十八 相似三角形的判定(第1课时)
知识点1 利用平行线判定三角形相似
1．如图，△ABC中，DE∥AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若＝，则等于(B)
A． B． C． D．
【解析】∵DE∥AB，＝，
∴△CDE∽△CAB，∴＝＝.
2．(2023·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴＝，
∴AE＝4.
3．如图，A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，若EE′＝20 cm，那么B′B＝__8__cm__；DD′＝__16__cm__．
【解析】∵A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，
∴OA′＝A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′E′，
＝，＝，又EE′＝20 cm，
∴B′B＝20×＝8(cm).
DD′＝20×＝16(cm).
知识点2 相似三角形判定定理1
4．如图， ABCD中，∠DEF＝∠A，DE∶EA＝2∶3，EF＝6，则CD的长为(A)
A．15 B．10 C．8 D．16
【解析】∵∠DEF＝∠A，∠EDF＝∠ADB，
∴△DEF∽△DAB，
∴EF∶AB＝DE∶DA＝2∶5，
∴6∶AB＝2∶5，∴AB＝15，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝15.
5．如图，若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，则__△ABC__∽__△ADE__．
【解析】∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.
又∵∠E＝∠C，∴△ABC∽△ADE.
6．(2024·岳阳质检)如图，∠ADE＝∠B，若AE＝1，AC＝DE＝2，则BC的长为__4__．
【解析】∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，∴＝，
∴BC＝4.
7．如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC.
【证明】∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△EFC.
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.
求证：△ABF∽△EAD.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF＝∠AED，且∠C＋∠D＝180°，
又∵∠BFE＋∠BFA＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠BFA＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
9．(2023·湘西州中考)如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是(C)
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
【解析】∵EB＝1.6，BC＝12.4，
∴EC＝EB＋BC＝14，
∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，
又∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△DCE，∴＝，
即＝，
解得：CD＝10.5.
10．如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于(C)
A．32 cm B．24 cm C．48 cm D．64 cm
【解析】如图：
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD＝∠MAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠MAD，∠BAC＝∠CED，
∴∠EAD＝∠EDA，∴ED＝EA，
∵在△ABC与△CED中，
∠BAC＝∠CED，∠BCA＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∵AB＝15 cm，AC＝12 cm，
设ED＝15k，∴CE＝12k，
∴ED＝15k＝EA＝EC＋CA＝12k＋12，
∴3k＝12，∴k＝4，
∴CE＝12k＝48(cm).
11．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，则DF的长为__1.5__．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AE，∴△DFC∽△AFE，
∴＝，
∵BE＝2AB，AB＝3，∴BE＝6，AE＝9，
∴＝，
∴DF＝1.5.
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为____．
【解析】∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
∴＝＝，＝，
∴＝，
∴＝，∴MN＝.
13．(2023·南京中考)如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F.
(1)求证△AOB≌△DOC；
(2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．
【解析】(1)在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC(AAS)；
(2)由(1)得：△AOB≌△DOC，
∴AB＝DC＝2，
∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝BC＋CE＝4，
∵EF∥CD，∴△BCD∽△BEF，
∴＝，即＝，
解得：EF＝.
【加固训练】
如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.
(1)求证：△AMF∽△BGM；
(2)请你再写出两对相似三角形．
【解析】(1)∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，
∴∠AMF＋∠BMG＝180°－α，
∵∠A＋∠AMF＋∠AFM＝180°，
∴∠AMF＋∠AFM＝180°－α，
∴∠AFM＝∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；
(2)∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM.
∴△DMG∽△DBM，
同法可证：△EMF∽△EAM.
(选做)
14．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，AE＝CF.
(1)求证：AF＝BE，并求∠APB的度数．
(2)若AE＝2，试求AP·AF的值．
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
又∵AE＝CF，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF(SAS)，
∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF.
又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP＋∠BAP，
∴∠APE＝∠BAP＋∠CAF＝60°.
