二十六 正弦和余弦(第2课时)
知识点1 特殊角的正弦值
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sin B的值为( )
A． B．1 C． D．
2．已知锐角α满足sin (α＋20°)＝1，则锐角α的度数为( )
A．10° B．25° C．40° D．45°
3．(2024·邵阳质检)计算1－2sin245°的结果是( )
A．－1 B．0 C． D．1
4．计算：6sin30°＋4sin 60°＝__ __．
5．已知∠α与∠β互补，且∠α＝120°，则∠β的正弦值为__ __．
6．已知锐角A满足4sin2A＝3，则∠A＝__ __．
7．求值：
(1)sin 30°＋sin245°－sin260°.
(2)(－1)－1＋－6sin45°＋(－1)2 023.
知识点2 利用计算器计算
8．用计算器求sin 24°37′的值，以下按键顺序正确的是( )
A．
B．
C．
D．
9．用科学计算器计算：4sin 44°－≈__ __．(精确到0.01)
10．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|2sin B－1|＋(2sin A－)2＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．不确定
11．(2024·张家界质检)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin ∠AOC的值为( )
A． B． C． D．
12．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，BC＝2，那么∠ABC为( )
A．45° B．60°或120°
C．45°或135° D．30°
13．用科学计算器计算：sin 87°≈__ __(精确到0.01).
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB＝8，则AE＝__ __.
15．计算：
(1)2sin230°＋sin60°－sin245°；
(2)|－1|－2sin45°＋＋.
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．
(选做)
17．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，且2b＝a＋c.
(1)求∠A的正弦值；
(2)当b＝20时，求c的值．二十五 正弦和余弦(第1课时)
知识点1 正弦的意义
1．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sin A的值(C)
A．扩大100倍 B．缩小
C．不变 D．不能确定
【解析】锐角A的三角函数值随着∠A度数的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，因此sin A的值不会随着边长的扩大而变化．
2．(2023·云南中考)在△ABC中，∠ABC＝90°.若AC＝100，sin A＝，则AB的长是(D)
A． B． C．60 D．80
【解析】∵AC＝100，sin A＝，
∴BC＝60，∴AB＝＝80.
3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是(A)
A． B． C． D．
【解析】由题图可得，直角三角形的斜边长为＝5，
∴sin α＝.
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sin A的值为(C)
A． B． C． D．
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，不妨设AC＝k，则BC＝2k，由勾股定理得，
AB＝＝k，所以sin A＝＝.
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B的对边，如果sin A∶sin B＝2∶3，那么a∶b等于__2∶3__.
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B的对边，c为∠C的对边，
∴sin A＝，sin B＝，
∵sin A∶sin B＝2∶3，
∴∶＝2∶3，
∴a∶b＝2∶3.
6．已知直角三角形中两条直角边的差是7 cm，斜边的长是13 cm，求较小锐角α的正弦值．
【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c＝13 cm，BC＝a，AC＝b，设a根据条件可得：
解得：
∴sin α＝sin A＝.
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．已知c＝12，sin A＝，求b.
【解析】∵c＝12，sin A＝＝，∴a＝4，
∴b＝＝8.
知识点2 30°角的正弦值
8．计算：2sin 30°－1＝__0__．
【解析】原式＝2×－1＝0.
9．(2024·益阳质检)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin ∠ADE的值为____．
【解析】∵DE∥BC，∠B＝30°，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∴sin ∠ADE＝sin 30°＝.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD的是(C)
A． B． C． D．
【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，
∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，
∴sin ∠BCD＝sin A＝＝＝，
即只有选项C错误，选项A，B，D都正确．
11．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sin α的值是(D)
A． B． C． D．
【解析】作AC⊥x轴于点C，由题意得BC＝3，AC＝4，由勾股定理得AB＝5，则sin α＝＝.
12．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC＝(B)
A． B． C． D．
【解析】如图，作BD⊥AC于D，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得AB＝＝，AC＝＝3，
∵S△ABC＝AC·BD＝×3·BD＝×1×3，
∴BD＝，∴sin ∠BAC＝＝＝.
13．一直角三角形中，斜边与一直角边的比是13∶12，最小角为α，则sin α＝____．
【解析】设斜边为13x，则一直角边的边长为12x，另一直角边的边长＝x＝5x.
