－≈0.3.