∴∠APB＝180°－∠APE＝120°.
(2)∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴＝，即＝，
所以AP·AF＝12.二十 相似三角形的判定(第3课时)
知识点1 相似三角形的判定定理3
1．(2024·娄底期末)已知△ABC三边长是，3，，与△ABC相似的三角形三边长可能是( )
A．1，， B．1，，
C．1，， D．1，，
2．甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，则这两个三角形( )
A．一定不相似
B．不一定相似
C．一定相似
D．无法判断是否相似
3．(2024·苏州期中)在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，当＝__ __时，△ABC∽△DEF.
4．判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
知识点2 相似三角形的判定定理的综合应用
5．下列两个三角形不相似的是( )
A．一个三角形的两个角分别是40°，80°；另一个三角形的两个角分别是60°，80°
B．一个三角形的三边长分别是4 cm，6 cm，8 cm；另一个三角形的三边长分别是12 cm，18 cm，21 cm
C．一个三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3 cm和7.5 cm，夹角是40°
D．各有一个角是120°的两个等腰三角形
6．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝9，BD＝4，那么BC＝__ __．
7．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝，当＝＝时，求证△ABC∽△A′B′C′.
8．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.如图，△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于__ __．
10．已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
(1)如果DE＝10，那么当EF＝__ __，
FD＝__ __时，△DEF∽△ABC；
(2)如果DE＝10，那么当EF＝__ __，
FD＝__ __时，△FDE∽△ABC.
11．已知AD为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直平分线，求证：FD2＝FB·FC.
12．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且＝＝，
(1)求证：AC2＝BC·CD；
(2)若AD是△ABC的中线，求的值．
(选做)
13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC是直角三角形．
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．十九 相似三角形的判定(第2课时)
知识点 相似三角形的判定定理2
1．(2024·郴州质检)如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是( )
A．∠ACP＝∠B
B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP·AB
D．AB·CP＝AP·CB
2．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则( )
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△ACB D．无法判断
3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
4．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，如果AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2，那么的值为__ __．
5．(2024·上海质检)一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形__ __(选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，则AD的长为__ __．
7．如图，∠1＝∠2，＝，求证：∠C＝∠D.
8．如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC.
求证：∠DBA＝∠ECA.
9．(2024·怀化期末)如图，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与△A1B1C1相似的是( )
【加固训练】
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，要使Rt△ABC和Rt△DEF相似，只要( )
A．＝
B．＝
C．AB·DE＝BC·EF
D．＝
10．已知△ABC中，D，E分别在AB，AC上，下列条件中，能推断△ADE与△ABC相似的有( )
①∠BDE＋∠C＝180°；
②AD·AB＝AE·AC；
③AD·BC＝AB·DE；
④∠A＝90°，且＝.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【加固训练】
如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )
A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)
11．(2024·娄底质检)如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，N是AC上的点，且AN＝AB，连接BN，作AD⊥BN于D，点M是BC上的动点，则当BM＝__ __时，△BMD∽△BCN.
13．如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形，则△ACF∽__ __，∠1＋∠2＝__ __°.
【加固训练】
(2024·湘潭期末)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点O，连接D，E.
(1)依题意补全图形．
(2)△OAB与△OED相似吗？说明理由．
(选做)
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上移动(点D不与点B，C重合)，满足∠EDF＝∠B，且点E，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CFD.
(2)连接EF，当点D移动到BC的中点时，求证：FD平分∠EFC.二十 相似三角形的判定(第3课时)
知识点1 相似三角形的判定定理3
1．(2024·娄底期末)已知△ABC三边长是，3，，与△ABC相似的三角形三边长可能是(A)
A．1，， B．1，，
C．1，， D．1，，
【解析】∵△ABC三边长是，3，，
∴△ABC三边长的比为∶∶3＝1∶∶，
∴与△ABC相似的三角形三边长可能是1，，.
