第1章 反比例函数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知函数y＝(m－2)xm2－5是反比例函数，则m的值为(B)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．任意实数
【解析】因为函数y＝(m－2)xm2－5是反比例函数，所以
解得：m＝－2.
2．(2024·岳阳质检)已知反比例函数y＝，在下列结论中，不正确的是(C)
A．图象必经过点(－1，－2)
B．图象在第一、三象限
C．若x＜－1，则y＜－2
D．若A(x1，y1)，B(x2，y2)是图象上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2
【解析】若x＜－1，则y＞－2，原说法错误，故此选项符合题意．
3．(2023·安顺中考)已知反比例函数y＝(k≠0)的图象与正比例函数y＝ax(a≠0)的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是(1，2)，则点B的坐标是(C)
A．(－1，2) B．(1，－2)
C．(－1，－2) D．(2，1)
【解析】根据题意，知点A与B关于原点对称，
因为点A的坐标是(1，2)，
所以点B的坐标为(－1，－2).
4．一次函数y＝ax－a与反比例函数y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(D)
【解析】A.由函数y＝ax－a的图象可知a>0，所以－a<0，错误；
B．由函数y＝ax－a的图象可知a<0，由函数y＝(a≠0)的图象可知a>0，相矛盾，故错误；
C．由函数y＝ax－a的图象可知a>0，由函数y＝(a≠0)的图象可知a<0，故错误；
D．由函数y＝ax－a的图象可知a<0，由函数y＝(a≠0)的图象可知a<0，故正确．
5．如图，反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，矩形OABC的对角线OB，AC交于点E(1，2)，则k的值为(B)
A.4 B．8 C．－4 D．－8
【解析】由题意得：A的横坐标为1×2＝2，C的纵坐标为2×2＝4，所以B的坐标为(2，4)，
因为B在反比例函数图象上，
所以4＝，
所以k＝8.
6．(2024·西安质检)已知反比例函数y＝(k≠0)与正比例函数y＝－2x没有交点，且双曲线图象上有三点A(－1，a)，B(－3，b)，C(4，c)，则a，b，c的大小关系为(C)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【解析】因为反比例函数y＝(k≠0)与正比例函数y＝－2x没有交点，
函数y＝－2x经过二、四象限，所以反比例函数y＝(k≠0)图象在一、三象限，
因为－3＜－1＜0，所以点A(－1，a)，B(－3，b)在第三象限，所以a＜b＜0，
因为4＞0，所以C(4，c)在第一象限，
所以c＞0，所以a，b，c的大小关系是c＞b＞a.
7．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象(部分)于点A，B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为(B)
A．k1－k2 B．(k1－k2)
C．k2－k1 D．(k2－k1)
【解析】由题意可知，AB＝－，AB边上的高为x，
所以S△ABC＝×·x＝(k1－k2).
8．如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A，B两点，利用函数图象可知不等式＞kx＋b的解集是(D)
A.x＜1 B．x＞4
C．1＜x＜4 D．0＜x＜1或x＞4
【解析】因为由图象可知：A(1，4)，B(4，1)，x＞0，
所以不等式＞kx＋b的解集是0＜x＜1或x＞4.
9．(2024·重庆质检)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，对角线OB，AC交于点D，点A(6，0)，∠AOC＝60°，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为(A)
A. B．
C．9 D．3
【解析】过C作CM⊥x轴于M，
因为点A(6，0)，所以OA＝6，
因为四边形ABCO是菱形，
所以OC＝OA＝6，D是AC的中点，
因为∠AOC＝60°，
所以OM＝OC＝3，CM＝OC＝3，
所以C(3，3)，
所以D点的坐标是，
因为反比例函数y＝的图象经过点D，
所以k＝×＝.
10．(2023·温州中考)如图，点A，B在反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE.若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为(B)
A．2 B． C． D．2
【解析】因为BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
所以四边形BDOE是矩形，
所以BD＝OE＝1，
把y＝1代入y＝，求得x＝k，
所以B(k，1)，所以OD＝k，
因为OC＝OD，所以OC＝k，
因为AC⊥x轴于点C，把x＝k代入y＝得，y＝，所以AE＝AC＝，
因为OC＝EF＝k，AF＝－1＝，
在Rt△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
所以＝＋，
解得k＝±，
因为在第一象限，所以k＝.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2023·福建中考)若反比例函数y＝的图象过点(1，1)，则k的值等于__1__．
【解析】因为反比例函数y＝的图象过点(1，1)，所以k＝1×1＝1.
12．(2024·上饶期末)某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图，点A在反比例函数图象上，坐标是(8，30)，当压强p是4 800 Pa时，木板面积为__0.05__m2.
【解析】设反比例函数的解析式为p＝，将(8，30)代入，得：30＝，解得：k＝240，
所以p＝，
当p＝4 800时，4 800＝，
解得S＝0.05，所以当压强p是4 800 Pa时，木板面积为0.05 m2.
