十二 一元二次方程的应用(第1课时)
知识点1 变化率问题
1．(2023·福建中考)某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是( )
A．0.63(1＋x)＝0.68
B．0.63(1＋x)2＝0.68
C．0.63(1＋2x)＝0.68
D．0.63(1＋2x)2＝0.68
2．骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2023年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，则我国头盔从2019年到2023年平均每年增长率是( )
A．10% B．20% C．30% D．40%
3．某种电器，进货价为每台2 400元，原销售价为每台4 500元，现降价两次但仍盈利20%，则平均每次降价率为__ __．
4．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了__ __个人．
知识点2 销售问题
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价( )
A．5元 B．10元
C．20元 D．10元或20元
6．某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为__ __万元．
7．(2024·晋中期末)2023年12月9日，在神舟十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空间站首次太空授课活动．在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神舟载人飞船”模型作为奖品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量．
8．甲商品经过两次连续降价后，售价由原来的每件100元降到每件64元，设平均每次降价的百分率为x；乙商品经过两次连续涨价后，售价由原来的每件64元涨到每件100元，设平均每次涨价的百分率为y，则下面关于x，y的大小关系的说法正确的是( )
A．x>y B．x＝y
C．x＜y D．无法判断
9．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后，得到的新的两位数与原两位数之积为1 612，则原来的两位数为( )
A．26 B．62
C．26或62 D．以上均不对
10．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是__ __．
【加固训练】
1.某菜农在2023年11月底投资1 600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天).若该菜农想获得1 175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏__ __天．
2．(2023·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
11．(2024·永州期中)随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时引进一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5 000盒，第三天生产口罩7 200盒，若每天增长的百分率相同．
(1)求每天增长的百分率．
(2)经调查发现，1条生产线的最大产能是15 000盒/天，但是每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65 000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？
(选做)
12．小明以20元/个的单价新进一批玩具在网上销售，经统计发现，在一段时间内，销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的函数关系如图所示．
(1)AB的表达式为________．
(2)若某段时间内该商品的销售单价为50元/个，则销售利润为________元．
(3)要使销售利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？十三 一元二次方程的应用(第2课时)
知识点1 面积类问题
1．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( )
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600
B．35×20－35x－2×20x＝600
C．(35－2x)(20－x)＝600
D．(35－x)(20－2x)＝600
【加固训练】
如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好72 m2，从水池边到圆周，每边相距3 m．设正方形的边长是x m，则列出的方程是( )
A.(x＋3)2－x2＝72
B．π＝72
C．－x2＝72
D．π－x2＝72
2．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则两段铁丝的长度是( )
A．5 cm，15 cm B．12 cm，8 cm
C．4 cm，16 cm D．10 cm，10 cm
3．一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛如图所示，其中∠ACB＝90°，若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB长为__ __米．
4．(2024·娄底期中)如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．
知识点2 动点类问题
5. (2023·岳阳期中)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过__ __秒后，P，Q两点间距离为4厘米．
6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50 cm，AC＝40 cm，点P从点C开始沿CA边向点A以4 cm/s的速度运动，同时，另一点Q从点C开始以3 cm/s的速度沿CB边向点B运动__ __秒钟后，△PCQ的面积是△ABC面积的.
【加固训练】
如图，在长方形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间，那么：
(1)如图1，用含t的代数式表示AP＝________，AQ＝________，并求出当t为何值时线段AP＝AQ.
(2)如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时，△QAB的面积等于长方形面积的.
7．如图，由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6 m2的长方形ABCD，则长方形ABCD的周长为( )
A．5 m B．5.2 m C．6 m D．6.2 m
8．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
9．(2024·温州质检)如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问张大叔购买这张矩形铁皮共花了__ __元．
【加固训练】
(2023·苏州期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发以每秒2 cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t＝__ __时，△APE的面积等于6 cm2.
10.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度．
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
(选做)
11．将一条长为24 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于26 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于17 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
m2.
理由：由(1)可知若x2＋(6－x)2＝17，
化简后得2x2－12x＋19＝0，
∵Δ＝(－12)2－4×2×19＝－8<0，
∴方程无实数解，
所以两个正方形的面积之和不可能等于17 cm2.十二 一元二次方程的应用(第1课时)
知识点1 变化率问题
1．(2023·福建中考)某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是(B)
A．0.63(1＋x)＝0.68
B．0.63(1＋x)2＝0.68
C．0.63(1＋2x)＝0.68
D．0.63(1＋2x)2＝0.68
【解析】设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x，
根据题意得：0.63(1＋x)2＝0.68.
