第1章 反比例函数
答案：①__ __ ②__ __ ③__ __ ④__ __ ⑤__ __ ⑥__ __ ⑦__ __．
考点1 确定反比例函数表达式
1．(2023·北京中考)在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(1，2)和点B(－1，m)，则m的值为__ __．
2．(2023·永州中考)请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：__ __．
3．(2023·河南中考)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积．
【方法技巧】
求反比例函数表达式的步骤
(1)设．根据题意设出反比例函数表达式．
(2)代．将问题中的条件或点的坐标代入表达式．
(3)解．计算出k值．
特别提醒：根据面积确定k值时，要考虑图象所处的象限．
考点2 反比例函数的图象与性质
4．(2023·大连中考)下列说法正确的是( )
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P(－3，2)在反比例函数y＝－的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
5．(2023·嘉兴中考)已知三个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是( )
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
6．(2023·营口中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k的值为( )
A.－8 B．－2
C．－8 D．－6
【加固训练】
(2023·宁波中考)在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A(x，y)，我们把点B称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C的坐标为(3，0)，顶点E在y轴上，函数y＝(x＞0)的图象与DE交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为__ __．
7．(2023·临沂中考)已知函数y＝
(1)画出函数图象．
列表：
x … __ __ __ __ __ __ __ __ …
y … __ __ __ __ __ __ __ __ …
描点、连线，得到函数图象：
(2)该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值；若没有，简述理由．
(3)设(x1，y1)，(x2，y2)是函数图象上的点，若x1＋x2＝0，证明：y1＋y2＝0.
【方法技巧】
反比例函数性质的应用
1．利用反比例函数的性质比较大小时，如果两点不在同一个象限，需要根据图象作出合理的判断．
2．画反比例函数的图象时，不能出现图象与坐标轴有交点的错误．
3．k的正负、双曲线的位置与y随x的变化规律，由其中一个可以推出其他两个．
特别提醒：运用反比例函数增减性比较大小时，一定要注意说明在同一个象限内．
考点3 反比例函数与一次函数综合
8．(2023·大庆中考)已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝－kx＋k的图象经过第( )
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
9．(2023·荆州中考)已知：如图，直线y1＝kx＋1与双曲线y2＝在第一象限交于点P(1，t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是( )
A.t＝2
B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1
D．当x＞1时，y2＞y1
10．(2023·黄冈中考)如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx＋n的图象相交于A(a，－1)，B(－1，3)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)设直线AB交y轴于点C，点N(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM.若S四边形C OMN＞3，求t的取值范围．
【加固训练】
(2023·凉山州中考)如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝(x>0)的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝.
(1)求k的值；
(2)求直线MN的表达式．
【方法技巧】
反比例函数与一次函数综合应用
1．已知反比例函数与正比例函数的一个交点坐标，可利用这两种函数图象的中心对称性求另一个交点坐标．
2．在求面积时，常借助k的几何意义．
3．若比较反比例函数值与一次函数值的大小，可作出两者的函数图象，利用数形结合方法解答．
特别提醒：应用数形结合求不等式解集时，要注意反比例函数自变量的取值范围．
考点4 反比例函数在实际中的应用
11．(2023·宜昌中考)某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是( )
12．(2023·自贡中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是( )
A.函数表达式为I＝
B．蓄电池的电压是18 V
C．当I≤10 A时，R≥3.6 Ω
D．当R＝6 Ω时，I＝4 A
13. (2023·青岛中考)车从甲地驶往乙地，行驶完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的反比例函数关系如图所示．若车要在2.5 h内到达，则速度至少需要提高到__ __km/h.
【方法技巧】
反比例函数解决实际问题的三个步骤
1．理解题意找出问题中的常量与变量，确定数量之间的关系．
2．列出反比例函数表达式．
3．利用反比例函数的性质解决问题．
1．(2023·河北中考)用绘图软件绘制双曲线m：y＝与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．
(1)当a＝15时，l与m的交点坐标为__ __；
(2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．
例如，为在视窗中看到(1)中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由－15≤x≤15及－10≤y≤10变成了－30≤x≤30及－20≤y≤20(如图2).当a＝－1.2和a＝－1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝__ __．
【加固训练】
(2023·娄底中考)根据反比例函数的性质，联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y＝(a为常数且a＞0，x＞0)的性质表述中，正确的是( )
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③0＜y＜1；④0≤y≤1
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．(2023·张家界中考)阅读下面的材料：
如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
(1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数；
(2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数．
例题：证明函数f(x)＝x2(x＞0)是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0.
