二十九 解直角三角形
知识点1 解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos ∠B＝，则AC的长为( )
A．15 B．9 C．8 D．6
2．在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是( )
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
3.如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8.连接AC，AC⊥CD，若sin ∠ACB＝，则AD的长度是__ __．
4.如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan ∠BAC＝，则边BC的长为__ _.
5．(2024·常德质检)如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB和AC的值．
知识点2 构造直角三角形解决问题
6．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C的值为( )
A． B． C． D．
7．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan ∠BCD＝，则tan A的值是( )
A．1 B． C．9 D．
8．如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan ∠CAD＝，则BD＝__ __．
9．(2024·张家界期末)如图，△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，求△ABC的面积．
10．如图，在△ABC中，AB＝10，cos ∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A． B． C．2 D．3
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，AB＝c，∠A＝α，则CD的长为( )
A．c·sin2α B．c·cos2α
C．c·sinα·tan α D．c·sin α·cos α
13.如图，直线AB经过点P(1，2)，且与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.若sin ∠BAO＝，则点B的坐标为__ __.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin A＝，若E为边BC的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离为____．
15.(2024·岳阳质检)如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos ∠BDC＝，求BC的长．
【加固训练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC＝，AC＝3.
(1)求∠B的度数；
(2)求AB及BC的长．
2.已知，如图∠A＝37°，∠C＝90°，∠ADB＝135°，AB＝5，求△ABC的周长及AD的长．(精确到0.1)
(参考数据：sin 37°≈0.602，cos 37°≈0.799，tan 37°≈0.75)
(选做)
16．已知锐角△ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠DAB＝90°，∠ACB＝2∠D，AD＝2，AC＝，根据题意画出示意图，并求tan D的值．二十九 解直角三角形
知识点1 解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos ∠B＝，则AC的长为(D)
A．15 B．9 C．8 D．6
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos ∠B＝＝，∴BC＝×10＝8，
∴AC＝＝＝6.
2．在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是(B)
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
【解析】∵选项C，D缺少边的条件，A缺少锐角的条件，
∴不能解直角三角形，
选项B中，由∠A的正弦可求出AB，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切函数可求出AC.
3.如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8.连接AC，AC⊥CD，若sin ∠ACB＝，则AD的长度是__10__．
【解析】在Rt△ABC中，
∵AB＝2，sin ∠ACB＝＝，
∴AC＝2÷＝6.在Rt△ADC中，AD＝＝＝10.
4.如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan ∠BAC＝，则边BC的长为___.
【解析】∵∠C＝90°，tan ∠BAC＝＝，AC＝30 cm，∴＝，解得BC＝.
5．(2024·常德质检)如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB和AC的值．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，设BC＝3k，则AB＝7k(k>0)，
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝3k＝6，即k＝2，∴AB＝14，
在Rt△ABC中，AC＝＝4.
知识点2 构造直角三角形解决问题
6．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C的值为(D)
A． B． C． D．
【解析】∵在△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝2，∠B＝30°，∴BD＝＝＝6.
∵S△ABC＝BC·AD＝10，
∴BC·2＝10，
∴BC＝10，∴CD＝BC－BD＝10－6＝4，
∴tan C＝＝＝.
7．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan ∠BCD＝，则tan A的值是(D)
A．1 B． C．9 D．
【解析】如图，过B作BE⊥BC交CD于E.
∵AC⊥BC，∴BE∥AC.
∵AB＝BD，∴AC＝2BE.
又∵tan ∠BCD＝，设BE＝x，则BC＝3x，AC＝2x，∴tan A＝＝＝.
8．如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan ∠CAD＝，则BD＝__2__．
【解析】∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∵CD＝6，tan ∠CAD＝＝，
∴AD＝CD＝8，
∵AB＝10，∴BD＝AB－AD＝10－8＝2.
9．(2024·张家界期末)如图，△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，求△ABC的面积．
【解析】∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，
∴BD＝4，CD＝2，
∵tan B＝＝，∴AD＝BD＝，
∴△ABC的面积是×BC×AD＝×6×＝8.