∴sin α＝.
14．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则最小角的正弦值是____．
【解析】设这三个内角分别为x，2x，3x，
由题意得，x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，
即最小角为30°，
最小角的正弦值是sin 30°＝.
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，△ABC的面积为，则sin B＝____．
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝5，△ABC的面积为，
∴BC·AC＝，∴BC＝，
∴AB＝＝＝，
∴sin B＝＝＝.
16．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC的正弦值为____.
【解析】连接BC，如图，设小正方形的边长为1，
∵CB＝＝，AC＝＝，AB＝＝，∴CB2＋CA2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴sin ∠BAC＝＝＝，
即∠BAC的正弦值为.
17．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求sin ∠ECM的值．
【解析】设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，
EM＝＝x，
CM＝＝2x，
∴EM2＋CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin ∠ECM＝＝.
18．如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4).
(1)写出点A的坐标；
(2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1；
(3)求出sin ∠A1OB1的值．
【解析】(1)从图上读出点A的坐标为(3，4).
(2)
(3)根据勾股定理得OA1＝＝5，
∴sin ∠A1OB1＝.
(选做)
19．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2＝(c＋a)(c－a)，且5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．
【解析】∵b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2，
即：a2＋b2＝c2，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形，
∵5b－4c＝0，∴＝，
设b＝4k，则c＝5k，∴a＝3k，
∴sin A＋sin B＝＋＝＋＝＋＝.二十七 正弦和余弦(第3课时)
知识点1 余弦
1．(2024·桂林期中)将Rt△ABC(∠C＝90°)的三边长度同时扩大到原来的2倍，则∠A的余弦值将( )
A．缩小2倍 B．扩大2倍
C．扩大4倍 D．保持不变
2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2AC，则cos A的值为( )
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，则BC的长为( )
A．6 B．8 C．10 D．9
4．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos ∠ABC的值为__ __．
5．如果α是锐角，且sin α＝cos 20°，那么α＝__ __度．
知识点2 特殊角的余弦值
6．已知cos α＝，且α是锐角，则α＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．(2024·娄底质检)计算sin230°＋cos260°的结果为( )
A． B． C．1 D．
8．已知α是锐角，且1－cosα＝0，则∠α＝__ __.
9．(2023·德阳中考)计算：(－1)3＋|－1|－＋2cos 45°－.
10．(2024·怀化质检)如图，AD是△ABC的高，cos B＝，sin C＝，AC＝10，求AB和BC的长．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于( )
A．3sin α B．3cos α C． D．
12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cos A的是( )
A． B． C． D．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sin A＋cos B的值为( )
A． B． C． D．
14．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A＝，cos B＝，那么∠C＝__ __．
15．用计算器计算：－4cos 26°≈__ __．(精确到0.01)
16．如图，已知A，B，C，D四点的坐标分别是(3，0)，(0，4)，(12，0)，(0，9)，探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．
(选做)
18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD＝x.
(1)求证：△ACB∽△BCD.
(2)求x的值．
(3)求cos 36°－cos 72°的值．二十五 正弦和余弦(第1课时)
知识点1 正弦的意义
1．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sin A的值( )
A．扩大100倍 B．缩小
C．不变 D．不能确定
2．(2023·云南中考)在△ABC中，∠ABC＝90°.若AC＝100，sin A＝，则AB的长是( )
A． B． C．60 D．80
3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是( )
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sin A的值为( )
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B的对边，如果sin A∶sin B＝2∶3，那么a∶b等于__ __.
6．已知直角三角形中两条直角边的差是7 cm，斜边的长是13 cm，求较小锐角α的正弦值．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．已知c＝12，sin A＝，求b.
知识点2 30°角的正弦值
8．计算：2sin 30°－1＝__ __．
9．(2024·益阳质检)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin ∠ADE的值为__ __．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD的是( )
A． B． C． D．
11．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sin α的值是( )
A． B． C． D．
12．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC＝( )
A． B． C． D．
13．一直角三角形中，斜边与一直角边的比是13∶12，最小角为α，则sin α＝__
14．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则最小角的正弦值是__ __．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，△ABC的面积为，则sin B＝__ __．
16．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC的正弦值为__.
17．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求sin ∠ECM的值．
18．如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4).