2．骑行带头盔，安全有保障．“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长，从2019年到2023年我国头盔销售额从18亿元增长到30.42亿元，则我国头盔从2019年到2023年平均每年增长率是(C)
A．10% B．20% C．30% D．40%
【解析】设我国头盔从2019年到2023年平均每年增长率是x，
由题意得：18(1＋x)2＝30.42，解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(不合题意舍去)，
所以我国头盔从2019年到2023年平均每年增长率是30%.
3．某种电器，进货价为每台2 400元，原销售价为每台4 500元，现降价两次但仍盈利20%，则平均每次降价率为__20%__．
【解析】设平均每次降价率为x，根据题意得：
4 500(1－x)2＝2 400(1＋20%)，
解得1－x＝±0.8，
x＝0.2＝20%或x＝1.8(舍去).
4．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了__10__个人．
【解析】设每轮传染中平均每人传染了x人．
依题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121，即(1＋x)2＝121，
解方程，得x1＝10，x2＝－12(舍去).
知识点2 销售问题
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价(C)
A．5元 B．10元
C．20元 D．10元或20元
【解析】设每件衬衫应降价x元，
则每天可销售(20＋2x)件，
根据题意得：(40－x)(20＋2x)＝1 200，
解得：x1＝10，x2＝20.
∵扩大销售，减少库存，∴x＝20.
6．某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为__3或5__万元．
【解析】设这种机床每台的售价应定为x万元，
x(60－)＝2×60×(1＋25%)，解得x1＝3，x2＝5.
7．(2024·晋中期末)2023年12月9日，在神舟十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空间站首次太空授课活动．在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神舟载人飞船”模型作为奖品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量．
【解析】∵40×10＝400(元)，400＜900，
∴学校购买“神舟载人飞船”模型的数量超过10个．
设学校购买了“神舟载人飞船”模型的数量为x个，则每个“神舟载人飞船”模型的价格为40－0.5(x－10)＝(45－0.5x)元，
依题意得：(45－0.5x)x＝900，
整理得：x2－90x＋1 800＝0，
解得：x1＝30，x2＝60.
当x＝30时，45－0.5x＝45－0.5×30＝30，符合题意；
当x＝60时，45－0.5x＝45－0.5×60＝15＜30，不符合题意，舍去．
答：学校购买“神舟载人飞船”模型的数量为30个．
8．甲商品经过两次连续降价后，售价由原来的每件100元降到每件64元，设平均每次降价的百分率为x；乙商品经过两次连续涨价后，售价由原来的每件64元涨到每件100元，设平均每次涨价的百分率为y，则下面关于x，y的大小关系的说法正确的是(C)
A．x>y B．x＝y
C．x＜y D．无法判断
【解析】依题意得：100(1－x)2＝64；
64(1＋y)2＝100，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)；
y1＝0.25＝25%，y2＝－2.25(不合题意，舍去).
∵20%＜25%，∴x＜y.
9．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后，得到的新的两位数与原两位数之积为1 612，则原来的两位数为(C)
A．26 B．62
C．26或62 D．以上均不对
【解析】设原两位数个位数字为x，
则十位数字为8－x，由题意得：
[10(8－x)＋x](10x＋8－x)＝1 612，
解得：x1＝6，x2＝2，
当x＝6时，8－x＝2，
当x＝2时，8－x＝6，
则原来的两位数为62或26.
10．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是__(1－10%)(1＋x)2＝1__．
【解析】由题意得(1－10%)(1＋x)2＝1.
【加固训练】
1.某菜农在2023年11月底投资1 600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天).若该菜农想获得1 175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏__5__天．
【解析】设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售，
(6＋0.5x)(400－10x)－40x－1 600＝1 175，解得x1＝5，x2＝15(舍去)，
即若该菜农想获得1 175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天．
2．(2023·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【解析】(1)设售价应定为x元，则每件的利润为(x－40)元，日销售量为20＋＝(140－2x)件，
依题意，得：(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20，
整理，得：x2－110x＋3 000＝0，
解得x1＝50，x2＝60(舍去).