则f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2).
因为x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
所以x1＋x2＞0，x1－x2＜0.
所以(x1＋x2)(x1－x2)＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)＝x2(x＞0)是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
(1)函数f(x)＝(x＞0)，f(1)＝＝1，f(2)＝，f(3)＝__ __，f(4)＝__ __；
(2)猜想f(x)＝(x＞0)是__ __函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想．单元复习课
第1章 反比例函数
答案：①__双曲线__ ②__一、三__ ③__二、四__ ④____ ⑤__|k|__ ⑥__减小__ ⑦__增大__．
考点1 确定反比例函数表达式
1．(2023·北京中考)在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(1，2)和点B(－1，m)，则m的值为__－2__．
【解析】因为反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(1，2)和点B(－1，m)，
所以－m＝1×2，解得m＝－2，即m的值为－2.
2．(2023·永州中考)请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：__y＝－(答案不唯一)__．
【解析】根据反比例函数图象在第二、四象限可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可，如y＝－.
3．(2023·河南中考)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积．
【解析】(1)因为反比例函数y＝的图象经过点A(1，2)，
所以2＝，所以k＝2，
所以反比例函数的表达式为y＝；
(2)因为小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
所以设B点的坐标为(m，m)，
因为反比例函数y＝的图象经过B点，
所以m＝，所以m2＝2，
所以小正方形的面积为4m2＝8，
因为大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A(1，2)，
所以大正方形在第一象限的顶点坐标为(2，2)，
所以大正方形的面积为4×22＝16，
所以图中阴影部分的面积为大正方形的面积－小正方形的面积＝16－8＝8.
【方法技巧】
求反比例函数表达式的步骤
(1)设．根据题意设出反比例函数表达式．
(2)代．将问题中的条件或点的坐标代入表达式．
(3)解．计算出k值．
特别提醒：根据面积确定k值时，要考虑图象所处的象限．
考点2 反比例函数的图象与性质
4．(2023·大连中考)下列说法正确的是(A)
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P(－3，2)在反比例函数y＝－的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；②因为－3×2＝－6，故说法正确；③因为k＝3＞0，所以反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误．
5．(2023·嘉兴中考)已知三个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是(A)
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【解析】因为反比例函数y＝中，k＝2＞0，
所以函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
因为x1＜x2＜0＜x3，
所以A，B两点在第三象限，C点在第一象限，
所以y2＜y1＜0＜y3.
6．(2023·营口中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k的值为(A)
A.－8 B．－2
C．－8 D．－6
【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC，AD∥BC，
因为A，B两点的纵坐标分别是4，2，反比例函数y＝图象经过A，B两点，所以xB＝，xA＝，即A，B，所以AB2＝＋4，
所以BC＝AB＝，
又因为菱形ABCD的面积为8，所以BC×(yA－yB)＝8，
即×(4－2)＝8，
整理得＝4，解得k＝±8，
因为函数图象在第二象限，所以k＜0，即k＝－8.
【加固训练】
(2023·宁波中考)在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A(x，y)，我们把点B称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C的坐标为(3，0)，顶点E在y轴上，函数y＝(x＞0)的图象与DE交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为__或__．
【解析】设点A的坐标为，
因为点B是点A的“倒数点”，所以点B的坐标为，
因为点B的横纵坐标满足·＝，
所以点B在某个反比例函数图象上，
所以点B不可能在OE，OC上，
分两种情况：
①点B在ED上，由ED∥x轴，
所以点B、点A的纵坐标相等，即＝，
所以m＝±2，(－2舍去)，所以点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；
②点B在DC上，所以点B横坐标为3，即＝3，所以点B纵坐标为：＝，
此时，S△OBC＝×3×＝.