2．甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，则这两个三角形(C)
A．一定不相似
B．不一定相似
C．一定相似
D．无法判断是否相似
【解析】∵甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，
∴＝＝＝，∴这两个三角形一定相似．
3．(2024·苏州期中)在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，当＝__2__时，△ABC∽△DEF.
【解析】∵在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，∴AB∶DE＝2∶1，AC∶DF＝2∶1，若BC∶EF＝2∶1，则△ABC∽△DEF.
4．判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
【解析】△ABC∽△DEF.
理由如下：∵AC＝3，BC＝3.5，AB＝4，DF＝1.8，EF＝2.1，DE＝2.4，∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
知识点2 相似三角形的判定定理的综合应用
5．下列两个三角形不相似的是(B)
A．一个三角形的两个角分别是40°，80°；另一个三角形的两个角分别是60°，80°
B．一个三角形的三边长分别是4 cm，6 cm，8 cm；另一个三角形的三边长分别是12 cm，18 cm，21 cm
C．一个三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3 cm和7.5 cm，夹角是40°
D．各有一个角是120°的两个等腰三角形
【解析】A.一个三角形的两个角分别是40°，80°，则另一个内角为60°，而另一个三角形的两个角分别是60°，80°，这两个三角形相似；
B．一个三角形的三边长分别是4 cm，6 cm，8 cm；另一个三角形的三边长分别是12 cm，18 cm，21 cm，三边不成比例，这两个三角形不相似；
C．根据两边对应成比例且夹角相等知这两个三角形相似；
D．各有一个角是120°的两个等腰三角形，由于两个等腰三角形的底角均为30°，据此可知两个三角形相似．
6．(2024·邵阳质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝9，BD＝4，那么BC＝__2__．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得BC＝2.
7．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝，当＝＝时，求证△ABC∽△A′B′C′.
【证明】∵＝，∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′，
∵＝，∴△ABC∽△A′B′C.
8．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；
第2个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；
第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；
第4个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似．
9.如图，△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于__10或6.4__．
【解析】由题意得△ABC∽△ADE，或△ABC∽△AED，
∴＝或＝，
∵AD＝AB，AB＝12，
∴AD＝8，∵AC＝15，∴＝或＝，
解得AE＝10或6.4.
10．已知：在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.
(1)如果DE＝10，那么当EF＝__12.5__，
FD＝__15__时，△DEF∽△ABC；
(2)如果DE＝10，那么当EF＝__12__，
FD＝__8__时，△FDE∽△ABC.
【解析】(1)∵当＝＝时，
△DEF∽△ABC；
又∵AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10，
∴＝＝，解得EF＝12.5，FD＝15；
∴当EF＝12.5，FD＝15时，
△DEF∽△ABC；
(2)∵当＝＝时，△FDE∽△ABC，
又∵AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10，
∴＝＝，解得FD＝8，EF＝12，
∴当EF＝12，FD＝8时，△FDE∽△ABC.
11．已知AD为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直平分线，求证：FD2＝FB·FC.
【证明】∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵EF为AD的垂直平分线，∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAB＝∠FAD＋∠BAD，∠FCA＝∠ADC＋∠DAC，∴∠FCA＝∠FAB，
又∵∠AFC＝∠BFA，∴△AFC∽△BFA，
∴＝，∴FA2＝FC·FB，
∴FD2＝FB·FC.
12．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且＝＝，
(1)求证：AC2＝BC·CD；
(2)若AD是△ABC的中线，求的值．
【解析】(1)∵＝＝，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B＝∠EAC，又∠ACB＝∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，∴＝，
∴AC2＝BC·CD；
(2)∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠CED＝∠CAE＋∠ECA，
由(1)可知，∠B＝∠EAC，∠BAD＝∠ECA，
∴∠ADC＝∠CED，∴CE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2CD，
∴BC＝2CE，由(1)得：AC2＝BC·CD，
∴AC2＝2CE·CE，
∴＝，即＝.