(1)写出点A的坐标；
(2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1；
(3)求出sin ∠A1OB1的值．
(选做)
19．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2＝(c＋a)(c－a)，且5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．二十六 正弦和余弦(第2课时)
知识点1 特殊角的正弦值
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sin B的值为(D)
A． B．1 C． D．
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sin B＝.
2．已知锐角α满足sin (α＋20°)＝1，则锐角α的度数为(B)
A．10° B．25° C．40° D．45°
【解析】∵sin (α＋20°)＝1，
∴sin (α＋20°)＝，
∴α＋20°＝45°，
∴α＝45°－20°＝25°.
3．(2024·邵阳质检)计算1－2sin245°的结果是(B)
A．－1 B．0 C． D．1
【解析】原式＝1－2×
＝1－2×＝1－1＝0.
4．计算：6sin30°＋4sin 60°＝__3＋2__．
【解析】6sin 30°＋4sin 60°
＝6×＋4×＝3＋2.
5．已知∠α与∠β互补，且∠α＝120°，则∠β的正弦值为____．
【解析】∵∠α与∠β互补，且∠α＝120°，
∴∠β＝180°－120°＝60°，sin 60°＝.
6．已知锐角A满足4sin2A＝3，则∠A＝__60°__．
【解析】∵4sin2A＝3，∴sin2A＝，
∴sinA＝，∴∠A＝60°.
7．求值：
(1)sin 30°＋sin245°－sin260°.
(2)(－1)－1＋－6sin45°＋(－1)2 023.
【解析】(1)原式＝＋－×
＝＋－＝.
(2)原式＝＋1＋2－6×－1＝0.
知识点2 利用计算器计算
8．用计算器求sin 24°37′的值，以下按键顺序正确的是(A)
A．
B．
C．
D．
【解析】先按键“sin ”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．
9．用科学计算器计算：4sin 44°－≈__－1.34__．(精确到0.01)
【解析】4sin 44°－
≈4×0.694 7－4.123 1≈－1.34.
10．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|2sin B－1|＋(2sin A－)2＝0，则△ABC是(A)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．不确定
【解析】由|2sin B－1|＋(2sin A－)2＝0，得2sin B－1＝0，2sin A－＝0，
sin B＝，sin A＝，
由∠A，∠B均为锐角，得∠B＝30°，∠A＝60°，∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
11．(2024·张家界质检)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin ∠AOC的值为(D)
A． B． C． D．
【解析】连接BC，由题意可得：OB＝OC＝BC，则△OBC是等边三角形，
故sin ∠AOC＝sin 60°＝.
12．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，BC＝2，那么∠ABC为(C)
A．45° B．60°或120°
C．45°或135° D．30°
【解析】如图1，当∠ABC为锐角时，作CD⊥AB于D，
∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝2，又BC＝2，
∴sin ∠ABC＝＝，∴∠ABC＝45°；
如图2，当∠ABC为钝角时，同理可得∠ABC＝135°.
13．用科学计算器计算：sin 87°≈__3.31__(精确到0.01).
【解析】sin 87°≈3.316 6×0.998 6≈3.31.
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB＝8，则AE＝__4__.
【解析】∵∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∴AE＝AC＝CB＝sin 45°·AB＝4.
15．计算：
(1)2sin230°＋sin60°－sin245°；
(2)|－1|－2sin45°＋＋.
【解析】(1)2sin230°＋sin60°－sin245°
＝2×＋－＝＋－＝.
(2)|－1|－2sin45°＋＋＝－1－＋2＋2＝－1＋4＝3.
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．
【解析】在Rt△BDC中，BC＝BD·sin ∠BDC
＝10×sin 45°＝10.
在Rt△ABC中，sin A＝＝，
∴∠A＝30°.
(选做)
17．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，且2b＝a＋c.
(1)求∠A的正弦值；
(2)当b＝20时，求c的值．
【解析】(1)由题意，得b＝(a＋c).