答：售价应定为50元；
(2)设该商品需要打a折销售，
由题意，得62.5×≤50，
解得a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
11．(2024·永州期中)随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时引进一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5 000盒，第三天生产口罩7 200盒，若每天增长的百分率相同．
(1)求每天增长的百分率．
(2)经调查发现，1条生产线的最大产能是15 000盒/天，但是每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65 000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？
【解析】(1)设每天增长的百分率为x，
依题意得：5 000(1＋x)2＝7 200，
x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：每天增长的百分率为20%.
(2)设增加y条生产线，则每条生产线的产量为(15 000－500y)盒/天，
依题意得：(1＋y)(15 000－500y)＝65 000，
整理得：y2－29y＋100＝0，
解得y1＝4，y2＝25.
又∵要节省投入，∴y＝4.
答：应该增加4条生产线．
(选做)
12．小明以20元/个的单价新进一批玩具在网上销售，经统计发现，在一段时间内，销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的函数关系如图所示．
(1)AB的表达式为________．
(2)若某段时间内该商品的销售单价为50元/个，则销售利润为________元．
(3)要使销售利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
【解析】(1)当20≤x≤80时，设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
把(20，60)，(80，0)代入，可得
，解得，
故直线AB的表达式为y＝－x＋80.
答案：y＝－x＋80(20≤x≤80)
(2)把x＝50代入y＝－x＋80，得y＝－50＋80＝30，
故销售利润为：(50－20)×30＝900(元).
答案：900
(3)若销售利润达到800元，
若20≤x≤80，则(x－20)(－x＋80)＝800，
解得x1＝40，x2＝60，
若0＜x＜20，则(x－20)×60＝800，
解得x＝(不合题意)，
所以要使销售利润达到800元，销售单价应定为每个40元或60元．十三 一元二次方程的应用(第2课时)
知识点1 面积类问题
1．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为(C)
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600
B．35×20－35x－2×20x＝600
C．(35－2x)(20－x)＝600
D．(35－x)(20－2x)＝600
【解析】依题意得：(35－2x)(20－x)＝600.
【加固训练】
如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好72 m2，从水池边到圆周，每边相距3 m．设正方形的边长是x m，则列出的方程是(D)
A.(x＋3)2－x2＝72
B．π＝72
C．－x2＝72
D．π－x2＝72
【解析】 根据题意可得π－x2＝72.
2．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形，若两个正方形的面积之和为12.5 cm2，则两段铁丝的长度是(D)
A．5 cm，15 cm B．12 cm，8 cm
C．4 cm，16 cm D．10 cm，10 cm
【解析】设剪成两段后其中一段长为x cm，则另一段长为(20－x) cm，
由题意得：＋＝12.5.
解得x1＝x2＝10.此时20－x＝10.
所以两段铁丝的长度都是10 cm.
3．一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛如图所示，其中∠ACB＝90°，若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB长为__15__米．
【解析】设AC＝x米，直角三角形面积为S平方米，则BC＝(21－x)米，根据题意可得：S＝x(21－x)，
当S＝54时，x(21－x)＝54，
整理可得 x2－21x＋108＝0，
解得：x1＝9，x2＝12，
∴AC＝9，BC＝12或AC＝12，BC＝9，
∴ AB＝＝15.
答案：15
4．(2024·娄底期中)如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．
【解析】设人行通道的宽度为x m，将两块矩形绿地合在一起长为(30－3x)m，宽为(24－2x)m，
由已知得：(30－3x)·(24－2x)＝480，
整理得：x2－22x＋40＝0，
解得x1＝2，x2＝20，
当x＝20时，30－3x＝－30，24－2x＝－16，不符合题意舍去，即x＝2.
答：人行通道的宽度为2 m．
知识点2 动点类问题
5. (2023·岳阳期中)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过____秒后，P，Q两点间距离为4厘米．
【解析】设t秒后PQ＝4，则BP＝6－t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，
∴PB2＋BQ2＝PQ2，
∴(6－t)2＋(2t)2＝(4)2，
解得t＝或2(舍去).
秒后P，Q间的距离为4厘米．
6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50 cm，AC＝40 cm，点P从点C开始沿CA边向点A以4 cm/s的速度运动，同时，另一点Q从点C开始以3 cm/s的速度沿CB边向点B运动__5__秒钟后，△PCQ的面积是△ABC面积的.