10．如图，在△ABC中，AB＝10，cos ∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为(C)
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】过点A作AE⊥BC，垂足为E.
∵AD＝AC，AE⊥BC，∴DE＝CE＝DC＝2.
在Rt△ABE中，
∵AB＝10，cos ∠ABC＝，
又∵cos ∠ABC＝，∴BE＝6，
∴BD＝BE－DE＝6－2＝4.
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(D)
A． B． C．2 D．3
【解析】如图，过点B作BH⊥AC于H.
在Rt△ABH中，∵∠BHA＝90°，
∴cos A＝＝＝，
∴AH＝，BH＝＝，
在Rt△CBH中，CH＝＝，
∴AC＝AH＋CH＝＋＝3.
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，AB＝c，∠A＝α，则CD的长为(D)
A．c·sin2α B．c·cos2α
C．c·sinα·tan α D．c·sin α·cos α
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，∠A＝α，sin α＝，∴BC＝c·sin α.
又∵∠A＋∠B＝90°，∠DCB＋∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠A＝α.
∵在Rt△DCB中，∠CDB＝90°，
cos ∠DCB＝，
∴CD＝BC·cos α＝c·sin α·cos α.
13.如图，直线AB经过点P(1，2)，且与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.若sin ∠BAO＝，则点B的坐标为____.
【解析】作PC⊥OA于点C，
∵P(1，2)，sin ∠BAO＝，
∴PC＝2，＝，∴AP＝2，
∴AC＝＝＝4，
∴tan ∠BAO＝，∴OA＝1＋4＝5，
∴＝，解得OB＝，
∴点B的坐标为.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin A＝，若E为边BC的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离为____．
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，
sin A＝，∴BC＝4，AB＝5，
∵点D为AB的中点，∴CD＝BD＝，
∴∠B＝∠DCB，
∵sin B＝＝，∴sin ∠DCB＝，
作EF⊥CD，交CD于点F，
∵sin ∠DCB＝，点E为BC的中点，BC＝4，∴＝，解得EF＝.
15.(2024·岳阳质检)如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos ∠BDC＝，求BC的长．
【解析】∵cos ∠BDC＝，∴可设DC＝3x，BD＝5x，又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB＝5x，
又∵AC＝8 cm，∴3x＋5x＝8，解得x＝1，
在Rt△BDC中，CD＝3 cm，DB＝5 cm，
BC＝＝4 cm.
【加固训练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC＝，AC＝3.
(1)求∠B的度数；
(2)求AB及BC的长．
【解析】(1)∵在△ACD中，∠C＝90°，CD＝，AC＝3，∴tan ∠DAC＝＝，
∴∠DAC＝30°，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∴∠B＝30°.
(2)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6，
∴BC＝＝＝3.
2.已知，如图∠A＝37°，∠C＝90°，∠ADB＝135°，AB＝5，求△ABC的周长及AD的长．(精确到0.1)
(参考数据：sin 37°≈0.602，cos 37°≈0.799，tan 37°≈0.75)
【解析】∵∠C＝90°，
∴sin A＝，cos A＝，
∴sin 37°＝，cos 37°＝，
∴BC≈0.602×5＝3.010，AC≈0.799×5＝3.995，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝5＋3.010＋3.995＝12.005≈12.0.
∵∠ADB＝135°，∴∠BDC＝45°.
∵∠C＝90°，
∴DC＝BC＝3.010，∴AD＝AC－DC＝3.995－3.010＝0.985≈1.0.
(选做)
16．已知锐角△ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠DAB＝90°，∠ACB＝2∠D，AD＝2，AC＝，根据题意画出示意图，并求tan D的值．
【解析】如图，∵∠ACB＝∠D＋∠CAD，∠ACB＝2∠D，
∴∠CAD＝∠D，
∴CA＝CD.
∵∠DAB＝90°，
∴∠B＋∠D＝90°，∠BAC＋
∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠BAC，∴AC＝CB，
∴BD＝2AC＝2×＝3.
在Rt△ABD中，∵∠DAB＝90°，AD＝2，
∴AB＝＝，
∴tan D＝＝.