∵a2＋b2＝c2，∴a2＋(a＋c)2＝c2，(a＋c)(a－c)＋(a＋c)2＝0，(a＋c)＝0，
∵a＋c≠0，∴a＝c，sin A＝＝；
(2)当b＝20时，a＋c＝40，
∵a＝c，∴c＋c＝40，
解得c＝25.二十七 正弦和余弦(第3课时)
知识点1 余弦
1．(2024·桂林期中)将Rt△ABC(∠C＝90°)的三边长度同时扩大到原来的2倍，则∠A的余弦值将(D)
A．缩小2倍 B．扩大2倍
C．扩大4倍 D．保持不变
【解析】由余弦的定义可知，将△ABC的三边长度同时扩大到原来的2倍，∠A的余弦值不会发生改变．
2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2AC，则cos A的值为(D)
A． B． C． D．
【解析】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝2AC，设AC＝k，则BC＝2k，由勾股定理得，
AB＝＝k，∴cos A＝＝.
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，则BC的长为(B)
A．6 B．8 C．10 D．9
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，
∵AC＝6，cos A＝，∴＝，
解得AB＝10，
由勾股定理得：BC＝＝＝8.
4．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos ∠ABC的值为____．
【解析】如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，
设小正方形的边长为1，则AD＝3，BD＝4，
∴AB＝5，∴cos ∠ABC＝＝.
5．如果α是锐角，且sin α＝cos 20°，那么α＝__70__度．
【解析】∵sin α＝cos 20°，
∴α＝90°－20°＝70°.
知识点2 特殊角的余弦值
6．已知cos α＝，且α是锐角，则α＝(A)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】∵cos α＝，且α是锐角，
∴α＝30°.
7．(2024·娄底质检)计算sin230°＋cos260°的结果为(A)
A． B． C．1 D．
【解析】sin230°＋cos260°
＝＋＝＋＝.
8．已知α是锐角，且1－cosα＝0，则∠α＝__45°__.
【解析】∵1－cos α＝0，∴cos α＝1，
∴cos α＝，∴∠α＝45°.
9．(2023·德阳中考)计算：(－1)3＋|－1|－＋2cos 45°－.
【解析】原式＝－1＋－1－4＋2×－2＝－1＋－1－4＋－2＝－6.
10．(2024·怀化质检)如图，AD是△ABC的高，cos B＝，sin C＝，AC＝10，求AB和BC的长．
【解析】在Rt△ACD中，sin C＝，
∵sin C＝，AC＝10，∴＝，∴AD＝6，
∴CD＝＝8.
在Rt△ABD中，∵cos B＝，∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝6，
∴AB＝6，
∴BC＝BD＋DC＝6＋8＝14.
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于(B)
A．3sin α B．3cos α C． D．
【解析】∵∠A＝α，AB＝3，
∴cos α＝，∴AC＝AB·cos α＝3cos α.
12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cos A的是(A)
A． B． C． D．
【解析】∵CD是斜边AB上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠B＋∠DCB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴cos A＝＝＝.
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sin A＋cos B的值为(B)
A． B． C． D．
【解析】∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
则sin A＋cos B＝＋＝.
14．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A＝，cos B＝，那么∠C＝__105°__．
【解析】∵sin A＝，cos B＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°－30°－45°＝105°.
15．用计算器计算：－4cos 26°≈__2.32__．(精确到0.01)
【解析】原式≈5.916 1－4×0.898 8
＝5.916 1－3.595 2＝2.320 9≈2.32.
16．如图，已知A，B，C，D四点的坐标分别是(3，0)，(0，4)，(12，0)，(0，9)，探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．
【解析】∠OBA＝∠OCD，理由如下：
由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，
cos ∠OBA＝＝，
cos ∠OCD＝＝＝，
∴∠OBA＝∠OCD.
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．
【解析】∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴∠C＝∠ANM＝90°，
又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝，
设AC＝3x，AB＝4x，
由勾股定理得：BC＝＝x，
在Rt△ABC中，cos B＝＝＝.
(选做)
18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD＝x.
(1)求证：△ACB∽△BCD.
(2)求x的值．
(3)求cos 36°－cos 72°的值．
【解析】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠BAC＝∠CBD，又∠C＝∠C，
∴△ACB∽△BCD.
(2)由(1)知△ACB∽△BCD，
∴＝，即＝，解得x＝.
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，
如图，由勾股定理得DE2＝BD2－BE2＝DC2－(1－BE)2，
∴1－BE2＝－(1－BE)2，
解得BE＝，
∴CE＝，
∴cos 36°－cos 72°＝－＝－＝－＝.