13．(2023·陕西中考)若A(1，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝图象上的两点，则y1，y2的大小关系是y1__＜__y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
【解析】因为2m－1＜0，所以图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又因为0＜1＜3，所以y1＜y2.
14．如图，直线y＝x－a－2与双曲线y＝交于A，B两点，则当线段AB的长度最小时，a的值为__－2__．
【解析】因为y＝x－a－2与直线y＝x平行，
所以点A与点B关于直线y＝－x对称，
所以点A和点B到直线y＝－x的距离最小时，线段AB最小，此时点A和点B为直线y＝x与双曲线的交点，
所以－a－2＝0，所以a＝－2.
15．(2023·衢州中考)将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且AB＝4，点E在AD上，DE＝AD，将这副三角板整体向右平移__12－__个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上．
【解析】因为AB＝4，∠ADB＝30°，
所以AD＝2AB＝8，
所以BD＝＝12，
又因为△BCD为等腰直角三角形，
所以C(4＋6，6)，
因为DE＝AD，所以E的坐标为(3，9)，
设平移t个单位，则平移后C点的坐标为(4＋6＋t，6)，平移后E点的坐标为(3＋t，9)，
因为平移后C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上，
所以(4＋6＋t)×6＝(3＋t)×9，
解得t＝12－.
16．(2024·娄底期中)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，若OA2－AB2＝16，则k的值为__8__．
【解析】设B点坐标为(a，b)，
因为△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
所以OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，
因为OA2－AB2＝16，
所以2AC2－2AD2＝16，
即AC2－AD2＝8，
所以(AC＋AD)(AC－AD)＝8，
所以(OC＋BD)·CD＝8，
所以a·b＝8，所以k＝8.
17．(2023·玉林中考)如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是 __3__．
【解析】过点A作AE∥y轴，交BC于点E，设点A，则B，
所以BE＝2a，因为△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，
所以BC＝4a，所以点D的横坐标为3a，
所以点D的纵坐标为，
所以CD＝＋＝，
因为S△BCD＝·BC·CD＝8，
所以·4a·＝8，
所以k＝3，
18．如图，已知点A(5，2)，B(5，4)，C(8，1).直线l⊥x轴，垂足为点M(m，0).其中m<，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为__－6或－4__．
【解析】因为点A(5，2)，B(5，4)，C(8，1)，直线l⊥x轴，垂足为点M(m，0).其中m<，
△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，
所以A′(2m－5，2)，B′(2m－5，4)，C′(2m－8，1)，
因为A′，B′的横坐标相同，所以在函数y＝(k≠0)的图象上的两点为A′，C′或B′，C′，
当A′，C′在函数y＝(k≠0)的图象上时，则k＝2(2m－5)＝2m－8，
解得m＝1，所以k＝－6；
当B′，C′在函数y＝(k≠0)的图象上时，则k＝4(2m－5)＝2m－8，
解得m＝2，
所以k＝－4.
综上，k的值为－6或－4.
三、解答题(共46分)
19．(6分)(2024·邵阳质检)已知反比例函数y＝图象位于第一、三象限．
(1)求k的取值范围；
(2)当反比例函数过点A(2，4)时，求k的值．
【解析】(1)由题意，得k－4＞0，解得k＞4；
(2)把点A(2，4)代入y＝得，4＝，解得k＝12.
20．(6分)已知点A(4，m)在反比例函数y＝的图象上．
(1)求m的值；
(2)当4＜x＜8时，求y的取值范围．
【解析】(1)因为点A(4，m)在反比例函数y＝的图象上，
所以4m＝4，解得m＝1.
(2)因为k＝4＞0，
所以图象在第一象限内y随x的增大而减小，
因为x＝4时，y＝1；x＝8时，y＝，
所以当4＜x＜8时，＜y＜1.
21．(8分)(2023·安徽中考)已知正比例函数y＝kx(k≠0)与反比例函数y＝的图象都经过点A(m，2).
(1)求k，m的值；
(2)在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【解析】(1)将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6.
所以m＝3.所以A(3，2).
将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k.
所以k＝.
(2)如图，正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围为x＞3或－3＜x＜0.
22．(8分)如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝(k≠0)的图象与直线l交于点A(m，3)，△AOM的面积为6.
(1)求m，k的值；
(2)在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．
【解析】(1)由题意得：·AM·OM＝6，
所以m·3＝6，即m＝4，
所以A(4，3)，所以k＝xy＝12.
(2)因为l⊥y轴，
所以OB＝OA＝＝5，
所以B(5，0).
设直线AB为y＝ax＋b，
所以，
解得：a＝－3，b＝15.
所以y＝－3x＋15.
23．(8分)泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100 ℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1 min后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20 ℃，降温过程中水温不低于20 ℃.
(1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
(2)从水壶中的水烧开(100 ℃)降到90 ℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【解析】(1)停止加热1 min以后时，设y＝，
由题意得：50＝，解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax＋20，
由题意得：100＝8a＋20，解得：a＝10，
∴当加热烧水时，函数关系式为y＝10x＋20(0≤x≤8)；
当停止加热时，y与x的函数关系式为y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；
(2)把y＝90代入y＝，得x＝10，因此从水烧开到泡茶需要等待10－8＝2 min.