(选做)
13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC是直角三角形．
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．
【解析】(1)根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形．
(2)△ABC和△DEF相似．理由：
根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，
DE＝4，DF＝2，EF＝2.
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
(3)如图所示，△P2P4P5即为所求．十九 相似三角形的判定(第2课时)
知识点 相似三角形的判定定理2
1．(2024·郴州质检)如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是(D)
A．∠ACP＝∠B
B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP·AB
D．AB·CP＝AP·CB
【解析】当∠ACP＝∠B时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC；
当∠APC＝∠ACB时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC；
当AC2＝AP·AB时，
即＝，且∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
当AB·CP＝AP·CB时，
即＝，而∠A＝∠A，
所以不能判定△APC和△ACB相似．
2．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则(C)
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△ACB D．无法判断
【解析】∵AC2＝AD·AB，∴＝，
∵∠A＝∠A，且∠A为AD，AC和AB，AC的夹角，∴△ADC∽△ACB.
3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是(C)
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
【解析】A.相似：∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°，∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D，
∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△EDF；
B．相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，
∴＝，∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF；
C．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
D．相似：由题意AB＝10，AC＝8，可得BC＝6，
∵DE＝15，EF＝9，
∴DF＝12，∴＝＝，
∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF.
4．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，如果AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2，那么的值为____．
【解析】如图，∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，EC＝2，
∴＝＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
5．(2024·上海质检)一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形__不一定__(选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．
【解析】这两个直角三角形不一定相似．
理由如下：
当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，①另一三角形两直角边长分别为3和6，由于＝，则两个直角三角形相似；②另一三角形一直角边长为3，斜边长6，不相似；
当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，根据勾股定理得另一直角边长＝4，①另一三角形一直角边长为3，斜边长6，由于＝，则两个直角三角形相似；②另一三角形两直角边长分别为3和6，不相似，
综上，这两个直角三角形不一定相似．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠ACD，AB＝6，BC＝4，AC＝5，CD＝7，则AD的长为____．
【解析】∵＝＝，＝，
∴＝，
又∵∠B＝∠ACD，
∴△ABC∽△DCA，
∴＝，即＝，
∴AD＝.
7．如图，∠1＝∠2，＝，求证：∠C＝∠D.
【证明】∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，
∴∠BAC＝∠EAD，∵＝，
∴△BAC∽△EAD，∴∠C＝∠D.
8．如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC.
求证：∠DBA＝∠ECA.
【证明】∵AD·AC＝AB·AE，
∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴∠DBA＝∠ECA.
9．(2024·怀化期末)如图，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与△A1B1C1相似的是(B)
【解析】因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等．
【加固训练】
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，要使Rt△ABC和Rt△DEF相似，只要(B)
A．＝
B．＝
C．AB·DE＝BC·EF
D．＝
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∠C＝∠F＝90°，∴当＝时，设＝＝k，则AB＝kDE，BC＝kEF，
∴AC＝＝kDF，∴＝，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF.
10．已知△ABC中，D，E分别在AB，AC上，下列条件中，能推断△ADE与△ABC相似的有(C)
①∠BDE＋∠C＝180°；
②AD·AB＝AE·AC；
③AD·BC＝AB·DE；
④∠A＝90°，且＝.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】由题意可知，∠A是△ADE与△ACB的公共角，
①∵∠BDE＋∠C＝180°，∠ADE＋∠BDE＝180°，
∴∠ADE＝∠C，利用“两组角对应相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；②由AD·AB＝AE·AC得到＝，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE与△ACB相似；③由AD·BC＝AB·DE可得到＝，公共角不是夹角，不能得到△ADE与△ACB相似；④∵＝，∠A＝90°，∴＝，利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到△ADE与△ABC相似，综上所述，能判断△ADE与△ABC相似的是①②④，共3个．
【加固训练】
如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(B)
A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)
【解析】△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB∶BC＝2.当点E的坐标为(6，0)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB∶BC＝CD∶DE，△CDE∽△ABC，选项A不符合题意；
当点E的坐标为(6，3)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB∶BC≠CD∶DE，△CDE与△ABC不相似，选项B符合题意；
当点E的坐标为(6，5)时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB∶BC＝DE∶CD，△EDC∽△ABC，选项C不符合题意；
当点E的坐标为(4，2)时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB∶BC＝CD∶CE，△DCE∽△ABC，选项D不符合题意．
11．(2024·娄底质检)如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)
【解析】A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D．两三角形对应边成比例(6－5)∶(3－1)＝1∶2＝3∶6，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，N是AC上的点，且AN＝AB，连接BN，作AD⊥BN于D，点M是BC上的动点，则当BM＝__5__时，△BMD∽△BCN.