【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50 cm，AC＝40 cm，
∴BC＝＝30(cm).
设t秒钟后，△PCQ的面积是△ABC面积的，
依题意得：×3t×4t＝××30×40，
解得t1＝5，t2＝－5(不合题意，舍去).
【加固训练】
如图，在长方形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间，那么：
(1)如图1，用含t的代数式表示AP＝________，AQ＝________，并求出当t为何值时线段AP＝AQ.
(2)如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时，△QAB的面积等于长方形面积的.
【解析】(1)由题意得：AP＝3t，DQ＝2t，
则AQ＝6－2t，
当AP＝AQ时，3t＝6－2t，解得t＝1.2.
(2)∵S△QAB＝QA·AB＝·(6－2t)·10＝30－10t，
∴30－10t＝×10×6，解得：t＝1.
答：当t＝1时，△QAB的面积等于长方形面积的.
7．如图，由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6 m2的长方形ABCD，则长方形ABCD的周长为(B)
A．5 m B．5.2 m C．6 m D．6.2 m
【解析】设每块长方形地砖的宽为x m，则长为4x m，
根据题意，得4x2＝1.6×，
解得x＝±0.2(舍去负值)，
2×(4x＋x＋2×4x)＝26x＝5.2(m).
即矩形ABCD的周长为5.2 m．
8．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于(B)
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
【解析】设AC交A′B′于点H，
∵∠A＝45°，∠D＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
设AA′＝x cm，则阴影部分的底长为x cm，
高A′D＝(2－x)cm，
∴x·(2－x)＝1，∴x＝1，
即AA′＝1 cm.
9．(2024·温州质检)如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问张大叔购买这张矩形铁皮共花了__350__元．
【解析】设此长方体箱子的底面宽为x米，则长为(x＋2)米，
依题意得：1·x·(x＋2)＝15，
整理得：x2＋2x－15＝0，
解得x1＝3，x2＝－5(不合题意，舍去)，
∴矩形铁皮的长为x＋2＋2＝7(米)，
宽为x＋2＝5(米)，∴购买这张矩形铁皮的费用为7×5×10＝350(元).
【加固训练】
(2023·苏州期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发以每秒2 cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t＝__或4或6__时，△APE的面积等于6 cm2.
【解析】∵BC＝8 cm，点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝4 cm，
当点P在线段AC上时，如图1所示，
AP＝2t，∵∠C＝90°，
∴S△APE＝AP·CE＝×2t×4＝4t＝6，
解得：t＝；
当点P在线段CE上时，如图2所示，AC＝6 cm，PE＝4－2(t－3)＝10－2t，
∴S△APE＝PE·AC＝×(10－2t)×6＝6，解得：t＝4；
当P在线段BE上时，如图3所示，PE＝2t－10，
∴S△APE＝PE·AC＝×(2t－10)×6＝6，解得：t＝6.
综上所述，t的值为或4或6.
10.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度．
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【解析】(1)设配色条纹的宽度为x米．依题意得2x×5＋2x×4－4x2＝×5×4，
解得：x1＝(不符合题意，舍去)，x2＝.
答：配色条纹宽度为米．
(2)地毯配色条纹造价：×5×4×200＝850(元)，
地毯其余部分造价：×4×5×100＝1 575(元)，
∴总造价为850＋1 575＝2 425(元).
答：地毯的总造价是2 425元．
(选做)
11．将一条长为24 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于26 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于17 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【解析】(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(6－x)cm，
依题意列方程得x2＋(6－x)2＝26，
整理得x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5，1×4＝4(cm)，24－4＝20(cm)；
∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm、20 cm.
(2)方法一：两个正方形的面积之和不可能等于17 cm2.
理由：设两个正方形的面积和为y，
则y＝x2＋(6－x)2＝2(x－3)2＋18，
∵a＝2>0，∴当x＝3时，y的最小值＝18>17，
∴两个正方形的面积之和不可能等于17 cm2.
方法二：两个正方形的面积之和不可能等于17 cm2.
理由：由(1)可知若x2＋(6－x)2＝17，
化简后得2x2－12x＋19＝0，
∵Δ＝(－12)2－4×2×19＝－8<0，
∴方程无实数解，
所以两个正方形的面积之和不可能等于17 cm2.