24．(10分)(2023·湘潭中考)如图，点A(a，2)在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC.
(1)求直线OA的表达式；
(2)求反比例函数y＝的表达式；
(3)点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
【解析】(1)因为点A(a，2)在反比例函数y＝的图象上，
所以2＝，解得a＝2，
所以A(2，2)，设直线OA的表达式为y＝mx，则2＝2m，解得m＝1，
所以直线OA的表达式为y＝x；
(2)由(1)知：A(2，2)，因为AB∥x轴，且交y轴于点C，
所以AC＝2，因为AC＝2BC，所以BC＝1，所以B(－1，2)，
把B(－1，2)代入y＝得：2＝，
所以k＝－2，
所以反比例函数y＝的表达式为y＝；
(3)设D，而A(2，2)，
所以AD中点E，
而E在y轴上，
所以＝0，解得t＝－2，
所以D(－2，1)，E，
所以S△DOE＝OE·|xD|＝××2＝，
S△AOE＝OE·|xA|＝××2＝，
所以S△OAD＝S△DOE＋S△AOE＝3.第1章 反比例函数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知函数y＝(m－2)xm2－5是反比例函数，则m的值为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．任意实数
2．(2024·岳阳质检)已知反比例函数y＝，在下列结论中，不正确的是( )
A．图象必经过点(－1，－2)
B．图象在第一、三象限
C．若x＜－1，则y＜－2
D．若A(x1，y1)，B(x2，y2)是图象上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2
3．(2023·安顺中考)已知反比例函数y＝(k≠0)的图象与正比例函数y＝ax(a≠0)的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是(1，2)，则点B的坐标是( )
A．(－1，2) B．(1，－2)
C．(－1，－2) D．(2，1)
4．一次函数y＝ax－a与反比例函数y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
5．如图，反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，矩形OABC的对角线OB，AC交于点E(1，2)，则k的值为( )
A.4 B．8 C．－4 D．－8
6．(2024·西安质检)已知反比例函数y＝(k≠0)与正比例函数y＝－2x没有交点，且双曲线图象上有三点A(－1，a)，B(－3，b)，C(4，c)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
7．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象(部分)于点A，B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为( )
A．k1－k2 B．(k1－k2)
C．k2－k1 D．(k2－k1)
8．如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A，B两点，利用函数图象可知不等式＞kx＋b的解集是( )
A.x＜1 B．x＞4
C．1＜x＜4 D．0＜x＜1或x＞4
9．(2024·重庆质检)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，对角线OB，AC交于点D，点A(6，0)，∠AOC＝60°，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为( )
A. B．
C．9 D．3
10．(2023·温州中考)如图，点A，B在反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连接AE.若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为( )
A．2 B． C． D．2
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2023·福建中考)若反比例函数y＝的图象过点(1，1)，则k的值等于__ __．
12．(2024·上饶期末)某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图，点A在反比例函数图象上，坐标是(8，30)，当压强p是4 800 Pa时，木板面积为__ __m2.
13．(2023·陕西中考)若A(1，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝图象上的两点，则y1，y2的大小关系是y1__ __y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
14．如图，直线y＝x－a－2与双曲线y＝交于A，B两点，则当线段AB的长度最小时，a的值为__ __．
15．(2023·衢州中考)将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且AB＝4，点E在AD上，DE＝AD，将这副三角板整体向右平移__ __个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上．
16．(2024·娄底期中)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，若OA2－AB2＝16，则k的值为__ __．
17．(2023·玉林中考)如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是 __ __．
18．如图，已知点A(5，2)，B(5，4)，C(8，1).直线l⊥x轴，垂足为点M(m，0).其中m<，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为__ __．
三、解答题(共46分)
19．(6分)(2024·邵阳质检)已知反比例函数y＝图象位于第一、三象限．
(1)求k的取值范围；
(2)当反比例函数过点A(2，4)时，求k的值．
20．(6分)已知点A(4，m)在反比例函数y＝的图象上．
(1)求m的值；
(2)当4＜x＜8时，求y的取值范围．
21．(8分)(2023·安徽中考)已知正比例函数y＝kx(k≠0)与反比例函数y＝的图象都经过点A(m，2).
(1)求k，m的值；
(2)在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
22．(8分)如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝(k≠0)的图象与直线l交于点A(m，3)，△AOM的面积为6.
(1)求m，k的值；
(2)在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．
23．(8分)泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100 ℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1 min后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20 ℃，降温过程中水温不低于20 ℃.
(1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
(2)从水壶中的水烧开(100 ℃)降到90 ℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
24．(10分)(2023·湘潭中考)如图，点A(a，2)在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC.
(1)求直线OA的表达式；
(2)求反比例函数y＝的表达式；
(3)点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
=