7．(2023·临沂中考)已知函数y＝
(1)画出函数图象．
列表：
x … __ __ __ __ __ __ __ __ …
y … __ __ __ __ __ __ __ __ …
描点、连线，得到函数图象：
(2)该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值；若没有，简述理由．
(3)设(x1，y1)，(x2，y2)是函数图象上的点，若x1＋x2＝0，证明：y1＋y2＝0.
【解析】(1)列表如下：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －1 － －3 0 3 1 …
函数图象如图所示：
(2)有最大和最小值．根据图象可知：当x＝1时，函数有最大值3.
当x＝－1时函数有最小值－3.
(3)因为(x1，y1)，(x2，y2)是函数图象上的点，x1＋x2＝0，
所以x1和x2互为相反数．
当－1＜x1＜1时，－1＜x2＜1，
所以y1＝3x1，y2＝3x2，
所以y1＋y2＝3x1＋3x2＝3(x1＋x2)＝0；
当x1≤－1时，x2≥1，
则y1＋y2＝＋＝＝0；
同理：当x1≥1时，x2≤－1，
y1＋y2＝0.
综上：y1＋y2＝0.
【方法技巧】
反比例函数性质的应用
1．利用反比例函数的性质比较大小时，如果两点不在同一个象限，需要根据图象作出合理的判断．
2．画反比例函数的图象时，不能出现图象与坐标轴有交点的错误．
3．k的正负、双曲线的位置与y随x的变化规律，由其中一个可以推出其他两个．
特别提醒：运用反比例函数增减性比较大小时，一定要注意说明在同一个象限内．
考点3 反比例函数与一次函数综合
8．(2023·大庆中考)已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝－kx＋k的图象经过第(B)
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
【解析】因为反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，所以k＞0，所以－k＜0.
所以一次函数y＝－kx＋k的图象经过第一、二、四象限．
9．(2023·荆州中考)已知：如图，直线y1＝kx＋1与双曲线y2＝在第一象限交于点P(1，t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是(D)
A.t＝2
B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1
D．当x＞1时，y2＞y1
【解析】因为点P(1，t)在双曲线y2＝上，
所以t＝＝2，正确，所以A选项不符合题意；
所以P(1，2).因为P(1，2)在直线y1＝kx＋1上，
所以2＝k＋1.所以k＝1，正确，
所以C选项不符合题意；
所以直线AB的表达式为y1＝x＋1，
令x＝0，则y1＝1，
所以B(0，1).所以OB＝1.
令y1＝0，则x＝－1，
所以A(－1，0)，
所以OA＝1，所以OA＝OB.
所以△AOB为等腰直角三角形，正确，
所以B选项不符合题意；
由图象可知，当x＞1时，y1＞y2.
所以D选项不正确，符合题意．
10．(2023·黄冈中考)如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx＋n的图象相交于A(a，－1)，B(－1，3)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)设直线AB交y轴于点C，点N(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM.若S四边形C OMN＞3，求t的取值范围．
【解析】(1)因为反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx＋n的图象相交于A(a，－1)，B(－1，3)两点，所以k＝－1×3＝a×(－1)，所以k＝－3，a＝3，所以点A(3，－1)，反比例函数的表达式为y＝，由题意可得：，
解得：，所以一次函数的表达式为y＝－x＋2；
(2)因为直线AB交y轴于点C，所以点C(0，2)，所以S四边形COMN＝S△OMN＋S△OCN＝＋×2×t，
因为S四边形COMN＞3，所以＋×2×t＞3，所以t＞.
【加固训练】
(2023·凉山州中考)如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝(x>0)的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝.
(1)求k的值；
(2)求直线MN的表达式．
【解析】(1)设点A的坐标为(m，n)，因为∠ABO＝90°，
所以B(m，0)，又AN＝，所以N，
因为△AOB的面积为12，所以mn＝12，即mn＝24，
因为M为OA中点，所以M，
因为点M和点N在反比例函数的图象上，
所以m＝m×n，化简可得：mn－m＝0，又mn＝24，
所以×24－m＝0，解得：m＝4，
所以n＝6，所以M(2，3)，把M(2，3)的坐标代入y＝，得k＝6；
(2)由(1)可得：M(2，3)，N，设直线MN的表达式为y＝ax＋b，
则，解得：，
所以直线MN的表达式为y＝－x＋.