【解析】若△BMD∽△BCN，则需DM∥CN，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵AN＝AB，AD⊥BN于D，∴BD＝DN，
∵DM∥CN，∴BM＝BC＝5，
∴当BM＝5时，△BMD∽△BCN.
13．如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形，则△ACF∽__△GCA__，∠1＋∠2＝__45__°.
【解析】(1)设正方形的边长为a，
AC＝＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠ACF＝∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
(2)∵△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF，
∵∠CAF＋∠2＝45°，
∴∠1＋∠2＝45°.
【加固训练】
(2024·湘潭期末)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
【解析】(1)∵∠AED＝∠B，
∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵＝，
∴△ADF∽△ACG；
(2)∵△ADF∽△ACG，
∴＝，
∵＝，∴＝，
又∵AG＝AF＋FG，
∴＝.
14．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点O，连接D，E.
(1)依题意补全图形．
(2)△OAB与△OED相似吗？说明理由．
【解析】(1)依题意补全图形如图所示：
(2)△OAB与△OED相似，理由如下：
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BEC，∴∠DAC＝∠EBC，
又∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△AOE，
∴OB∶AO＝OD∶OE，
∵∠AOB＝∠EOD，
∴△AOB∽△EOD.
(选做)
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上移动(点D不与点B，C重合)，满足∠EDF＝∠B，且点E，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CFD.
(2)连接EF，当点D移动到BC的中点时，求证：FD平分∠EFC.
【证明】(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠BED＝180°－∠B－∠BDE，
∠CDF＝180°－∠EDF－∠BDE，
∵∠EDF＝∠B，∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD.
(2)∵△BDE∽△CFD，∴＝，
∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，
∴＝，
∵∠EDF＝∠C，∴△DEF∽△CDF，
∴∠DFE＝∠CFD，∴FD平分∠EFC.十八 相似三角形的判定(第1课时)
知识点1 利用平行线判定三角形相似
1．如图，△ABC中，DE∥AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若＝，则等于( )
A． B． C． D．.
2．(2023·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，A，B，C，D把OE五等分，且AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，若EE′＝20 cm，那么B′B＝__ __ __；DD′＝__ __ __．
知识点2 相似三角形判定定理1
4．如图， ABCD中，∠DEF＝∠A，DE∶EA＝2∶3，EF＝6，则CD的长为( )
A．15 B．10 C．8 D．16
5．如图，若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，则__ __∽__ __．
6．(2024·岳阳质检)如图，∠ADE＝∠B，若AE＝1，AC＝DE＝2，则BC的长为__ __．
7．如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC.
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.
求证：△ABF∽△EAD.
9．(2023·湘西州中考)如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( )
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
10．如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于( )
A．32 cm B．24 cm C．48 cm D．64 cm
11．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，则DF的长为__ __．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为__ __．
13．(2023·南京中考)如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F.
(1)求证△AOB≌△DOC；
(2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．
【加固训练】
如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.
(1)求证：△AMF∽△BGM；
(2)请你再写出两对相似三角形．
(选做)
14．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，AE＝CF.
(1)求证：AF＝BE，并求∠APB的度数．
(2)若AE＝2，试求AP·AF的值．