【方法技巧】
反比例函数与一次函数综合应用
1．已知反比例函数与正比例函数的一个交点坐标，可利用这两种函数图象的中心对称性求另一个交点坐标．
2．在求面积时，常借助k的几何意义．
3．若比较反比例函数值与一次函数值的大小，可作出两者的函数图象，利用数形结合方法解答．
特别提醒：应用数形结合求不等式解集时，要注意反比例函数自变量的取值范围．
考点4 反比例函数在实际中的应用
11．(2023·宜昌中考)某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是(B)
【解析】因为气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p＝(V，p都大于零)，
所以能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．
12．(2023·自贡中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是(C)
A.函数表达式为I＝
B．蓄电池的电压是18 V
C．当I≤10 A时，R≥3.6 Ω
D．当R＝6 Ω时，I＝4 A
【解析】设I＝，因为图象过(4，9)，
所以k＝36，所以I＝，所以A，B均错误；
当I＝10时，R＝3.6，由图象知：当I≤10 A时，R≥3.6 Ω，所以C正确，符合题意；
当R＝6时，I＝6，所以D错误．
13. (2023·青岛中考)车从甲地驶往乙地，行驶完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的反比例函数关系如图所示．若车要在2.5 h内到达，则速度至少需要提高到__240__km/h.
【解析】因为从甲地驶往乙地的路程为200×3＝600(km)，所以车行驶完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的关系式为t＝，
当t＝2.5 h时，即2.5＝，所以v＝240.
所以车要在2.5 h内到达，则速度至少需要提高到240 km/h.
【方法技巧】
反比例函数解决实际问题的三个步骤
1．理解题意找出问题中的常量与变量，确定数量之间的关系．
2．列出反比例函数表达式．
3．利用反比例函数的性质解决问题．
1．(2023·河北中考)用绘图软件绘制双曲线m：y＝与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．
(1)当a＝15时，l与m的交点坐标为__(4，15)__；
(2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．
例如，为在视窗中看到(1)中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由－15≤x≤15及－10≤y≤10变成了－30≤x≤30及－20≤y≤20(如图2).当a＝－1.2和a＝－1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝__4__．
【解析】(1)a＝15时，y＝15，由得：，
(2)由得，所以A(－50，－1.2)，
由得，所以B(－40，－1.5)，为能看到m在A(－50，－1.2)和B(－40，－1.5)之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，所以整数k＝4.
【加固训练】
(2023·娄底中考)根据反比例函数的性质，联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y＝(a为常数且a＞0，x＞0)的性质表述中，正确的是(A)
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③0＜y＜1；④0≤y≤1
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解析】因为y＝(a为常数且a＞0，x＞0)，
所以＝，即＝＋1，
根据反比例函数的性质，因为a＞0，
所以当x增大时，随x的增大而减小，
所以＋1也随x的增大而减小，
即也随x的增大而减小，
则y就随x的增大而增大，
所以性质①正确．
又因为a＞0，x＞0，所以a＋x＞0，
所以＞0，即y＞0，
又因为x＜a＋x，
所以＜1，即y＜1，
所以0＜y＜1，所以性质③正确．
综上所述，性质①③正确．
2．(2023·张家界中考)阅读下面的材料：
如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
(1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数；
(2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数．
例题：证明函数f(x)＝x2(x＞0)是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0.
则f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2).
因为x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
所以x1＋x2＞0，x1－x2＜0.
所以(x1＋x2)(x1－x2)＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)＝x2(x＞0)是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
(1)函数f(x)＝(x＞0)，f(1)＝＝1，f(2)＝，f(3)＝____，f(4)＝____；
(2)猜想f(x)＝(x＞0)是__减__函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想．
【解析】(1)f(3)＝，f(4)＝.
(2)猜想：f(x)＝(x＞0)是减函数，
证明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
所以x2－x1＞0，x1x2＞0，
所以＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝(x＞0)是减函数．
